隨鉆測量用MEMS陀螺信號稀疏提取*

楊金顯,楊 闖

(河南理工大學電氣工程與自動化學院導航制導實驗室,河南 焦作 454000)

隨鉆測量用MEMS陀螺信號稀疏提取*

楊金顯*,楊 闖

(河南理工大學電氣工程與自動化學院導航制導實驗室,河南 焦作 454000)

針對隨鉆測量用MEMS陀螺檢測信號特性,提出采用稀疏表示的方法進行信號提取。首先從檢測的陀螺調制信號構成角度,分析其信號稀疏特性;然后分析檢測信號特性,構造與之最相似的過完備詞典;比較已有稀疏重構算法優劣性,提出一種改進的稀疏度自適應匹配追蹤算法對陀螺調制信號進行稀疏提取,進而解調真實陀螺信號;最后采用提出的改進SAMP算法于新構造的過完備字典中進行陀螺信號稀疏提取實驗,并與小波閾值提取法進行實驗對比,實驗結果表明:采用新構造的字典和改進的SAMP算法,可以有效提取MEMS陀螺真實信號,提取效果優于傳統小波閾值法。

隨鉆測量;MEMS陀螺;稀疏提取;小波變換

近年來,基于MEMS加速度計/陀螺儀的微慣性姿態測量單元(MIMU)以其成本低、體積小、壽命長、集成化、抗沖擊能力強和可靠性高等優勢,在石油鉆井、地質勘探和煤層氣(瓦斯)抽采等領域具有廣闊的應用前景。陀螺儀作為MIMU的主要測量元件,通過敏感鉆具的三軸向角速度解算可得鉆具井斜角、工具面角、方位角。但由于陀螺儀存在漂移,是MIMU的主要誤差源,長時間累積計算會產生較大誤差[1-6],因此,真實提取MEMS陀螺信號,去除噪聲,對提高陀螺精度及慣性隨鉆測量精度具有重要的意義。

目前,常采用時頻分析法來刻畫陀螺信號的特性,如STFT變換、W-V分布,小波變換等,將信號分解到一組基或正交基上,能夠提供更多的反應信號物理結構特征的信息[7-10]。從數學上講,這些方法都是使用完備基來表示信號的,把信號分解成其所在空間的無窮多個基函數的加權和,展開系數就是基與信號之間的內積。這些方法一旦基函數確定后,對于一個信號只能有唯一的一種分解方法,因此對于很多信號來說并不能得到信號的最佳稀疏表示。如果某信號具有稀疏性,說明信號的能量聚焦在少數的基函數上,就可以用少量的系數等價表示該信號,這非常有利于降噪處理。如果建立在正交基上的信號分解就會有一定的局限性,往往達不到好的稀疏表示效果,那么更好的信號分解方式應該是根據信號的結構特征,在更加冗余的字典(函數庫)中自適應地選擇合適的“基函數”來表征信號。

為了實現信號更加簡潔、靈活和自適應的表示,Coifman和Wickerhauser等提出了稀疏分解的概念;幾乎與此同時,Mallat和Zhang在小波分析的基礎上,也提出了信號在過完備原子庫上分解的思想[11-12]。信號稀疏表示依賴于基函數的選取,若信號與基函數之間存在相似性關系,信號在該基下具有稀疏的表示;反之,不能獲得信號的稀疏表示。稀疏分解作為獲取信號稀疏表示的一種有效途徑,在某種程度上彌補了小波閾值降噪的不足,具有廣闊的應用前景。本文采用稀疏表示的方法進行MEMS陀螺儀信號提取研究,為這類信號的分析提供一個新的方向。

1 信號的稀疏表示

1.1 陀螺儀信號的稀疏分析

MEMS陀螺儀信號中混疊著量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩定性、速度隨機游走,以及速率斜坡和環境變化引起的隨機噪聲[10]。從信號產生的機理分析,有什么樣的信號成分,一定相應的驅動因素,所以從這個角度上說信號可以分解成若干部分,可以說陀螺儀信號具有稀疏性。

假設采集到1 024個原始數據,如用小波(原子或基)來表示這組數據,需1 024個不同小波才能完美重構,這是很困難的。但對有用(相對噪聲而言)數據,從小波理論的角度來看是非常稀疏的,可能只需要一些小波就已經足夠獲取真實的信號(或有用的信號),其余小波的貢獻是很少的,都可看作為是相應的“噪聲”。

