用動態圖示導出DFT變換對的課堂直觀教學法

李翔

【摘要】數字信號處理是一門理論性很強的課程，當前多數教材在介紹DFT變換時直接定義DFT變換公式然后再提物理含義。按照這種常規教學大部分同學能套用DFT變換公式解答基本題，但對其物理含義理解模糊影響后續知識的深入學習和DFT變換的靈活應用。本文介紹用動態圖示的方式推導DFT變換的教學過程，按照作者經驗通過這種講授方式不但可以讓學生輕松的理解DFT變換的物理意義，而且能活用DFT變換求解復雜問題，收到的教學效果更好。

【關鍵詞】信號處理；DFT變換；動態圖示；教學法

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）10-0130-02

數字信號處理（DSP）是用數值計算的方法對信號進行處理，以達到提取信息便于利用的目的。從日常家用電器到工業生產過程，再到航天軍事裝備，幾乎所有的工程技術領域都涉及到數字信號處理問題?！稊底中盘柼幚怼肥请娮有畔㈩惐究粕仨氶_設的必修專業基礎課，內容主要是介紹數字信號處理的相關理論和方法，課程對數學基礎要求較高，內容較抽象，理解難度偏大。面對應用型工程人才培養的地方本科院校，如何講授好這門理論性較強的課程，以方便學生快速地理解和掌握教學相關內容，是擺在專任教師面前的一個教學難題。作者多年來主講這門課程的教學經驗是，按照待講授內容的特點結合學生的基礎情況，以動態圖示的方式講授相關內容，能夠收到較好的課堂教學效果。

變換域分析法是數字信號處理的主要分析方法，例如序列的傅立葉變換，序列的Z變換分別是頻域和復域分析法。通過變換域方法可實現時域中復雜信號處理的簡化。離散傅立葉變換（DFT）是數字信號處理中的一種重要的變換域分析方法，DFT變換對給出了時域和頻域等長有限長序列的相互表示關系。數字信號處理需要使用通用或專用的處理器來實現數值計算，要求時域和頻域同時離散。DFT變換對正是滿足這一要求的變換域分析方法，DFT變換在各種數字信號處理的算法中起著核心作用。下面以DFT變換對推導為例，介紹動態圖示在課堂教學過程中的應用。

一、回顧拓展

在推導DFT變換對前，向同學們陳述目前所學的各類傅立葉變換（FT）對，其時域或頻域并不都適合計算機表示。然后，用圖示方式依次表達這些變換對的物理含義，以下圖示中無～標記的為有限長（主值）信號，有～標記的為周期信號；小寫的為時域信號，大寫的為頻域信號。

1.連續非周期信號的FT

時域中一個連續非周期信號與頻域中一個非周期連續信號能夠相互表示，并且這種表示是唯一的。

2.連續周期信號的FT

時域中一個連續周期信號與頻域中一個非周期離散信號能夠相互表示，并且這種表示是唯一的。

3.離散非周期信號的FT

時域中一個離散非周期信號與頻域中一個周期連續信號能夠相互表示，并且這種表示是唯一的。

以上變換圖示是到目前為止我們已經學過的變換，其中前三種變換稱為連續時間傅立葉變換（CTFT），在先修課程信號與系統中學習過。第四種變換是數字信號處理課程中剛講授過的，稱為離散時間傅立葉變換（DTFT）。講授時注意時域和頻域各參數間的對應關系，尤其是一個域中信號的離散間隔和另外一個域中信號的周期間的對偶關系。離散時間信號（或稱時間序列）我們可以稱為二義信號，所謂二義信號是說這個信號既可以有離散觀點的表示形式，也可以有連續觀點的表示形式，進而采用相應的處理工具。在以上圖示中，時間序列x（n）是離散表示式，理想抽樣信號x（nT）是連續表示式，兩者所指向的物理對象是同一個，所以x（nT）的CTFT與x（n）的DTFT是相同的，只是在數字信號處理中頻域自變量習慣用數字頻率ω表示而已，數字頻率與模擬頻率關系ω=ΩT。理想抽樣信號和時間序列都是二義信號，根據需要寫為相應的描述形式再用相應的分析法。因此，CTFT和DTFT從變換結果來看可以視為等價的一種變換。以上三種傅里葉變換的時頻域特點小結如下：

