基于自適應Kalman濾波的MEMS陀螺隨機誤差分析

王辛望,沈小林*,劉新生

(1.中北大學計算機與控制工程學院,太原 030051;2.江蘇曙光光電有限公司,江蘇 揚州 225009)

基于自適應Kalman濾波的MEMS陀螺隨機誤差分析

王辛望1,沈小林1*,劉新生2

(1.中北大學計算機與控制工程學院,太原 030051;2.江蘇曙光光電有限公司,江蘇 揚州 225009)

針對某型MEMS陀螺隨機誤差較大、精度不高的問題,通過時間序列分析法,建立自回歸滑動平均ARMA(Auto-Regressive and Moving Average)模型,采用ARMA(2,1)模型將預處理后的MEMS陀螺隨機誤差進行建模。設計基于ARMA模型的經典Kalman濾波器。靜態試驗和恒定速率試驗結果表明在經典Kalman濾波器作用下,靜態試驗下其均值與均方差下降32.62%和66.31%;恒定速率試驗下,其均值有明顯的降低,其均方差減小了一個數量級。針對經典Kalman濾波器不能解決振動試驗中大振幅時濾波發散問題,提出一種新的自適應Kalman濾波法,通過尋找合適的標定因子s解決濾波發散問題。振動試驗結果表明,當振幅為100°時,濾波后的均值和均方差分別下降8.25%和8.36%。

MEMS陀螺;隨機誤差;自適應Kalman濾波;時間序列分析;自回歸滑動平均;Allan方差

微機電系統(Micro-Electro-Mechanical System)慣性器件在無人機、精確制導武器、低成本慣導系統等領域得到大量應用。其中MEMS陀螺以其質量小、便于攜帶、易于安裝、高可靠以及耐沖擊等優勢得到大規模使用。相比于激光陀螺、光纖陀螺、靜電陀螺等,MEMS陀螺精度比較低,阻礙了MEMS陀螺的發展;通過可行的措施降低MEMS陀螺的隨機誤差,改善其精度是目前亟待解決的重要問題之一[1]。目前針對降低MEMS陀螺隨機誤差方法有很多種,通常使用神經網絡、小波分析等方法[2-3],但是上述方法獲得的模型總是帶有很高的階數,在低成本慣導系統實時在線估計與預測中并不適用。因此運用時間序列分析法,通過對MEMS陀螺隨機誤差選取合適的模型進行建模,設計Kalman濾波器減小MEMS陀螺的隨機誤差是一個不錯的選擇。文獻[4]只對MEMS陀螺隨機誤差進行建模,并沒有設計濾波器分析其隨機誤差;文獻[5-6]對MEMS陀螺隨機誤差進行建模,設計Kalman濾波器分析其隨機誤差,但卻沒有考慮動態時Kalman濾波器可能出現的問題;文獻[7]對MEMS陀螺隨機誤差進行了AR(自回歸,Auto-Regressive)模型建模,設計Kalman濾波器并進行靜態試驗和動態試驗,試驗結果表明該Kalman濾波器有效減小了MEMS陀螺的隨機誤差,但卻忽略了振動試驗時Kalman濾波器的局限性。作者提出并設計一種自適應Kalman濾波器,建立ARMA(自回歸滑動平均,Auto-Regressive and Moving Average)模型對MEMS陀螺隨機誤差進行分析,通過設計靜態試驗和動態試驗討論MEMS陀螺隨機誤差,尤其解決了振動試驗時Kalman濾波器的局限性。通過一系列數據對比,證明了自適應Kalman濾波器的有效性。

1 Kalman濾波器的設計

1.1 經典Kalman濾波器的設計

Kalman濾波于20世紀中期被提出,目前仍在工程中得到廣泛的應用。Kalman濾波是一種遞推線性最小方差估計,只通過前一個狀態時刻的估計值和現在狀態的量測值來計算現在狀態的估計值,方法簡便,易于工程實現。它可以實現最小均方估計誤差意義下隨機信號的最優線性濾波。構建MEMS陀螺隨機誤差模型,通過Kalman濾波器對MEMS陀螺隨機誤差進行濾波。將MEMS陀螺隨機誤差作為系統輸入,設其k時刻的系統和量測方程是:

(1)

Kalman濾波的5個基本方程為:

(2)

式中:Hk為量測陣,Kk是濾波增益矩陣;Pk,k-1是一步預測誤差方差陣;Pk是估計誤差方差陣;R是測量噪聲的協方差;Q是過程噪聲的協方差;在MEMS陀螺隨機誤差中,R、Q均為常數。經典Kalman濾波的步驟如圖1所示。

圖1 經典Kalman濾波器的步驟

1.2 自適應Kalman濾波器的設計

基于1.1節經典Kalman濾波器,實際工程應用時總會出現量測值數目k持續增加時,估計值與實際被估計值之間的偏差不斷增大,導致Kalman濾波器逐步喪失作用,造成濾波的發散。由于Kalman濾波被定義為一個遞推過程,當濾波步數逐漸變大,舍入誤差開始不斷累積,造成估計的均方誤差陣喪失非負定性甚至丟掉對稱性,導致增益陣的計算值不斷喪失合適的加權作用而發散。特別是當Kalman濾波器應用于MEMS陀螺中時,這種現象會導致其精度下降,隨機誤差變大,影響了MEMS陀螺的使用。因此我們介紹一種自適應Kalman濾波器,在濾波過程中針對新鮮量測值對估計值的修正作用減弱,陳舊量測值的修正作用逐漸增大的現象,改進Kalman濾波方程,提出標定因子s的概念。通過尋找合適的標定因子s,逐漸削弱陳舊量測值的比例,同時增加新鮮量測值的權重,扼制經典Kalman濾波器的發散,從而減小MEMS陀螺的隨機誤差,提高其精度。

2 時間序列分析法

時間序列分析法的主要內容是研究時間序列的分解、預測、時間序列的線性模型的建模、估計、檢驗和控制方法等,擬合高精度模型滿足研究和實際工程需要。

在建模之前對采集的數據進行預處理,剔除其中的奇異點,然后平滑處理并消除其中的均值,最后用多項式擬合法去除其中的線性趨勢項,得到預處理后的結果。將預處理后的數據進行建模,根據最小信息準則AIC(Akaike Information Criterion)、貝葉斯信息準則BIC(Bayesian Information Criterion)等準則選取模型并定階[8],綜合考慮試驗因素以及硬件條件實現的方便,此試驗MEMS陀螺隨機誤差選擇自回歸滑動平均ARMA模型進行建模。該模型的優勢在于便于分析復雜的時間序列、能夠更準確的對復雜時間序列進行預測[9]。

設預處理后數據序列是{xp},令p=1,2,…,N,則{xp}的ARMA(p,q)模型如式(3)所示。

(3)

針對試驗使用的某型MEMS陀螺,已知其隨機誤差模型階數一般比較低,因此試對其建立ARMA(1,1)、ARMA(1,2)、ARMA(2,1)模型。對3種模型的參數、AIC和BIC參數進行估計,估計結果如表1所示。

表1 3種模型的擬合系數

根據試驗要求、模型擬合精度以及AIC、BIC等準則,選取ARMA(2,1)最為試驗所用MEMS陀螺的隨機誤差模型,其表達式如式(4)所示[10-12]。

(4)

3 試驗結果與分析

3.1 靜態數據采集

試驗采用某型MEMS陀螺,將其采樣頻率設為100 Hz并水平固定在溫箱中,保證試驗在恒溫恒濕的條件下進行。將該陀螺通電預熱1 h,確保其穩定運行后,以100 Hz連續采集2 h,重復上述過程連續采集六天,取其中一次比較好的10 min數據作為樣本,獲得陀螺Z軸靜態輸出,共采集到60 000個數據樣本。