MEMS陀螺儀離散信號x(n)可表示為展開函數ψm(n)的一個線性組合:

(1)

式中:信號x為一個N×1階列向量,α為M×1階展開系數向量,展開函數ψm(n)為原子或特征波形原子,是具有特定物理意義的小的波形,與陀螺儀信號的組成結構有關,ε為噪聲。

用矩陣的形式表示:

x=Dα+ε

(2)

式中:α為展開系數,描述了信號與展開函數之間的相似程度,D={ψm(n)}m∈Z為N×M階矩陣,原子的集合,稱為字典。

從稀疏逼近的角度出發,從各種可能的組合中,挑選出分解系數最為稀疏的一組原子(基函數)來構建信號。對于MEMS陀螺儀信號,決定能否通過稀疏表示的方法來提取信號關鍵在于兩個因素:一個因素是如何找到一個合適的字典D,使得陀螺信號能夠用這個字典中的原子稀疏表示,從而具有盡可能小的非線性逼近誤差;第二個因素是如何設計好的算法來快速、準確的進行信號稀疏分解。

1.2MEMS陀螺檢測信號特性分析

以隨鉆測量用MEMS陀螺信號分析為出發點,為了選擇或優化字典D。某型單軸MEMS陀螺儀的驅動和檢測簡化方程[13]:

(3)

(4)

式中:mx,y、Dx,y、Kx,y為驅動和檢測方向的質量、阻尼系數和彈性系數,x(t)和y(t)為驅動和檢測方向的位移,ωz為z軸向角速度,Fe=fdsin(ωt)為驅動力(fd為驅動幅值,ω為驅動頻率)。

由方程(3)(4)兩式得檢測方程特解為:

(5)

式中:A1和A2不同時為零。

檢測信號特征方程為:

(6)

(7)

根據阻尼比ζy的大小,將阻尼分為3種狀態,ζy>1時為過阻尼,ζy=1時為臨界阻尼,ζy<1時為欠阻尼。為得到較短的穩定時間,一般取阻尼比ζy為0.6左右較為合適,但是由于實際中的哥氏力很小,為了能夠檢測到哥氏力引起的振動,需要將輸出模態的阻尼比或設計的很小[13-14]。在欠阻尼ζy狀態下檢測信號y(t)的通解為:

(8)

由上述推導知,MEMS陀螺儀檢測到的調制信號由周期部分和指數衰減部分構成,信號中的其他部分,應為噪聲。

1.3 字典的構造

目前,稀疏分解常用的字典原子庫主要有Ricker子波原子庫、墨西哥帽子波原子庫及Morlet子波原子庫等[15]。信號稀疏表示的本質是在變換域上用盡可能少的原子來(或準確地)表示原始信號,如果信號的特性與所選擇的原子不完全匹配的話,獲得的分解結果就不一定是信號的稀疏表示,造成這種狀況的一個重要原因是用于信號表示的函數集不具有冗余特性。

為了能夠根據信號自身的特點從冗余的函數集中選擇原子,結合陀螺儀檢測信號的分析,選取如下函數作為信號分解的字典原子ψm(t),即:

(9)

式中:g(t)=e-πt是窗函數,m=(s,u,ω,φ)是時頻參數,其中s是伸縮因子(尺度因子),u是平移因子(位移因子),ω是原子的頻率,φ是原子的相位。一個原子由(s,u,ω,φ)4個參數決定,不同的參數選取就產生不同原子,進而構成過完備字典(原子庫):D={ψm|m=1,2,…p},P為過完備字典中原子個數。

用式(9)的函數作為原子的優點是它與陀螺檢測信號的瞬態響應很相似,因而非常適合于提取信號中的衰減波形,此外,當s足夠大時,字典原子退化為標準的正弦波函數,因此同時也具有提取信號中平穩的、以正弦波為特征的周期性成分的能力,如圖1所示,因此該字典原子兼顧了陀螺檢測信號中的平穩和非平穩特征。

