淺談高中數學幾何題的解題技巧

鞏明珠??

摘要：作為高中數學的基礎性知識之一，在幾何問題的教學過程中，除了需要讓學生掌握基本的知識運用能力外，還應強調解題技巧與解題思路的培養。本文針對高中數學中幾何問題，結合實例探討了這類問題的解題技巧的教學。

關鍵詞：高中數學；幾何體；解題技巧

幾何問題一直是高中階段數學教學中的重難點知識，一些學生由于缺乏解題技巧，導致解題速度慢、正確率低，久而久之就會影響學生的學習自信心，進而產生畏難。因而在教學過程中，教師有必要讓學生掌握并學會運用解題技巧，以降低題目難度，簡化解題過程，從而減輕學習負擔。

一、 選擇題解題技巧

選擇類題型考查的知識點通常較為簡單，在選擇題的解題技巧講解中，需要教師引導學生歸納總結出錯的原因，然后再針對容易犯錯的知識點進行集中強化練習。

【例1】已知平面α∥平面β，直線l平面α，點P∈直線l，平面α、β間的距離為8，則在β內到點P的距離為10，且到l的距離為9的點的軌跡是（）

A. 一個圓B. 四個點C. 兩條直線D. 兩個點

【錯解】A

【錯因】學生對點線距離、線線距離、面面距離的關系掌握不牢。

【正解】B

【例2】a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面（）

A. 有且只有一個B. 一個面或無數個

C. 可能不存在D. 可能有無數個

【錯解】A

【錯因】過a與b垂直的平面條件不清。

【正解】C

二、 證明題解題技巧

證明題是最為常見的幾何類題型，這類題目通常考查的是學生的觀察能力、推理能力和邏輯思維能力，在講解這類題型的解題技巧時，需要教師將證明過程細化，然后分步講解。

【例3】如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F是AB中點。

（1）求證：BE∥平面PDF；

（2）求證：平面PDF⊥平面PAB。

【證明】（1）取PD中點為M，連接ME，MF，

∵E是PC的中點，

∴ME是△PCD的中位線，

∴ME

瘙 綊 12CD。

∵F是AB中點且由于ABCD是菱形，AB

瘙 綊 CD，

∴ME

瘙 綊 FB，

∴四邊形MEBF是平行四邊形，

∴BE∥MF。

∵BE平面PDF，MF平面PDF，

∴BE∥平面PDF。

（2）∵PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD，∴DF⊥PA。

∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB為正三角形。

∵F是AB中點，∴DF⊥AB。

∵PA、AB是平面PAB內的兩條相交直線，∴DF⊥平面PAB。

∵DF平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB。

三、 計算題解題技巧

在涉及計算的幾何類題型解題技巧教學中，若有不同的解法，教師應在講解過程中，將兩種不同解法列舉出來，然后讓學生對比學習，以此拓展學生的解題思路。

【例4】正三棱臺A1B1C1-ABC的側面與底面成45°角，求側棱與底面所成角的正切值。

【解】解法一：如圖2，設O1，O為上下底面正三角形的中心，連接O1O，A1O1交B1C1于D1，AO交BC于D。連接D1D，易證A1O1⊥B1C1，AD⊥BC，D1D⊥BC，過A1，D1分別作A1E⊥底面ABC，D1F⊥底面ABC，易證E、F在AD上。

因為正三棱臺A1B1C1-ABC的側面與底面成45°的二面角，所以∠D1DA=45°，因此A1E=O1O=D1F=FD。

設該正三棱臺上下底面的邊長為a，b，則AD=32b，A1D1=32a。

所以，A1E=O1O=D1F=FD=13×32b-13×32a=36（b-a）。

AE=23×32b-23×32a=33（b-a）。

所以，tan∠A1AE=A1EAE=12。

解法二：如圖3，延長AA1，BB1，CC1，則AA1，BB1，CC1相交于一點S。顯然點S在OO1的延長線上。由解法一得知，∠SDA為二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°。

所以，在Rt△SOD中，SO=OD。

因為，AO=2OD，所以tan∠SAO=SOAO=ODAO=12。

四、 結束語

關于高中數學幾何問題的解題技巧教學，教師應根據不同題型，結合學生的學習情況和思維模式，采取不同的教學方法。同時，解題技巧的熟練掌握和運用，還必須通過不斷練習，才能夠真正實現快速、準確地解決幾何類問題，實現教學質量和學習效率的提升。

參考文獻：

[1]任維.例析高中立體幾何的解題技巧[J].數理化學習（高中版），2016，（04）：6-7.

[2]魏華.高中數學解題策略分析——以高中的立體幾何作為具體例子進行分析[J].神州，2012，（28）：165.