一道高考題的解法與變式

山東 尹承利

一道高考題的解法與變式

山東 尹承利

高考試題大都具有典型性，既對知識與方法進行考查，又對思維縝密性進行考查，在我們教與學的過程中，重視對高考題潛在的知識、方法和應用價值進行挖掘，對于提高分析問題、解決問題的能力是頗為有益的.本文就2017年高考全國數學卷Ⅰ理科第10題(拋物線問題)的解法和變式進行探究，從而達到做一題會一類題、舉一反三、觸類旁通的效果.

一、試題呈現

例題(2017·全國卷Ⅰ理·10)已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，|AB|+|DE|的最小值為

( )

A.16 B.14 C.12 D.10

二、解法分析

分析1.該題考查直線與拋物線(圓錐曲線)的位置關系，考查學生的分析問題解決問題的能力和數形結合的思想.在涉及直線與拋物線(圓錐曲線)的交點問題時，一般都設交點坐標為(x1,y1)，(x2,y2)，同時把直線方程與拋物線(圓錐曲線)方程聯立，消元后，可得x1+x2，x1x2，再把相關弦長用x1，x2表示出來，并代入剛才的x1+x2，x1x2，這種方法即解析幾何中的“設而不求”法，可減少計算量，簡化解題過程.

解法1.由題意易知直線l1，l2的斜率都存在且不為0.

設直線l1的方程為y=k(x-1)(不妨設kgt;0)，

其判別式Δ=[-(2k2+4)]2-4k2·(-k2)=16(1+k2)gt;0.

所以由拋物線的定義得

設D(x3,y3)，E(x4,y4)，則x3+x4=2+4k2，

所以|DE|=x3+x4+p=2+4k2+2=4k2+4.

所以|AB|+|DE|取得最小值16.故選A.

點評：本解法取直線的斜率k為參數，設出直線方程并與拋物線方程聯立，運用“設而不求”、拋物線定義和均值不等式求解.“設而不求”是數學解題中的一種頗為有用的手段，往往能避免盲目推演而造成的無益的循環運算，從而達到準確、簡捷的解題效果.

分析2.由于數學中的定義是建構數學知識的基石，因而拋物線(圓錐曲線)的定義不僅是重要的知識點，也是解答許多數學問題的工具.在解答許多問題時，若能靈活、巧妙地應用拋物線(圓錐曲線)的定義，不僅能深化對拋物線(圓錐曲線)這一數學概念的深刻理解，而且還能提高學生應用定義去分析和解決問題的能力，開拓學生的思維視野.對于過拋物線(圓錐曲線)焦點的直線與拋物線的位置關系(即焦點弦問題)問題常利用拋物線的定義求解，回歸定義可使問題的解決變得簡單、方便.

解法2.如圖，

設AB傾斜角為θ．作AK1垂直準線，AK2垂直x軸.

所以|AF|·cosθ+p=|AF|.

所以|AB|+|DE|的最小值為16.故選A.

點評：本解法取直線的傾斜角θ為參數，運用拋物線的定義、幾何關系轉化為角θ的正弦函數求解.

上述兩種方法是常規方法，需要同學們認真體會和熟練掌握.

通過該題，我們可以得到一般性的結論：已知F為拋物線C：y2=2px(pgt;0)的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為8p.(證明仿照高考題的兩種解法即可)

三、試題變式

( )

分析：由例題的解法2可知

變式2.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，|AB|·|DE|的最小值為

( )

A.64 B.32 C.16 D.10

由該變式，我們可以得到一般性的結論：已知F為拋物線C：y2=2px(pgt;0)的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|·|DE|的最小值為16p2.(證明仿照變式2的解法即可.)

變式3.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，四邊形ADBE面積的最小值為

( )

A.64 B.32 C.16 D.10

（1）對移動設備依賴加深。雖然利用碎片時間進行學習，但非教育類的各種類型的微信公眾平臺也層出不窮，學生在使用本微信公眾平臺時，有些自制能力差的可能被別的內容吸引，造成時間的浪費。解決這個問題的方法是一方面保證學習資源的質量，另一方面推送些時間管理、自律養成的網文。

由該變式，我們可以得到一般性的結論：已知F為拋物線C：y2=2px(pgt;0)的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則四邊形ADBE面積的最小值為8p2.(證明仿照變式3的解法即可.)

變式4.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，線段AB的中點為M，線段DE的中點為N.

(Ⅰ)求△FMN面積的最小值；

(Ⅱ)求線段MN的中點P的軌跡方程.

(Ⅱ)設線段MN的中點P(x,y)，

消去k后得y2=x-3.

故線段MN的中點P的軌跡方程為y2=x-3.

由該變式，我們可以得到一般性的結論：已知F為拋物線C：y2=2px(pgt;0)的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，線段AB的中點為M，線段DE的中點為N，則△FMN面積的最小值為p2.(證明仿照變式4(Ⅰ)的解法即可.)

山東省泰安英雄山中學)