1.4 稀疏分解算法

在眾多字典原子中尋找最佳原子,如果采用最小二乘近似法或分組搜索法都是很困難的,而MP貪婪算法由于其計算量小、重建效果好且較易實現的特點,對字典原子沒有特定要求,幾乎任何物理可實現的函數都可作為原子,從而為特定的應用問題提供了極大的靈活性,應用最為廣泛[16]。此外,信號的分解過程是一步一步進行的,每一步的尋優計算都較為簡單,十分有利于尋優算法的穩定性。

前述分析知,MEMS陀螺儀信號在空間上為有限維的,具有稀疏性,因此用這一部分最佳原子構建信號是可行的:

(10)

式中:x為陀螺信號,αk為稀疏系數,grk為挑選出的原子(尋優的原子),K為挑選原子總數(也稱為信號x的稀疏度)。

由于字典的過完備性,稀疏系數αk的選擇不唯一。MP是用迭代方法逐步選出所需的原子:

①假設初始殘余信號為x0,并通過求解x0與字典中的原子集合{}有最大內積的原子(最佳原子)來選取展開系數α0和展開函數ψ0,即令殘余信號x0=x,求解α0==max||,ψm∈D。

②然后計算下一步殘余信號x1和逼近。在第k步,求解αk==max||,并計算新的殘余信號xk+1和新的逼近(信號x就被分解為在最佳原子的垂直投影分量和殘值兩部分)即:

式中:xk+1=xk-αkψk。

③如此重復,直到陀螺殘余信號衰減到預先設定的閾值(設定迭代終止誤差e為一很小的正數)或到達設定循環次數為止。

上述迭代循環過程不難看出,MP算法是收斂的(每一次計算后的信號殘余比上一次小)。如果信號或信號的殘余在已選擇的原子進行垂直投影是非正交性的,會使得每次迭代的結果并不是最優的而是次最優的,收斂需要很多次迭代。為解決非正交引起的迭代收斂時間過長,Joel A Tropp等提出了正交匹配追蹤算法(OMP),將歷次所選原子依次進行Schimidt正交化,然后將待分解信號減去在正交化后的原子上各自的分量得到信號新的殘差[17],大大提高了收斂速度,降低稀疏分解時間。OMP算法每次迭代僅選擇與信號或信號的殘差最相關的一個原子,為進一步提高原子尋優效率,加快殘差收斂速度,Needell D等提出正則化正交匹配追蹤算法(ROMP),每次迭代選擇多個原子[18]。之后壓縮采樣匹配追蹤(CoSMP)和子空間匹配追蹤算法(SP)相繼提出,通過對歷次選擇的最優原子進行替換與補充,進一步提高原子選擇準確度[19-20]。上述這些算法都需要預知信號稀疏度K,對于稀疏度未知的MEMS陀螺信號進行稀疏分解是很困難的,由此出現了不需先驗獲取信號稀疏度K的稀疏度自適應匹配追蹤算法(SAMP),通過自適應調整步長來逐階段逼近原始信號[21],SAMP算法流程如下:

輸入:①原子詞典D(N×M原子向量陣);②N×1階信號向量x;③步長s;

輸出:①重構信號xr;②殘差向量r=x-xr;

Step 1 初始化:迭代次數k=1,階段索引j=1,迭代殘差r0=x,階段殘差r=r0,支撐集F0=φ,支撐集長度L=s,原子索引集S0=φ,候選集C0=φ;

Step 2 計算c=|DTrk-1|,將c中L個最大值對應的原子索引存入索引集Sk;

Step 5 若殘差‖r‖≤ε(ε為殘差閾值),則停止迭代進入Step6;若‖r‖2≥‖rk-1‖2,則更新階段索引j=j+1,更新支撐集長度L=j×s并返回Step2;否則Ck=Fk,k=k+1,rk=r,并返回Step2;

從SAMP算法分解流程可以看出,SAMP算法不僅兼顧了ROMP的自底向上逐階段正交逼近思想,同時兼具CoSaMP和SP自頂向下的回溯思想,進一步保證信號重構精度和重構效率。但是,SAMP應用于陀螺信號的稀疏分解也存在下述問題:

