導(dǎo)數(shù)理論與日常生活的關(guān)系

向煜韜

【摘要】隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展，越來(lái)越多的人接受高等教育，學(xué)會(huì)了高等數(shù)學(xué)，而社會(huì)的運(yùn)行也越來(lái)越復(fù)雜，簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算和初等函數(shù)不再滿足社會(huì)的額需求，因?yàn)楦⒅氐氖浅杀镜淖顑?yōu)化、經(jīng)濟(jì)變量的最大化，在這方面，微積分和導(dǎo)數(shù)發(fā)揮了重要作用，本文主要探討導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用，運(yùn)用科學(xué)的方法把日常生活的典型問(wèn)題和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的典型事件清晰地描述出來(lái)，也更方便做出更好的決策。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 經(jīng)濟(jì)變量 日常生活

一、引言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，受教育的人越來(lái)越多，大學(xué)教育也逐漸普及，這為高等數(shù)學(xué)走入社會(huì)、走入人民的生活中奠定了扎實(shí)的根基。高等數(shù)學(xué)的知識(shí)是從生活實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并由數(shù)學(xué)家發(fā)揚(yáng)光大，挖掘其中的內(nèi)涵，但是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，知識(shí)越來(lái)越深入，一般的群眾難以掌握這些知識(shí)，但是在國(guó)家大力倡導(dǎo)的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)知識(shí)還是越來(lái)越普及，其中就包括導(dǎo)數(shù)這樣來(lái)源于生活又高于生活的內(nèi)容，學(xué)好導(dǎo)數(shù)，可以對(duì)生產(chǎn)實(shí)踐進(jìn)行有效的指導(dǎo)，對(duì)于天文學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，對(duì)于生產(chǎn)實(shí)踐管理者和經(jīng)濟(jì)學(xué)家來(lái)說(shuō)，導(dǎo)數(shù)是幫助他們分析問(wèn)題、做決策的有效工具。比如說(shuō)，對(duì)于工廠的生產(chǎn)部門，必須在成本用料和利潤(rùn)之間找到一個(gè)最佳的平衡點(diǎn)，這就涉及到如何安排生產(chǎn)任務(wù)才能達(dá)到“用料最省”“利潤(rùn)最大”的問(wèn)題，這類問(wèn)題時(shí)數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題，由此可見，數(shù)學(xué)可以促進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展，值得深入學(xué)習(xí)。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚，就曾經(jīng)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)應(yīng)用到生產(chǎn)實(shí)踐中，他用了多年的努力，在祖國(guó)各地推廣數(shù)學(xué)，使得數(shù)學(xué)這一工具被基層工程師和工人掌握，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展起到了不可磨滅的貢獻(xiàn)。本文探討的是導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，將這一知識(shí)點(diǎn)與生產(chǎn)實(shí)踐相結(jié)合，以便更好地指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐和經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。

二、導(dǎo)數(shù)的基本概念

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)，是微積分學(xué)的基石，由牛頓和萊布尼茲提出，導(dǎo)數(shù)和微積分的出現(xiàn)時(shí)數(shù)學(xué)史上里程碑的事件，為數(shù)學(xué)翻開了嶄新的一頁(yè)，使得數(shù)學(xué)脫離的基本數(shù)學(xué)的范疇，并為牛頓力學(xué)、愛(ài)因斯坦相對(duì)論、量子力學(xué)等劃時(shí)代物理學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，可以說(shuō)，沒(méi)有導(dǎo)數(shù)和微積分的出現(xiàn)，就沒(méi)有現(xiàn)在的世界。導(dǎo)數(shù)是從生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)問(wèn)題中推導(dǎo)出來(lái)的，反映的是一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的變化率，設(shè)自變量為x，當(dāng)有增量Δx時(shí)，函數(shù)y增量Δy也會(huì)有變化，當(dāng)Δx趨于0時(shí)，Δy和Δx的比值還存在，則定義為此函數(shù)y可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)記為f'（x0），公式如下：

