滲透轉化思想促進思維發展

盧劍霞

摘 要： 隨著新一輪基礎教育改革的推進，數學課題學習被納入我國中學課程教學。在新教材的實驗和推廣中，以“課題學習”為載體進行數學實踐活動教學是培養學生創新意識和實踐能力的重要方式之一。教師用自己的智慧去研究教材、整合知識，有創造性地教學，讓學生親歷將實際問題抽象成數學模型，并進行解釋與應用，培養學生的轉化意識，使學生對數學理解的同時，獲得成功的體驗和克服困難的經歷。

筆者設計的《課題學習 最短路徑問題（第2課時）》參加了“2016福建省青年教師優秀課觀摩與交流活動”，在活動中參評并獲得二等獎。現以本節課為例，就教學中如何精心設計問題，借助自制教具，培養學生的問題轉化意識，促進學生思維發展等方面談談筆者的設計與思考。

關鍵詞： 轉化思想；化歸思想；最短路徑；平移

一、 教學思路的設計

內容分析

1 課標要求

“課題學習”，著重在于考查學生綜合運用數學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。本節課是“最短路徑問題（第2課時）”，讓學生經歷用“平移變換”和“兩點之間，線段最短”來尋求分析問題和解決問題的方法的過程，在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，體會圖形變化在解決問題中的作用，感悟轉化的思想。

2 教材分析

本節課以“造橋選址”為背景，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用平移將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題。對它的學習和研究，有助于對最短路徑問題的分析、解決。為今后在求立體圖形、圓、平面直角坐標系中求最值問題提供了方法。

學生在七年級和上節課的學習過程中，已經掌握了用與最值有關的公理、定理解決問題的推理能力。“造橋選址”是實際生活中的極值問題，在這個問題中，平移起了一個橋梁作用，學習過程的本質是推理與化歸的過程。有助于提高學生的推理能力、應用意識；分析問題、解決問題的能力。

3 學情分析

最短路徑問題從本質上說是最值問題，作為初中學生，在此之前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數學經驗尚顯不足，特別是面對具有具體背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手 。

與上節課相比，本節課的問題更為復雜，出現了三段線段的和最小問題，解答“當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最小”，需要將其轉化為“當點N在直線b的什么位置時，AM+NB最小”。能否這樣轉化，如何實現這樣的轉化？有的學生會存在理解上和操作上的困難，還有的學生可能會受思維慣性的影響（上節課學習了“利用軸對稱解決最短路徑問題”）。在教學中要巧妙引導，其本質還是在于對“兩點之間，線段最短”的深刻理解。

教學目標：

對教學內容的研究是為了制定精準的教學目標，本節課的總體教學目標是：能利用平移解決最短路徑問題，體會圖形的變換在解決最值問題中作用，感悟轉化的思想。

重點：利用平移將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題。

難點：如何利用平移將最短路徑問題轉化為線段和最小問題。

關鍵詞：利用平移將橋的長度巧妙地化解開去。

二、 教學過程設計

（一） 新知學習

師：如圖1，上節課我們學習了：牧馬人從圖中的A地出發，到一條筆直的河岸l飲馬，然后到好朋友家B地做客。利用軸對稱的知識將問題轉化為“兩點之間，線段最短”，從而找到了使路程最短的點P。

最近，好朋友的家搬到了河的對岸，他們設想如果要在河上造一座橋MN，橋造何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）如圖2，這又出現了一個“最短路徑問題”。

