課本例題與高考試題

陜西 李 歆

課本例題與高考試題

陜西 李 歆

課本例題是教材的重要組成部分，是鞏固基礎知識，提高基本技能的重要載體，通過對課本例題的另解，對于深化學習，發展思維，開拓視野具有重要的指導作用.

1.例題呈現

北師大版《數學》(選修4-5)第8頁有一道例題：

解不等式|x+1|+|x-2|≥5 ①.

2.解法再探

對上述例題，課本上利用不等式的幾何意義給出了一種基本解法，通常解完題之后便“束之高閣”，如果我們從絕對值非負這個簡單的性質入手，那么可以利用平方法以及方程思想給出另一種解法.

【解】對不等式①兩邊平方，得(|x+1|+|x-2|)2≥25，左邊展開后，整理得x2-x-2+|x2-x-2|≥8 ②，若x2-x-2lt;0,則不等式②變為0≥8，出現矛盾，所以有x2-x-2≥0,由此由不等式②，得2(x2-x-2)≥8，整理得x2-x-6≥0，解得x≥3或x≤-2，所以不等式①的解集為{x|x≥3或x≤-2}.

【點評】上述解法既揭示了這道課本例題潛在的作用與價值，又鏈接了課本例題與高考試題之間的綠色通道.

3.鏈接高考

3.1關于|x-a|±|x-b|≥c型不等式的解集問題(alt;b).

【例1】(2013·遼寧卷·24)已知函數f(x)=|x-a|，其中agt;1.

(Ⅰ)當a=2時，求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集；

(Ⅱ)已知關于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，求a的值.

原參考答案給出的解法用到了分類討論思想，利用上述解法，可以繞過討論，迅速獲解.

【解】(Ⅰ)當a=2時，由|x-2|≥4-|x-4|，得|x-2|+|x-4|≥4，兩邊平方后，整理得x2-6x+8+|x2-6x+8|≥6 ③，若x2-6x+8lt;0,則不等式③變為0≥6，出現矛盾，所以有x2-6x+8≥0,由此由不等式③，得2(x2-6x+8)≥6，整理得x2-6x+5≥0，解得x≥5或x≤1，所以不等式f(x)≥4-|x-4|的解集為{x|x≥5或x≤1}.

【點評】對學生的解題能力要求較高.但是，按照前面例題的解法求解本題第(Ⅰ)問，二者的解法竟然是完全的一致，使這道看似難度較大的試題變成了易題.由此說明，高考題并不神秘可怕，只要對課本例題的另解加以探究，就會找到高考題解法的“源頭活水”.因此，同學們學習解題，不應拘泥于某個固定的思路、某種常規的方法，而要始終站在“回歸課本，回歸基礎”的高度，在那些固定的、常規的思路與方法中尋找新的解題“亮點”，從而打破思維定勢的束縛，讓自己的解題智能在不斷創新中得到歷練與提高.

【變式1】已知函數f(x)=|x-a|，其中0lt;alt;1.

【變式2】已知函數f(x)=|x-a|，其中alt;0.

(Ⅰ)當a=-1時，求不等式f(x)≥2-|x|的解集；

(Ⅱ)已知關于x的不等式f(x)-f(x+a)≤0的解集為{x|x≤-1}，求a的值.

3.2關于|x-a|-|x-b|≥f(x)型不等式的解集問題(alt;b).

【例2】(2017·全國卷Ⅲ·23)已知函數f(x)=|x+1|-|x-2|.

(Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍.

【點評】一般解法是先把函數f(x)變成分段函數，然后分類求解，這樣做比較麻煩，而且很容易出錯,而利用前面課本例題的解法，卻可直達目的.

【變式1】已知函數f(x)=|x-1|-|x+2|.

(Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍.

【變式2】已知函數f(x)=|x+1|-|x-2|.

(Ⅰ)求不等式f(x)≤1的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≤x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍.

3.3關于f(x)≥|x-a|+|x-b|型不等式的解集問題(alt;b).

