例談高中數學統計與概率專題教學復習策略

黃漢羨??

摘要：高中數學中統計與概率是一個重點的教學復習內容，在高考中這一內容經常出現。為了更好的幫助學生進行復習，筆者從掃清盲點、凸顯思想、強化綜合三方面來闡述教學復習的相關內容。

關鍵詞：高中數學；統計與概率；教學復習策略

在高考中對統計與概率的考查，往往是以核心知識為重點、以基本問題為載體、以現實生活為背景的交會為命題的出發點，從而實現全面考查統計與概率的基本思想和方法以及學生的綜合能力和數學素養的目的。因此，在統計與概率的專題復習中我們要將這部分的內容進行宏觀上的整合，從而掃除學生復習中的障礙。

一、 掃清盲點

在掃清盲點中，我們的教師要做的就是幫助學生們厘清事件、識別模型、關注冷門。尤其是厘清事件、識別模型是答題的基礎和關鍵。下面我們舉一個厘清事件的實例。

例題：現已知總共有5只動物，其中有一只患有疾病，現在需要化驗動物的血液來判斷哪只動物患有疾病。血液化驗的結果如果呈陽性則是患病動物，呈陰性的也是沒有患病的動物。下面為兩種化驗的方案：

方案甲：挨個化驗，化驗到確定出來患病的動物為止。

方案乙：首先取出3只動物，得到它們的血液，混合在一起進行化驗。如果結果是呈陽性就說明三只動物中有一只患病的，然后再進行化驗，到最后確定到哪只是患病動物。如果結果是陰性的話，就在另外的兩只動物中取一只進行化驗。

（1） 求出方案乙中所需要化驗的次數多于方案甲中所需要化驗的次數的概率是多少；

（2） 用a表示方案乙中化驗的次數，求出它的期望是多少。

解：（1） 設a1，a2分別代表方案甲和乙化驗次數，P代表相對應的概率，

則方案甲中ξ1的分布列為

ξ1

1

2

3

4

P

15

45×14=15

45×34×13=15

45×34×23=25

方案乙中ξ2的分布列為

ξ2

1

2

3

P

0

C24C35×13+C34C35=35

C24C35×23=25

若甲化驗的次數不少于乙化驗的次數，則

P=P（ξ1=1）×P（ξ2=1）+P（ξ1=2）×[P（ξ2=1）+P（ξ2=2）]+P（ξ1=3）+[P（ξ2=1）+P（ξ2=2）+P（ξ2=3）]+P（ξ1=4）=0+15×0+35+15×0+35+25+25=0.72

（2）E（ξ）=1×0+2×35+3×25=125

例題分析：這道題中容易出錯的地方就是沒有與實際相聯系，忽略了這是一個實際問題。再方案甲中，每一次化驗時患有疾病的動物出現的概率是相等的，學生沒有認清實際，會以為化驗次數取值會是1，2，3，4，5。而實際上，如果前四次化驗結果呈陰性，就不再需要化驗第五次就能判斷最后一只動物為患病的，因此化驗的次數應當為1，2，3，4。相應的，方案乙中，如果第一次化驗結果是陽性，那么只需要化驗那三只中前兩只，結果是陰性的就不再需要進行化驗了，或者如果第一次化驗的時候是陰性，則化驗另外那兩只動物中的第一只，此時，呈現陰性或者陽性都不需要再進行化驗，取2，3即可。所以說，在進行有關分布列的問題解決時，首先第一步要弄清楚的是隨機變量可能的取值和每一個取值的意義是什么，以后再求出每一個取值時所出現的概率是多少，然后再求出分布列。

二、 凸顯思想

在這部分專題的復習中，常用的數學思想就是統計的思想。在解題時要以核心知識為中心、以事件模式識別為突破點、以圖表的情境為素材，將這些內容進行結合一一突破試題要求。

例題：未來制造業對零件的精度要求越來越高。3D一般的打印都是通過數字技術材料打印機來進行的。在工業設計、模具制造等部分領域中有著應用，比如制造模型，后來開始應用于直接制造產品，現在我國已經有成功的案例，有的零部件就是采用這種技術完成的。這種技術應用十分廣泛，可以預計在未來會有廣闊的發展空間。某制造企業向A高校3D打印實驗團隊租用一臺3D打印設備，用于打印一批對內徑有較高精度要求的零件。該團隊在實驗室打印出了一批這樣的零件，從中隨機抽取10件零件，度量其內徑的莖葉圖如圖所示（單位：μm）。

（Ⅰ） 計算平均值μ與標準差σ；

（Ⅱ） 假設這臺3D打印設備打印出品的零件內徑Z服從正態分布N（μ，σ2），該團隊到工廠安裝調試后，試打了5個零件，度量其內徑分別為（單位：μm）：86，95，103，109，118，試問此打印設備是否需要進一步調試，為什么？