①原子尋優時計算量主要集中在Step2內積c=|DTrk-1|計算上,為進一步減小計算量,對內積運算優化如下:對于參數為(si,ωi,φi)的字典D中原子ψi,如讓ui遍歷[0,N-1]所有值,則原子ψi需與陀螺信號或信號分解的殘余作N次內積運算。考慮ui由0到N-1連續取值,則N次內積運算可記為一次xk與ψi互相關運算:

Rxkψi(n)=rk-1(n)ψi(n)

(11)

式中:n=0,1,…,N-1。借助DSP處理器FFT算法可快速實現式(11)互相關運算,為進一步提高計算效率,將序列{rk-1(n)}和{ψi(n)}構成復序列{z(n)},即{z(n)}={rk-1(n)}+j{ψi(n)},直接對復序列{z(n)}進行FFT,提取{z(n)}FFT計算結果,并共軛相乘后進行逆FFT運算(IFFT)即可得互相關運算序列,復數FFT互相關計算流程如圖2所示。

圖2 復數FFT互相關計算流程

②SAMP算法最終信號提取精度,依賴于算法迭代終止時機的選擇,在信號無噪或少量噪聲情況下,SAMP迭代終止條件‖r‖≤ε較易滿足;當信號混疊有大量噪聲時,迭代進行一定次數后,信號殘差r主要為噪聲,由于噪聲強度無法準確預知,因此迭代終止閾值ε選取困難,同時,由于相鄰兩次迭代殘差變化不大,導致算法無法正?；驕蚀_進行階段轉換,甚至迭代無法終止。

為解決上述問題,本文提出采用殘差的相干比作為迭代終止條件,相干比定義為:

λ(rk-1)=‖DFkrk-1‖2/‖L(DFk)·rk-1‖2

(12)

式中:rk-1為第k次迭代前的殘差,DFk為第k次迭代后選擇出的L(DFk)個最佳原子集合。設相干比閾值為ε,當殘差rk-1的相干比低于閾值ε時,說明經過進一步回溯選擇的L(DFk)個最佳原子與回溯前信號的殘差相關性很弱,說明殘余信號中,已基本剩余噪聲信號,即λ(rk-1)≤ε時,原子尋優過程結束,算法達到終止條件。

2 陀螺信號稀疏提取流程

綜上所述,由MEMS陀螺檢測方程的解特性出發,分析調制信號特征;選擇與檢測到的調制信號特性最為相似的特征波形原子,構造過完備原子字典;利用改進的SAMP算法獲得分解系數更加集中的信號表述形式,將信號的能量壓縮到一組逼近原始信號的原子上;進一步通過對信號成分和噪聲成分系數的劃分和選擇,由少數原子組合得到陀螺調制信號的最佳逼近,實現對調制信號的稀疏提取,進一步對重構的調制信號解調,得到重構的真實陀螺信號。陀螺信號稀疏提取流程如圖3。

圖3 陀螺信號稀疏提取流程圖

3 實驗分析

3.1MEMS陀螺實測信號

①將隨鉆測量系統固定于轉臺上;②轉臺調平,啟動測量系統;③轉臺輸入角速度10 °/s;④采樣頻率50 Hz,連續采集10 000點。

3.2 本文稀疏提取與小波閾值法陀螺信號提取對比

為比較基于式(9)原子詞典的改進SAMP算法 稀疏提取陀螺信號效果,與小波閾值法提取對比試驗。其中,改進SAMP算法實驗參數設置:迭代終止閾值ε=10-3,改進SAMP算法步長S取值為5;

小波閾值法提取實驗參數設置:選取Db4正交小波基,對MEMS陀螺輸出信號進行5尺度小波分解,采用Minimaxi軟閾值進行MEMS陀螺信號重構。MEMS陀螺信號信噪比SNR、均方根誤差RSME及純陀螺數據解算100 s方位角誤差結果如表1所示,實驗結果如圖4、5所示。

表1 陀螺信號提取效果對比

圖5 方位角解算誤差對比

對比表1及圖4、5結果知,無論在視覺上還是在提取效果評價指標意義上,基于本文SAMP稀疏提取效果均優于小波閾值法。理論上,陀螺儀輸出數據應為一條直線,其數據特性應是很稀疏的,由于轉臺在啟動、轉動過程中不穩定,造成的輸出數據有一些波動。