歸納強調：（1）變換中兩個域中的信號存在對偶關系，一個域中信號是否離散與另外一個域中信號是否周期相對應且存在定量聯系；（2）目前學過的這三種變換形式，至少有一個域的信號不適合計算機系統處理。自然引出問題：是否存在一種變換能建立起時域和頻域中的有限長序列之間的對應關系呢？答案是存在，即離散傅里葉變換（DFT）。

二、導出過程

DTFT稱為離散時間傅里葉變換，或稱有限長序列的傅里葉變換。DTFT變換對的圖示描述如下：

x（n）的DTFT是以2π為周期，數字頻率ω為自變量的連續函數。下面我們從DTFT變化對出發，利用時域和頻域的對偶關系（即時域離散造就頻域周期，頻域離散造就時域周期），導出新的重要的變換——DFT，即離散傅里葉變換。

設有限長序列x（n）的采樣間隔為T，序列長為N點，則序列的時長可記為NT；的數字頻域抽樣間隔記為ω0，與此對應所帶來的時域序列x（n）的拓展間隔記為T0，則由對偶關系存在如下等式：

頻域抽樣定理：頻域一個周期（2π）內的抽樣點數不得少于時域序列的長度點數！

這里令頻域抽樣間隔為，此時，N點長時域序列以間隔NT進行拓展剛好不會發生混疊，如下右圖：頻域離散建立起了時域周期序列與頻域周期序列的對應并且周期相同，并且任何一個域的周期序列只需另外一個域的主值序列就能表示出來。

變換對式（2）建立了時域N點有限長序列與頻域周期為N的周期序列的對應關系。式（2）并沒有反映如上右圖顯示的本質對應關系，因為頻域離散所帶來的對應關系應該是時域周期為N的周期序列與頻域周期為N的周期序列的對應關系。頻域一個周期采樣N點造成時域N點有限長序列的周期拓展，拓展間隔剛好是N點（即有限長序列的長度點數N）。故頻域的離散，意味著在變換對式（2）中將N點有限長序列視為了周期序列的主值序列?？梢越忉屓缦?，式（2-2）的右邊是一個關于n的周期為N的周期序列，但式（2-2）左邊只關心主值范圍內的N個值即，式（2-1）中亦只需N點主值序列就可確定。因此，將式（2）表為如下形式同樣成立，繼而反應頻域離散包含的本質對應關系：

變換對式（4）建立了時域N點有限長序列與頻域N點有限長序列的對應關系。這就是本次課導出的重要的變換關系——離散傅立葉變換（DFT）。從以上圖示DFT變換對的導出過程可知，之所以能建立起時域有限長序列和頻域等長的有限長序列的對應關系，是基于如下兩個原因：一是時域周期序列與頻域同周期的周期序列能夠建立起對應關系；二是任意一個域的周期序列只需另一個域的周期序列的主值序列表示。從以上DFT的圖示導出過程可知，可以存在的幾種變換對關系小結列于下表中：

上表中，對于有限長序列，N指序列長度；對于周期序列，N指周期。類似與變換對[式（2）]，變換對[*]也是可以存在的。從以上圖示導出過程可知，離散傅里葉變換（DFT）實質上是離散傅里葉級數（DFS），只是為了需要主觀的將視野限制在主值區域，而這種限制從公式量值關系來說又是可行的，因此DFT變換對中隱含有周期性。DFS建立起了時域中的周期（N）序列與頻域中的周期（N）序列之間的映射關系。DFT建立起了時域中的有限長（N）序列與頻域中的有限長（N）序列之間的映射關系。DFT本質上是DFS，只是我們主觀地將視野局限在了主值區間的范圍。DFT是一種新的（針對處理序列類型而言）變換方法，變換后的信號滿足在時域和頻域中都為離散的有限長序列，適合計算機處理。

三、總結

本文在現有知識基礎上借用對偶原理，通過圖示教學方式簡潔直觀的推導出DFT變換且物理意義在導出過程中自然顯現。另外，圖示法導出DFT的過程中，還引出了其它三種可存在的變換包括DFS，通過彼此比較，DFT隱含周期性的含義更為清晰。另外，本文給出了推導DFS變換的另外一種途徑。作者自從在課堂中采用圖示法講解DFT變換后，同學們對DFT變換對的認識層次大為提升，教學效果更好。在當前應用型人才培養背景下，專任教師更應該結合教學內容特點和學生現有基礎有針對性的采用動態圖示教學來提升課堂教學效果。

參考文獻

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[2]程佩青.數字信號處理（第二版）[M].清華大學出版社，2001.endprint