參考數據：P（μ-2σ

解：（Ⅰ）μ=97+97+98+102+105+107+108+109+113+11410

=105μm，

σ2=（-8）2+（-8）2+（-7）2+（-3）2+02+22+32+42+82+9210

=36，

所以σ=6μm。

（Ⅱ）結論：需要進一步調試。

解法一：理由如下：如果機器正常工作，則Z服從正態分布N（105，62），

P（μ-3σ

零件內徑在（87，123）之外的概率只有0.0026，

而86（87，123），根據3σ原則，知機器異常，需要進一步調試。

解法二：理由如下：如果機器正常工作，則Z服從正態分布N（105，62），

P（μ-3σ

正常情況下5個零件中恰有一件內徑在（87，123）外的概率為：

P=C15×0.0026×0.99744=5×0.0026×0.99=0.01287，

為小概率事件，而86（87，123），小概率事件發生，說明機器異常，需要進一步調試。

解法三：理由如下：如果機器正常工作，則Z服從正態分布N（105，62），

P（μ-2σ

正常情況下5件零件中恰有2件內徑在（93，117）外的概率為：

P=C25×0.004562×0.95443=10×0.002×0.87=0.0174，

此為小概率事件，而86（93，117），118（93，117），小概率事件發生，說明機器異常，需要進一步調試。

例題分析：在解答本題時，我們要引導學生將重心放在統計思想和概率意義的解釋上邊，減少對復雜的計數上的關注，只有掌握了更多的方法才能在解題時水到渠成。

三、 錯題研究

就像盧那察爾斯基說的：“犯錯誤乃是取得進步所必須交付的學費。”只有在不斷地錯誤失敗中我們才能獲得更多的教訓，獲得更大的成長，所以教師在教學中要教導學生善于發現錯誤，善于在錯誤中找尋真正的答案，甚至更多的答案。

1. 總結錯誤，題型分類

“聰明的人不善于苦悶，而是善于思考錯誤”，在數學學習過程中，難免會出現各種錯誤，我們教師需要做的就是幫助學生在錯誤中找到答案，引導學生將出現錯誤的題總結起來，摘抄到筆記本上邊，然后進行題型分類。

就例如下面的一道選擇題：

如果一個整數為偶數的概率為0.6，且a，b，c均為整數，求 （1）a+b為偶數的概率；（2）a+b+c為偶數的概率。

解析：整數為奇數的概率為1-0.6=0.4

（1） 當a，b都為偶數或都為奇數時，a+b為偶數，記a+b為偶數的概率為P（a+b），則P（a+b）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52

（2） 由（1）可知，a+b為奇數的概率為0.48，a+b+c為偶數的條件是a+b與c均為偶數，或者a+b與c均為奇數，記a+b+c為偶數的概率為P（a+b+c），則 P（a+b+c）=0.52×0.6+0.48×0.4=0.504

這道題相對來說非常的簡單，但如果學生出錯的話，可能就是邏輯關系不清晰，也可能是計算錯誤，總之學生要把題先弄清楚，摘抄下來，然后分類匯總，整理到一起。

2. 找同類題，加強訓練

對于學生出錯的題型要教導學生總結起來，并著一些同類型的題目，反復訓練，加強做題能力，減小出錯幾率。

比如連線題，一邊是數字答案，一邊是數學計算式，學生有的會連錯，可能是答案沒算對，也可能是連線題比較混亂，適應不了。不管是什么理由，都要把該類題型做好，最有效的就是找一些同類型的訓練，通過不斷地磨煉增強做題能力，熟練做好各種題型。

四、 與同學討論多種解題方法

周恩來總理說過：“有錯誤要逢人便講，既可取得同志的監督幫助，又可以給同志們以借鑒。”可見犯錯誤之后與別人分享也是特別重要的。所以教師要教導學生不要怕犯錯，更不要把自己的錯誤掩藏起來，應該多于其他同學討論自己的錯誤，從別人的意見里找到自己的不足之處，更重要的是學習別人的長處，也許有的時候不同的同學會給出不一樣的見解，會發現更多內在的驚喜。

總而言之，高中數學統計與概率的復習需要學生們去多多的進行習題的練習，只有在實際的練習之中，才能夠更好地去發現問題所在，也能夠更好地去記住所運用到的解題知識及方法。想要取得好的成績，就只能夠去多加地努力，是沒有捷徑可走的。相信在老師與學生們的共同努力之下，高中數學統計與概率的復習將會取得更好的效果。

參考文獻：

[1]徐素華.概率與統計專題復習[J].高中數學理化，2012，01.

[2]金山.2011年高考必做客觀題——概率統計題[J].數學教學通訊，2011，Z1.