【例3】(2017·全國卷Ⅰ·23)已知函數f(x)=-x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|.

(Ⅰ)當a=1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范圍.

按照前面課本例題的解法，我們可以“借題發揮”，由此打開解題突破口.

【解】(Ⅰ)當a=1時，由f(x)≥g(x)，得-x2+x+4≥|x+1|+|x-1| ⑨，因為|x+1|+|x-1|≥2，所以由不等式⑨，得-x2+x+4≥2，整理得x2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.

對⑨式兩邊平方后，整理得x4-2x3-9x2+8x+14≥2|(x+1)(x-1)|，易知此不等式左邊有零點-1，所以得(x+1)(x3-2x2-6x+14)≥2|(x+1)(x-1)|，對此式兩邊再平方，整理得(x+1)2(x3-3x2-4x+12)(x3-3x2-8x+16)≥0，對此不等式左邊第二個和第三個因式分解因式，得x3-3x2-4x+12=x3-2x2-(x2+4x-12)=x2(x-2)-(x-2)(x+6)=(x-2)(x+2)(x-3)，x3-3x2-8x+16=x3-4x2+(x2-8x+16)=x2(x-4)+(x-4)2=(x-4)(x2+x-4)，所以有(x+1)2(x-2)·(x+2)(x-3)(x-4)(x2+x-4)≥0 ⑩，

(Ⅱ)由f(x)≥g(x)，得-x2+ax+4≥|x+1|+|x-1|，因為|x+1|+|x-1|≥2，所以由不等式，得-x2+ax+4≥2，整理得x2-ax-2≤0，依題意，得(-1)2-a×(-1)-2≤0，且12-a×1-2≤0，解得-1≤a≤1.

【點評】本題參考答案給出的解法用到了分類討論以及函數的單調性，思考的跨度較大，思維的容量較寬，在解題的每一個細節處往往容易出錯.但是，按照前面課本例題的解法，思維比較單一，只要對“分組分解法”分解因式比較熟練，就可以一路暢通，直達目標.雖然對不等式⑨在平方后的轉化處理中稍顯復雜一些，但是不等式⑩的出現，卻達到了“柳暗花明又一村”的可喜效果.在第(Ⅰ)問和第(Ⅱ)問的解法中，都用到了“|x+1|+|x-1|≥2”這個隱含的條件不等式，對解題的突破具有舉足輕重的作用.尤其是第(Ⅰ)問，首先利用這個不等式，對不等式⑨加以轉化，獲得解集，才使得不等式⑩的求解化難為易，順利獲得解集，否則，這種解法仍將面臨險境.

【變式1】已知函數f(x)=-x2+ax+2，g(x)=|x+1|.

(Ⅰ)當a=1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范圍.

【解】(Ⅰ)當a=1時，由f(x)≥g(x)，得-x2+x+2≥|x+1|，因為|x+1|≥0，所以由不等式，得-x2+x+2≥0，整理得x2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.

(Ⅱ)由f(x)≥g(x)，得-x2+ax+2≥|x+1|，因為|x+1|≥0，所以由不等式，得-x2+ax+2≥0，整理得x2-ax-2≤0，依題意，得(-1)2-a×(-1)-2≤0，且12-a×1-2≤0，解得-1≤a≤1.

【變式2】已知函數f(x)=-x2+ax+2，g(x)=|x-1|.

(Ⅰ)當a=-1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范圍.

【解】(Ⅰ)當a=-1時，由f(x)≥g(x)，得-x2-x+2≥|x-1|，因為|x-1|≥0，所以由不等式，得-x2-x+2≥0，整理得x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1.

(Ⅱ)由f(x)≥g(x)，得-x2+ax+2≥|x-1|，因為|x-1|≥0，所以由不等式，得-x2+ax+2≥0，整理得x2-ax-2≤0，依題意，得(-1)2-a×(-1)-2≤0，且12-a×1-2≤0，解得-1≤a≤1.

陜西省武功縣教育局教研室)