“聯(lián)通‘HL’”的勾股定理

王鈺婷

由于提前預(yù)習(xí)了勾股定理的內(nèi)容，我對勾股定理的新課沒什么特別新奇的感覺，在我看來，勾股定理就是為確定直角三角形的三邊平方關(guān)系，即為“在直角三角形中，已知兩邊求第三邊”帶來了方便.但上課時，我卻被勾股定理的強大“聯(lián)通”能力所折服了.老師的板書也很有特點，下圖是我抄錄的部分板書：

板書中的“應(yīng)用”與“關(guān)聯(lián)”都好理解，但是課堂小結(jié)時，老師還補充了一個思考題：“HL”為什么是定理？定理必須要有證明的.我常常喜歡挑戰(zhàn)老師在課堂上提到的這些“思考問題”，以下就是我的一些“研究”成果.

對“HL”定理的證明：

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.

求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.

證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根據(jù)勾股定理，得BC2=AB2-AC2，B′C′2=A′B′2-A′C′2.又AB=A′B′，AC=A′C′.∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.

解后思考：看來勾股定理真是很強大，連以前我們沒有證過的“HL”也能被輕松轉(zhuǎn)化成“SSS”.

教師點評：學(xué)習(xí)全等三角形的判定方法時，“SSS”“SAS”“ASA”這3個判定方法是告知學(xué)生基本事實（類似“公理”，不需要證明）.但“AAS”是由“ASA”推廣得出的，所以稱之為定理，后來，教材上又利用作圖確認(rèn)了“HL”定理，但是沒給出證明.數(shù)學(xué)是追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，如果一個定理的出現(xiàn)，不“立即”跟進(jìn)證明，自有其“難言之隱”，因為“知識儲備”還不足.上文中小作者結(jié)合勾股定理對“HL”進(jìn)行的證明，其實就解釋了當(dāng)初我們?yōu)槭裁礇]有“立即”證明的“苦衷”.

學(xué)習(xí)或研究數(shù)學(xué)的經(jīng)驗（有時也是教訓(xùn)）表明，對于有些數(shù)學(xué)問題如果暫時不能解釋清楚、嚴(yán)謹(jǐn)證明，并不影響我們“向前走”，或許在走過一段之后，手頭多了新工具、新方法，驀然回首，原先那個難題就可以迎刃而解了.想來，當(dāng)我們“難求甚解”時，也許“不求甚解”也是可以容許的吧！

（指導(dǎo)教師：劉東升）endprint