在本節課中會運用怎樣的圖形變換來解決這個問題呢？

設計意圖：引入問題2

（二） 自主探究

活動一、 分析問題：

問題1：這是一個實際問題，我們首先要做什么？

生：首先把實際問題轉化為數學問題，具體地可以將A、B兩地抽象為兩個點，將河的兩岸抽象為兩條互相平行的直線a、b，將橋抽象為一條與直線垂直的線段MN。

追問1：怎樣用幾何圖形來初步表示以上問題？

學生思考并展示圖形。

追問2：對于橋的確定需要幾個點？

生：兩個（點M，N）。

追問3：如果已知一個點可以找到另一個點嗎？

生思考并回答：可以。

師：這樣把找“一條線段”的問題就轉化為“找一個點”的問題了。繼續完成圖形。

追問4：綜合以上分析，請結合圖形用數學語言來描述這個問題。

學生思考討論，并相互補充，最后達成共識：如圖3，直線a∥b，點N為直線b上的一個動點，MN⊥b，交直線a于點M，當點N位于什么位置時，AM+MN+NB最小？

也可說成：如圖3，直線a∥b，點M為直線a上的一個動點，MN⊥a，交直線b于點N，當點M位于什么位置時，AM+MN+NB最小？

設計意圖：讓學生將實際問題抽象為數學問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”。

（三） 合作提升

活動二、解決問題

追問5：問題中要求的AM+MN+NB最小，在這三條線段中，有哪些線段會隨著點N的位置變化而變化？

生：由于河岸是互相平行的且橋要與河岸垂直，決定了橋的長度MN就是河寬，無論橋造在何處，MN是必經路線，所以AM+MN+NB最小本質上就是AM+NB最小。

追問6：怎樣保證AM+NB最小呢？

學生展開討論。（在這一環節中，學生可能出現多種考慮方案，可由小組長負責收集，根據課堂情況，在后面的環節或待新課結束后進行分析討論。）

追問7：如圖4，假設點A、B中間不是隔著一條河（平行線），而是一條直線，你會解決這個問題嗎？

生：直接連接A、B即可。

追問8：觀察圖3、圖4，這兩個問題有什么聯系？可以轉化為假設的問題嗎？

教師演示教具，引導學生發現二者的聯系。

生：將直線a向直線b平移，平移的方向為“與河岸垂直”，平移的距離為“河寬”，使兩直線重合，就轉化為假設的問題了。

師：平移直線a的同時，點A有什么需要配合的變化？

學生小組討論：點A也需要同樣的平移，否則點A與河岸的距離會發生變化。

師：這樣就在直線b中找出建橋點N。

師：如何清楚地表達這種方法？并畫出圖形。

學生小組合作交流，相互補充

生：過點A作射線AC⊥a，在AC上截取AA′=河寬，連接A′B，交直線b于點N，點N即為所求。

設計意圖：通過搭建平臺，將“三條線段和”的問題，轉化為“兩條線段和”的問題；將“兩平行線”轉化為“一條直線”問題。通過這兩個臺階，降低問題的難度，滲透轉化思想，提高學生分析問題、解決問題的能力。

（四） 引導發展

活動三、證明問題

師：你能證明這樣找到的點N為符合條件的點嗎？通過上節課的學習，要證明“最大”或“最小”這類問題，通常怎么處理？

生：常常要另選一個量，通過與需求證的那個“最大”或“最小”的量進行比較來證明。

生：不妨在直線b上另外取一點N′，作為建橋點，過N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，N′B，求證：AM+MN+NB

學生在學習提綱上進行嘗試證明。

證明：在△A′N′B中，

∵A′B

即A′N+NB

∴AM+NB

∴AM+MN+NB

∴AM+MN+BN最小。

師： 你能解釋小組中出現的各種作法，它們是否符合題意嗎？

設計意圖：讓學生進一步驗證作法的正確性，提高邏輯思維能力。

二、 設計說明與思考

轉化思想是解決數學問題的一個重要思想。任何一個新知識，總是原有知識發展和轉化

的結果。它可以將某些數學問題化難為易，另辟蹊徑，通過轉化途徑探索出解決問題的新思路。在教學中我們教師應結合恰當的教學內容逐步滲透給學生轉化的思想，使他們能用轉化的思想去學習新知識、分析并解決問題。

本節課是上一節課的續篇，運用故事的形式自然地引入新課即“造橋選址”問題，引導學生將實際問題轉化為數學問題，并用幾何圖形表示。設計有梯度的問題，問題串如下：

1. 怎樣用幾何圖形表示以上問題？

2. 對于橋的確定需要幾個點？

3. 如果已知一個點可以找到另一個點嗎？

4. 問題中要求的AM+MN+NB最小，在這三條線段中，有哪些線段會隨著點N的位置變化而變化？

5. 怎樣保證AM+NB最小呢？

這樣將總問題分解為若干小問題，特別是對于橋的確定，由原來的找“一條線段”轉化為“找一個點”的問題，將兩條平行線通過平移“一合一分”，并結合教具的演示，學生有豁然開朗的感覺。整個分析過程一氣呵成，順理成章，符合“最近發展區”理論的合理建構，有利于學生對最短路徑問題的理解、應用。

總之，教學時教師需適時提煉運用恰當的數學思想，從實際問題情境中感悟思維機制，獲取問題轉化的思想，增強學生的數學意識，提高數學能力，形成良好的數學素養，從而促進學生的思維發展。

參考文獻：

[1]義務教育數學課程標準（2011版）[S].北京師范大學出版社，2011.

[2]義務教育數學教師教學用書八年級上冊.