3.3 不同字典下陀螺信號稀疏提取對比

在相同原始陀螺信號(解調前)、本文改進SAMP算法參數配置相同(同3.2節)、同一實驗平臺等相同條件下,分別采用Ricker字典、墨西哥帽字典、Morlet字典及本文基于式(9)構造字典對同一組陀螺信號,進行稀疏提取實驗,提取重構后MEMS陀螺信號SNR、RSME及純陀螺數據解算100s方位角誤差結果如表2所示。

表2 不同字典下陀螺信號提取效果對比

表2實驗結果表明,在相同稀疏提取算法條件下,本文構造原子詞典相比其他詞典更適合提取調制信號。

3.4 不同稀疏分解算法下陀螺信號提取對比

在相同原始陀螺信號(解調前)、相同字典原子(本文構造)、同一實驗平臺等相同條件下,分別采用MP、OMP、SAMP及本文改進SAMP(參數配置同3.2節)對同一組陀螺信號,進行稀疏提取實驗,并與小波閾值法對比。由于陀螺信號稀疏分解的速度依賴于計算條件(硬件條件和軟件條件),為便于比較不同算法提取速度,將MP算法速度設為1,其他算法速度以n倍于MP算法表示。提取重構后MEMS陀螺信號純陀螺數據解算100 s方位角誤差及計算速度結果如表3所示。

表3 不同字典下陀螺信號提取效果對比

表3實驗結果表明,在相同計算條件下,小波閾值法速度最快,但精度最低;MP算法精度最高,但計算速度最慢;本文改進SAMP算法,同時兼顧了提取速度與精度。

4 結論

通過對隨鉆測量MEMS陀螺檢測信號特性的分析,構造與之相似的過完備字典;比較現有貪婪稀疏分解算法優劣性,提出一種改進稀疏度自適應匹配追蹤(SAMP)算法進行MEMS陀螺調制信號提取,進而解調為最接近真實陀螺信號。實驗結果表明:新構造過完備字典能夠有效重構陀螺調制信號;提出的改進SAMP算法,同時兼顧了信號稀疏提取精度與效率;與傳統小波閾值法提取信號效果對比說明了信號的稀疏表示能有效而簡潔地表達信號,為MEMS陀螺信號的分析提供了一種新的方向,具有一定的工程意義。

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楊金顯(1980-),男,山東曹縣人,博士,副教授,碩士生導師,1999～2008年于哈爾濱工程大學獲得學士、碩士和博士學位,主要從事MEMS慣性測量及在隨鉆、電網運動和變形監測中的應用研究,yangjinxian@hpu.edu.cn;

楊闖(1992-),男,河南滑縣人,現為河南理工大學電氣工程與自動化學院碩士研究生,主要從事MEMS慣性測量研究,yang_ch126@126.com。

SignalExtractionofMEMSGyroUtilizedinMWDBasedonSparseRepresentation*

YANGJinxian*,YANGChuang

(Navigation and Guidance Laboratory,School of Electrical Engineering and Automation,He’nan Polytechnic University,Jiaozuo He’nan 454000,China)

According to the characteristics of the detected signal from MEMS gyro utilized in measurement while drilling(MWD),a kind of sparse representation-based gyro signal extraction method is proposed. Firstly,the sparse characteristics about the gyro detection signal is analyzed from the perceptive of the signal compositions;Secondly,the atom dictionary most similar to the gyro detection signal is designed;Thirdly,by comparing the advantages and disadvantages of the existing sparse reconstruction algorithms,a novel sparse adaptive matching pursuit algorithm is proposed to extract the real detection signals of the gyro;Finally,the proposed sparse reconstruction algorithm based on the newly designed atom dictionary was used to extract the actual gyro signal,compared with the wavelet threshold extraction method. Substantial experiments results indicate that the proposed sparse extraction-based outperformes wavelet threshold method.

MWD;MEMS gyro;sparse representation;wavelet transform

TH763

A

1004-1699(2017)11-1677-07

項目來源:國家自然科學基金項目(41672363,U1404510,61440007),河南省科技攻關項目(172102210289),河南省創新型科技人才隊伍建設工程項目(CXTD2016054),河南省高校基本科研業務費專項資金項目(NSFRF1619),河南理工大學杰出青年基金項目(J2017-5)

2017-03-21修改日期2017-07-05

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.11.011