2017年全國卷Ⅰ中一道圓錐曲線問題的思考

湖北 高豐平

2017年全國卷Ⅰ中一道圓錐曲線問題的思考

湖北 高豐平

一年一度的高考題都是命題人智慧的結晶，考查數學基本知識、基本技能、基本方法，對數學能力也有較高的要求．不少問題深入淺出，值得細細品味．下面以2017年一道全國卷Ⅰ中的圓錐曲線問題來說明．

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點．

整理得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0，

又b≠1?b=-2k-1，此時Δ=-64k，存在k使得Δgt;0成立．

所以直線l的方程為y=kx-2k-1，當x=2時，y=-1，

所以l過定點(2，-1)．

【評注】本題考查直線過定點問題，解題中對代數式的運算要求較高，求解過程中使用了“整體代入”、“設而不求”等基本方法，要順利完成解答，需要扎實的數學基本功！

下面對這類問題作一個推廣，為方便求解，在解題方法上也適當作了調整，通過構造齊次方程，有效減少運算量，也方便了討論，優化了解題過程．

設A(x1,y1),B(x2,y2),

①+②并整理得b2(x-m)2+a2(y-n)2+2mb2(x-m)+2na2(y-n)=0 ③，

此即橢圓方程的另一表達形式．

設直線AB的方程為p(x-m)+q(y-n)=1 ④,

顯然此直線不過點P(m,n).由③,④構造齊次方程，得

b2(x-m)2+a2(y-m)2+[p(x-m)+q(y-m)][2mb2(x-m)+2na2(y-m)]=0 ⑤.

則(a2+2na2q)k2+(2pna2+2qmb2)k+b2+2mpa2=0 ⑥.

由根與系數的關系，結合k1+k2=λ,

而當λ=0且n=0時，直線AB的斜率不存在，此時直線AB與對稱軸垂直．

上例中以a2=4,b2=1,m=0,n=1代入，立即得到結果．

在雙曲線中也有類似的結論．

證明:由P(m,n)為拋物線y2=2px(pgt;0)上一點，

則n2=2pm①．

設A(x1,y1),B(x2,y2),

把y2=2px(pgt;0)變形得y2-2px=0 ②．

①+②整理得y2-n2-2p(x-m)=0 ③，

此即拋物線方程的另一表達形式．

設直線AB的方程：s(x-m)+t(y-n)=1 ④，

顯然此直線不過點P(m,n).由③,④構造齊次方程，

得[(y-n)+n]2-n2-2p(x-m)[s(x-m)+t(y-n)]=0,

整理得(1+2nt)(y-n)2-2(pt-ns)(x-m)(y-n)-2ps(x-m)2=0 ⑤.

而當λ=0且n=0時，直線AB的斜率不存在，此時直線AB與對稱軸垂直．

湖北省孝昌縣第二高級中學)