圖2 MEMS陀螺Z軸靜態隨機誤差

3.2 靜態試驗

將Z軸的靜態輸出進行預處理,則預處理后Z軸靜態隨機誤差如圖3所示。

圖3 預處理后Z軸靜態隨機誤差

圖4 靜態試驗結果

Kalman濾波前Kalman濾波后量化噪聲4.4965e-044.6697e-04角度隨機游走1.7592e-045.7544e-05零偏不穩定性0.01440.0129速率斜坡0.22570.2507角速率隨機游走1.25171.1903均值-2.2785E-05-1.5582E-05均方差0.07480.0258

在靜態的情況下,均值由-2.278 5E-05下降到-1.558 2E-05,均方差由0.074 8下降到0.025 8,角度隨機游走由1.759 2e-04下降到5.754 4e-05,試驗表明在靜態情況下,經典Kalman濾波器效果明顯,能夠有效減小MEMS陀螺隨機誤差,提高MEMS陀螺的精度。

3.3 恒定速率試驗

將轉臺的角速率分別設置為5 °/s、10 °/s、15 °/s、20 °/s、25 °/s、50 °/s、100 °/s,基于相同的試驗條件,待轉臺穩定轉動后,以100 Hz頻率采集該陀螺Z軸輸出數據1 min。重復ARMA(p,q)建模過程,對采集的數據進行Kalman濾波,得到轉臺速率為5 °/s時Kalman濾波前后的曲線如圖5所示,不同速率下Kalman濾波前后均值與均方差如表2所示[13]。

表3 恒定速率下Kalman濾波前后均值與均方差

圖5 恒定速率試驗結果(輸入速率為5 °/s)

3.4 振動試驗

3.3節中的試驗只是針對恒定速率,根據工程的實際需要,利用振動臺的特性,設計出一種振動試驗,通過不同時刻速率變化來比較經典Kalman濾波和自適應Kalman濾波。設置振動臺輸出振幅為5°、10°、15°、20°、25°、50°、100°的正弦曲線,待振動穩定后,以100 Hz的頻率采集陀螺Z軸的輸出數據1 min。重復建立ARMA(p,q)模型,設計Kalman濾波器,得到振動臺振幅為10°時Kalman濾波前后的曲線如圖6所示,表4為不同振幅下經典Kalman濾波前后均值與均方差的結果。

圖6 振動試驗結果(輸入振幅為5°)

Kalman濾波前均值均方差Kalman濾波后均值均方差5°-0.001223.53471-0.001263.5082510°-0.001257.06975-0.001227.0177615°-0.0012610.60496-0.0011610.5272720°-0.0013314.14027-0.0011214.0368725°-0.0013817.67564-0.0010717.5464750°-0.0013635.35243-0.0008235.49423100°-0.0013370.70633-0.0003470.88996

根據表4結果可知,當振動臺振幅為50°、100°,該型MEMS陀螺輸出的均值和均方差呈增大趨勢,繼續增大輸出振幅,讓振動臺以150°、200°振動時,其均值與均方差同樣呈增大趨勢,因此原先設計的Kalman濾波器不能適用于振幅較大的情況。根據2.2節設計的自適應Kalman濾波器以及ARMA(2,1)模型的參數、試驗所用MEMS陀螺以及先驗知識,將標定因子s設置為1.05、1.04、1.03、1.02、1.01,不同振幅下濾波后的均值與均方差如表5、表6所示[14-15]。

表5 不同標定因子下振動試驗均值

表6 不同標定因子下振動試驗均方差

由表5、6對比可知,當標定因子s選取為1.01時,隨著振幅的不斷增大,其均值與均方差均逐漸變小并在s=1.01處存在最小值。因此本試驗中,針對MEMS陀螺和自適應Kalman濾波器的特性,選取標定因子s=1.01時濾波效果最佳。s=1.01時,振幅為100°時的濾波曲線如圖7所示。

