關于一道曲線積分習題的一題多解

曾春花　楊維珍

【摘 要】本文對曲線積分的一道課后習題，從不同思路出發，得到了不同解法。通過對解法的分析，不但全面復習了曲線積分知識，也有利于開拓思路，培養學生的創造性思維。

【關鍵詞】曲線積分；格林公式；原函數

Multiple solutions to An exercise about a curvilinear integral

ZENG Chun-hua YANG Wei-zhen

（School of Sciences，Kaili University，Kaili，Guizhou 556011，China）

【Abstract】Different solutions are obtained about an exercise after class on a curvilinear integral，Starting from different ways of thinking.Through the analysis of the solutions，Not only it is a comprehensive review of the curve integral knowledge， but Also it is conducive to the development of ideas ，and conducive to students creative thinking.

【Key words】Curvilinear integral；Green formula；Primitive function

在高等數學和數學分析教材[1-3]中，曲線積分是大學數學教學的主要內容之一，也是學生感到困惑的內容之一。如在計算是要考慮曲線積分是否與積分路徑無關，積分曲線是否為封閉曲線，若用格林公式來求怎樣添加輔助線等問題。這篇文章通分析對一道課后習題的不同解法，使學生熟練掌握第二型曲線積分的計算方法，同時也開拓了思路，培養了學生的創造性思維。

分析此解法是利用格林公式計算，而積分曲線不是封閉曲線，要添加輔助性使之變成封閉的積分曲線，從而能利用格林公式來求，然而在選擇添加的輔助線時，要注意在此輔助線上的曲線積分是容易計算出來的。

分析此解法是直接利用公式來計算，直接利用公式來計算就是把第二類曲線積分直接轉化為定積分計算。在計算過程中，首先確定積分限，再將積分曲線的參數方程代入被積函數中，最后進行替代。要注意積分限的確定，即積分上限是對應起點的參數，積分下限對于終點的參數，這積分過程可總結為“一定二代三替換”。

在遇到第二型曲線積分的計算問題時，首先考慮積分曲線是否能表示成參數形式，再直接利用公式來計算，在此計算過程中應注意積分限的確定；再考慮曲線積分是否與路徑無關，若曲線積分與路徑無關，如何求原函數；若積分曲線為封閉曲線，或添加輔助線使得積分曲線變為封閉曲線，而且偏導數在積分區域內連續，可以考慮格林公式，注意添加合適的輔助線，使得在輔助線的積分計算起來比較簡單。

【參考文獻】

[1]同濟大學.高等數學：下冊[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學數學系.數學分析：下冊[M].第4版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]王金金.高等數學：下冊[M].第1版.北京：北京郵電大學出版社，2012.endprint