■

三、導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用

例1：如圖1所示，正方形鐵片的邊長(zhǎng)為60cm，要把它做成一個(gè)沒(méi)有蓋的箱子，則需要在正方形的四個(gè)角各切去一個(gè)正方形，再進(jìn)行折疊，為了讓箱子的容積最大，問(wèn)箱底的邊長(zhǎng)應(yīng)該是多少？此時(shí)的最大容積是多少？

■

圖1 正方形鐵片

解：設(shè)正方形鐵片在切掉四角四個(gè)正方形后，箱底邊長(zhǎng)為x，單位為cm，由圖可知，箱子的高度h=60-x2，單位為cm，計(jì)算箱子的容積，公式如下：

V（x）=x2h=（60x2-x3）/2

（0

對(duì)箱子的容積進(jìn)行求導(dǎo)，可知

V（x）=60x-3x2

（0

求最大值，即容積的導(dǎo)數(shù)為0，則有

V（x）=60x-3x2=0

計(jì)算結(jié)果如下：x=0或者x=40

由于x的取值范圍為（0

所以取x=40為有效值。

帶入容積計(jì)算公式，可知，

V（40）=16000

由題意，當(dāng)x接近范圍值得邊界，即0和60時(shí)，箱子的容積不是最大，反而很小，因此可知，x=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16000cm。

例2：某公司有100噸的酒存儲(chǔ)量，現(xiàn)在一斤4元，明年一斤5元，每年每斤增加1元，庫(kù)存費(fèi)每年1萬(wàn)。同時(shí)導(dǎo)致資金積壓，成本年增加105p·r，r=10%，是利息率為了使得公司利益最大，需要儲(chǔ)存多久？

分析：假設(shè)儲(chǔ)存X年

收入如下

R（x）=2×105x（元）

成本如下

C（x）=90000x+20000x2（元）

利潤(rùn)如下

L（x）=R（x）-C（x）

=110000x-20000x2（元）

邊際收入等于收入函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)果為：

R（x）=2×105

邊際成本等于成本函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)果為：

C（x）=90000+40000x

為了使得利潤(rùn)最大，R（x）=C（x），計(jì)算結(jié)果為x=2.75，因此可知，儲(chǔ)存2.75年，經(jīng)濟(jì)效益最大。

本題計(jì)算的額是經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，經(jīng)濟(jì)問(wèn)題非常復(fù)雜，要想透過(guò)表面的數(shù)據(jù)看本質(zhì)，必須采用數(shù)學(xué)的方法對(duì)經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行定量的分析。現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)家面對(duì)的是范圍經(jīng)濟(jì)，簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算和初等函數(shù)不足以分析范圍經(jīng)濟(jì)內(nèi)的諸多經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，因此，采用微積分和導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)分析現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，這樣不僅可以計(jì)算出精確的數(shù)據(jù)，而且可以用導(dǎo)數(shù)的方法演繹出經(jīng)濟(jì)變量的變化趨勢(shì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法歸納出經(jīng)濟(jì)的走向，從而為決策層提供提供科學(xué)的預(yù)測(cè)和決策思路。例2就是導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，為邊際問(wèn)題的分析。現(xiàn)在企業(yè)分析經(jīng)營(yíng)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)側(cè)重成本與利潤(rùn)的直接比較，是簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算，并不科學(xué)，本文認(rèn)為應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)的方法，計(jì)算經(jīng)濟(jì)變量的變化趨勢(shì)在考慮絕對(duì)數(shù)分析的基礎(chǔ)上，研究經(jīng)濟(jì)變量的相對(duì)變化率，才能做到把握現(xiàn)實(shí)，看準(zhǔn)未來(lái)。

四、總結(jié)

日常生活中，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，可以很好地應(yīng)用，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)也被不斷拓展應(yīng)用廣度和應(yīng)用深度，隨著社會(huì)的的進(jìn)一步發(fā)展，越來(lái)越多的人接受高等教育，導(dǎo)數(shù)進(jìn)入社會(huì)將成為一個(gè)事實(shí)。導(dǎo)數(shù)將不僅僅應(yīng)用于成本分析、利潤(rùn)分析、優(yōu)化分析中，還會(huì)在其他經(jīng)濟(jì)問(wèn)題上有更深入的應(yīng)用。

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