淺析圖形的變換問題

黃錦鴻

摘 要：圖形的變換是初中數學教材的一個重要內容，變換問題是各地中考命題的一大熱點。通過運動變換改變圖形位置后重新組合，然后作為全等或相似變換，需要在新舊圖形之間找到其中的變量和不變量，從而在新圖形中分析出有關圖形間的關系，進而揭示條件與結論間的內在聯系，找到解題途徑。

關鍵詞：圖形；變換；應用

隨著新課程標準的實施，圖形的運動變換的基本理念對近幾年中考數學命題的導向也產生了重大的影響，并已成為近年中考命題的一大熱點。新課程標準下的初中數學教材在圖形的全等的基礎上，增加了圖形變換的內容，使知識更符合它的形成規律，使數學更貼近學生的生活實際。

除點的移動以外，圖形的基本變換形式主要有四種：平移、翻折（即為軸對稱問題）、旋轉（當旋轉角為180度時，即為中心對稱問題）和位似。圖形的變換前后對應線段和對應角的位置和數量關系對問題的解決起關鍵性的作用。運動變化問題正是利用它們變化圖形的位置，引起條件或結論的改變，或者把分散的條件集中，以利于解題。這類問題注重培養學生用動態的觀點去看待問題，有利于學生空間想象能力和動手操作能力的鍛煉，解題的關鍵在于如何“靜中取動”或“動中求靜”。

圖形的變換問題在中考命題中，已與函數、三角形、四邊形、相似圖形及平面坐標等內容結合，以新穎的形式出現。通過平移、翻折、旋轉位似圖形的識別和構造考查學生對概念的理解，通過圖形的操作、思考等活動考查學生對本質的理解，通過具體問題的解決考查學生圖形變換觀念和知識的綜合運用能力以及思維的靈活性。這類問題的特點是：結論開放，注重考查學生的猜想、探究能力；便于與其他知識相聯系，解題靈活多變，能夠考查學生分析問題和解決問題的能力；其中蘊含的數學思想和方法豐富，有數形結合、方程思想、數學建模、函數思想、分類討論等數學思想方法。

下面結合實例針對這四種圖形的變換問題的解法談談自己粗淺的認識：

一、 平移問題

一個圖形沿著一定的方向由一個位置平行移動到另一個位置的運動叫做圖形的平移。圖形的平移由平移的方向和距離決定。

例1 如圖，將周長為10個單位的△ABC沿邊BC向右平移2個單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為（ ）

A. 12 B. 14

C. 16D. 18

分析：根據平移的性質，易知AD=CF=2，DF=AC，從而有BF=BC+CF=BC+2；由題意得AB+BC+AC=10，所以有四邊形ABFD的周長=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=14。

點評：抓住平移的前后對應點連線的長度就是平移的距離，對應線段相等這兩個知識點就是解答本題的關鍵。

例2 在直角坐標平面內，點O為坐標原點，二次函數y=x2+（k-5）x-（k+4）的圖象交x軸于點A（x1，0），點B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）=-8。（1）求二次函數的關系式；（2）將上述二次函數圖象沿x軸向右平移兩個單位，設平移后的圖象與y軸交于點C，頂點為P，求△POC的面積。

分析：由根與系數的關系易求得k的值，通過配方使之成為頂點式。根據平移的變化規律：頂點改變（“左加右減，上加下減”），開口不變，易得平移后的頂點及函數關系式。

點評：拋物線的運動變換問題只需抓住頂點和開口方向兩個要素的變化規律即可。

二、 翻折問題

把一個圖形沿著某一條直線翻折后所形成的新的圖形的變化叫做圖形的翻折。翻折前后兩個圖形是全等的。

例3 如上圖，把矩形ABCD沿對角線AC折疊，如果AB=4，BC=8，求重疊部分的面積。

分析：如圖，設CE=x，由AD∥BC可得∠DAC=∠ACE，而∠CAE=∠DAC，從而∠CAE=∠ACE，則AE=CE=x，由AB2+BE2=AE2，得42+（8-x）2=x2，即求得x的值，代入S△ACE=12DC·CE中即可獲得重疊部分的面積。

點評：利用方程的思想解決有關的幾何問題是一種常用方法。

例4 在矩形ABCD中，AD>AB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連接CN。若△CDN的面積與△CMN的面積比為1∶4，則MNBM的值為（ ）

A. 2B. 4

C. 25

D. 26

分析：本題的考點有翻折變換（折疊問題），折疊的性質，矩形、菱形的判定和性質，勾股定理。如下圖，過點N作NG⊥BC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質，可得四邊形AMCN是菱形，由△CDN的面積與△CMN的面積比為1∶4，根據等高三角形的面積比等于對應底的比，可得DN∶CM=1∶4，然后設DN=x，由勾股定理可求得MN的長，從而求得答案。

