例談高三立體幾何位置關系證明難點突破

陳樹興

摘 要：高三立體幾何位置關系的證明中平行關系的證明本應該是比較簡單的考點，但在實際的教學中我們發現學生對于構造輔助線比較吃力，本文結合2017年的高考試題，談談在教學中我們該如何突破構造輔助線這個難點。

關鍵詞：立體幾何；位置關系；平行；證明；輔助線

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）36-0042-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.36.022

高中立體幾何教學中，位置關系的證明占有很大的比重，在教學中學生熟記、理解判定定理和性質定理后，看似應該會證明一般的位置關系，而真正操作起來，還是有很多的難點，如書寫不規范，不會做輔助線等，我主要圍繞位置關系證明中的平行關系的證明，試圖突破構造輔助線這個難點，為廣大師生提供另一種視角。

一、立體幾何中常用于證明兩直線平行的方法

1.三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

2.平行四邊形的判定定理

（1）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

3.平行于同一直線的兩直線平行。

4.如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直 線和交線平行。

5.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，所得交線平行。

6.垂直于同一平面的兩直線平行。

二、線面、面面平行的判定定理

1.線面平行的判斷：

（1）如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

（2）兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。

2.面面平行的判斷：

（1）一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面，這兩個平面平行。（要證兩個平面平行，只需要在其中一個平面內找兩條相交直線與另一個平面平行即可）

（2）一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別平行，則這兩個平面平行。（要證兩個平面平行，只需在其中一個平面內找兩條相交直線分別與另一個平面內的兩條相交直線分別平行即可）

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

3.轉化思想：

4.輔助線的構造（難點突破）

第一，翻譯定理。把判定定理翻譯以后，有助于學生思考，幫助學生確定目標。

線面平行的判定定理：

（1）如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

翻譯成：

要證一條直線與一個平面平行，只需要在這個平面內找一條直線與已知直線平行即可。

（2）兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。

翻譯成：

要證一條直線與一個平面平行，只需找一個經過這條直線的平面與已知平面平行即可（實質還是要證明線面平行，進而再證線線平行）。

面面平行的判斷：

（1）一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面，這兩個平面平行。

翻譯成：

要證兩個平面平行，只需要在其中一個平面內找兩條相交直線與另一個平面平行即可。

（2）一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別平行，則這兩個平面平行。

翻譯成：

要證兩個平面平行，只需在其中一個平面內找兩條相交直線分別與另一個平面內的兩條相交直線分別平行即可。

第二，找直線。把判定定理翻譯以后，按照轉化的思想，平行位置關系的證明最終都落到了找兩條直線互相平行這個點上。

第三，找點。找直線的過程實質上是去找兩個點（兩點確定一條直線），一般情況下，要找的點都是特殊位置上的點，如：線段的中點或幾等分點。也可以借助尺子，將尺子與已知直線重合，初步的平移到目標范圍內，找到目標點即可。

第四，構造輔助線。連接兩點即可。

注：證明線線平行，通常情況下構造平行四邊形或利用三角形的中位線來證明。

三、例題解析

例（2017新課標Ⅱ理）（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=■AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點。

證明：直線CE‖平面PAB；

分析：依據線面平行的判定定理，可以從兩個方面思考。

思路一：要證直線CE平行于平面PAB，只需在平面PAB內找一條直線與已知直線CE平行即可，進而問題就轉化為在平面PAB內找一條直線與直線CE平行，要確定這條直線，關鍵是在平面PAB內找兩個點，我們可以先借助直尺來找，先將直尺與直線CE重合，然后將直尺平移到平面PAB內，標記剛進入平面PAB時的兩個點的位置，發現點B是其中的一個點，設與直線PA的交點記為F，連接BF，觀察問題進一步轉化為如何證明CE‖BF，點F要滿足什么條件？回到題目條件，不難發現，點E為PD的中點，首先考慮點F為PA的中點，連接EF，EF為△PAD的中位線，則EF‖AD，最終，問題轉化為證明四邊形為EFBC平行四邊形即可。

證明：設點F為PA的中點，連接EF，連接BF，而E是PD的中點，則EF為△PAD的中位線，所以EF■■■AD，

∵AB=BC=■AD，∠BAD=∠ABC=90°

∴BC ■■AD

∴BC■EF

所以四邊形EFBC為平行四邊形。endprint

所以CE‖BF，

∵BF？哿平面PAB，CE？芫平面PAB

∴CE‖平面PAB

小結：要證一條直線與一個平面平行，只需要在這個平面內找一條直線與已知直線平行即可，在思考過程中，關鍵在已知平面內找兩個點，最終通過構造三角形中位線或平行四邊形來證明線線平行，最終證明線面平行。

思路二：要證直線CE平行于平面PAB，只需找一個經過直線CE的平面與知平面PAB

平行即可，進而問題就轉化為找一個經過直線CE的平面與知平面PAB平行，要確定這個平面，因為已知了兩個點C，E，由公理：不共線的三個點確定一個平面，關鍵是再找與C，E不共線的第三個點M，我們姑且記為點，我們的目的是要構造出一個經過直線CE的平面與知平面PAB平行，即MC，ME要與已知平面PAB分別平行，即MC，ME必須與已知平面PAB內的兩條相交直線分別平行，而同時滿足這兩個條件的點很少，只能是特殊的點，如中點或幾等分點，點M的位置基本上就 能定下來了。點M即為AD的中點。

面面平行的證明有兩種，書寫證明過程即有兩種。

證明（書寫一）：設點M為AD的中點，分別連接ME，MC

因為點M為的中點，E是PD的中點

所以，ME是△PAD的中位線

所以ME‖PA

又∵ME？芫平面PAB，PA？哿平面PAB

∴ME‖平面PAB

∵AB=BC=■AD，∠BAD=∠ABC

又∵點M為AD的中點

∴四邊形ABCM為正方形

∴ME‖AB

又∵MC？芫平面PAB，AB？哿平面PAB

∴MC‖平面PAB

又∵MC∩ME=M，MC？哿平面MCE，ME？哿平面MCE

∴平面MCE‖平面PAB

又∵CE？哿平面MCE

∴CE‖平面PAB

證明（書寫二）：設點M為AD的中點，分別連接ME，MC

因為點M為AD的中點，E是PD的中點

所以，ME是△PAD的中位線

所以ME‖PA

∵AB=BC=■AD，∠BAD=∠ABC=90°

又∵點M為AD的中點

∴四邊形ABCM為正方形

∴MC‖AB

又∵MC？哿平面MCE，ME？哿平面MCE，MC∩ME=M，PA？哿

平面PAB，AB？哿平面PAB

PA∩AB=A

∴平面MCE‖平面PAB

又∵CE？哿平面MCE

∴CE‖平面PAB

小結：要證一條直線與一個平面平行，只需找一個經過這條直線的平面與已知平面平行即可，關鍵是要找到一個經過這條直線的平面與已知平面平行，而找這個平面的關鍵是只需要找一個與已知直線上那兩個點不共線的點即可，而這個點的位置必須滿足：這個點與已知直線上兩點的連線分別與已知平面平行，從而構造輔助線。

高中立體幾何中位置關系的證明在每年的高考中經?？迹碱}的難點在于構造輔助線，希望本文的方法能為大家提供一種視角。

參考文獻：

[1] 車樹勤.立體幾何中平行與垂直的證明[J].中學生數理化：高三，2017（2）：13-15.

[2] 張繼海.談談解證立體幾何線面位置關系的策略[J].試題與研究，2014（2）：5-8.endprint