例5 在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB邊的中線，若將△ABC沿CD對折起來，折疊后兩個小△ACD與△BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的14，有如下結論：

（1） AC邊的長可以等于a；

（2） 折疊前的△ABC的面積可以等于32a2；

（3） 折疊后，以A、B為端點的線段AB與中線CD平行且相等。

其中，正確的結論的個數是（ ）

A. 0個

B. 1個

C. 2個

D. 3個

分析：將△ABC沿CD對折，對折后的A點可能有兩種情況：

（1） A與A′在直線BC的同側。

設想，A′C與BD交于O點，S△COD=S△BOC=S△A′OD，則OD=OB=12a，OA′=OC，則四邊形A′BCD為平行四邊形，A′B∥CD且A′B=CD，△ACD與△A′CD可以重合，則可知∠A=∠DA′C=30°，A′D=AD=a，在△A′OD中，∠DA′C=30°，A′D=a，則可知D到A′C的距離應為12a，而OD=12a，則可知DO⊥A′C，endprint

而四邊形A′BCD為平行四邊形，則可證得A′BCD為菱形，則AC=3a，

S△ABC=12AB·OC=12·2a·32a=32a2。

（2） A與A′在直線BC的兩側。

如右圖，△ACD沿CD對折后與△A′CD重合，則AD=A′D=a，據第一種情況，同理可證四邊形A′BDC為平行四邊形，則A′B∥CD且A′B=CD，DB∥A′C且DB=A′C，則AC=A′C=a。

點評：翻折問題實際上是軸對稱問題的應用，解題的關鍵是抓住對稱的性質：（1） 關于一條直線對稱的兩個圖形全等；（2） 對稱軸是對應點連線的垂直平分線。

三、 旋轉問題

一個圖形圍繞某一點由一個位置旋轉到另一個位置的運動叫做圖形的旋轉，圖形旋轉時，圖形中的每一點旋轉的角都相等，都等于旋轉角。

例6 設想，邊長為3的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉30°后得到正方形EFCG，EF交AD于點H，那么DH的長為多少？

分析：連接CH，由旋轉角∠BCF=30°，可得∠FCD=60°，根據HL公理易證Rt△DCH≌Rt△FCH，則∠DCH=12∠FCD=30°，于是有DH=CD·tan30°=3。

例7 如下圖，在平面直角坐標系中，點A（3，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函數y=kx圖象經過點A。

（1） 求k的值；

（2） 將△AOB繞點O逆時針旋轉60°，得到△COD，其中點A與點C對應，試判斷點D是否在該反比例函數的圖像上。

分析：易得k=xy=3×1=3。過點D作DE⊥x軸于點E，構造直角三角形。由旋轉角∠BOD=60°，OD=OB=2，根據三角函數知識易得DE=OE·sin60°=2×32=3，OE=OD·cos60°=2×12=1，從而有點D（1，3），于是問題也就迎刃而解。

點評：當圖形作旋轉時，抓住旋轉角對問題的解決起決定性的作用。

例8 在等腰直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，MN為斜邊AB上兩點，如果∠MCN=45°，求證AM、MN、NB可以構成一個直角三角形。

分析：將△CNB繞點C順時針旋轉90°到△CN1A的位置，于是有N1A=NB，CN1=CN，∠N1CA=∠NCB，∠N1AC=∠B，則△N1CM≌△NCM，從而MN1=MN，而∠N1AM=∠CAM+∠B=90°，故而AM、MN、NB可以構成一個直角三角形。

點評：在解決平面幾何問題的過程中，經常設法將一個圖形繞某點旋轉一個角度，通過這種圖形的旋轉達到使問題條件相對集中的目的，從而使問題獲解。

總結：兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。位似是一種重要的圖形變換方式，利用位似變換可以將一個圖形進行放大或縮小。位似圖形是一種特殊的相似圖形，與它們的位置有關，而相似圖形與它們的位置無關。兩個位似圖形的相似比就是它們的位似比。通過以上例題的分析，從運動變化的圖形得特殊位置，探索出一般的結論或從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對我們解決運動變換問題是極為重要的，因此，抓住這四種變換的特征和基本解題思路來指導我們的教學，將是一種事半功倍的好方法。

參考文獻：

[1]=1＼*GB2劉頓：圖形與變換的考點分析；初中生；2010年03期；湖南教育報刊社.

[2]=2＼*GB2季愛國：圖形的變換在解題中的應用；學生之友（初中版）；2010年05期；黑龍江省哈爾濱市教育研究院、學生之友雜志社.

[3]=3＼*GB2義務教育數學課程標準（2011年版）；北京師范大學出版社.endprint