圖7 s=1.01、振幅為100 °/s時自適應Kalman濾波圖

4 結論

MEMS陀螺隨機誤差相對較大,介紹Kalman濾波器和自適應Kalman濾波器,通過時間序列分析法,建立ARMA(p,q)模型,對其隨機誤差進行分析。通過靜態試驗、恒定速率試驗以及振動試驗,對比Kalman濾波器和自適應Kalman濾波器的濾波效果。試驗結果表明,在靜態試驗和恒定速率試驗中,經典Kalman濾波器濾波效果明顯,在靜態試驗中其均值與均方差下降了32.62%和66.31%;在恒定速率試驗中該型MEMS陀螺均值明顯降低;其均方差減小了一個數量級。而在振動試驗中,經典Kalman濾波器不能滿足大振幅振動下的濾波要求,自適應Kalman濾波器不但能滿足要求,而且當輸出振幅為100°時,濾波后的均值和均方差分別下降了8.25%和8.36%。因此自適應Kalman濾波器具有更廣泛適用性,能夠有效提高MEMS陀螺精度。

[1] 嚴恭敏. 慣性儀器測試與數據分析[M]. 北京:國防工業出版社,2012:3-42.

[2] 童姣葉,李榮寬,杜微. 基于小波分析的MEMS加速度計輸出噪聲消除[J]. 傳感技術學報,2015,28(10):1503-1507.

[3] 杜瑾,李杰,馮凱強,等. 多項式擬合在MEMS陀螺儀零點隨機漂移抑制中的應用研究[J]. 傳感技術學報,2016,29(5):729-732.

[4] 傅建國,王孝通,李博,等. MEMS陀螺隨機誤差模型研究[J]. 傳感器與微系統,2005,24(3):75-77.

[5] 吉訓生,王壽榮. MEMS陀螺儀隨機漂移誤差研究[J]. 宇航學報,2006,27(4):640-642.

[6] 李杰,張文棟,劉俊. 基于時間序列分析的Kalman濾波方法在MEMS陀螺儀隨機漂移誤差補償中的應用研究[J]. 傳感技術學報,2006,19(5B):2215-2219.

[7] 張玉蓮,儲海榮,張宏巍,等. MEMS陀螺隨機誤差特性研究及補償[J]. 中國光學,2016,9(4):501-510.

[8] Jonathan D,Cryer,Kung-Sik Chan. 時間序列分析及應用[M]. 北京:機械工業出版社,2011:31-67.

[9] 張善文.雷英杰,馮有前. MATLAB在時間序列分析中的應用[M]. 西安:西安電子科技大學出版社,2007:130-151.

[10] 曾慶化,黃磊,劉建業,等. 基于ARMA模型的光纖陀螺隨機噪聲濾波方法[J]. 中國慣性技術學報,2015(1):120-124.

[11] Waegli A,Skaloud J,Guerrier S,et al. Noise Reduction and Estimate on in Multiple Microelectro Mechanical Inertial Systems[J]. Measurement Science and Technology,2010,21(6):156-158.

[12] 王新龍,陳濤,杜宇. 基于ARMA模型的光纖陀螺漂移數據建模方法研究[J]. 彈箭與制導學報,2006,26(1):5-7.

[13] 秦永元,張洪鉞,汪叔華. 卡爾曼濾波與組合導航原理[M]. 西安:西北工業大學出版社,2015:71-139.

[14] Hu Z,Gallacher B. Extended Kalman Filtering Based Parameter Estimation and Drift Compensation for A MEMS Rate Integrating Gyroscope[J]. Sensors and Actuators A Physical,2016,250:96-105.

[15] 錢華明,夏全喜,闕興濤,等. 基于Kalman濾波的MEMS陀螺儀濾波算法[J]. 哈爾濱工程大學學報,2010,31(9):1217-1221.

王辛望(1991-),男,河北石家莊人,中北大學碩士研究生,控制理論與控制工程,導航、制導與控制,MEMS微機電慣性傳感器、新型微納機電傳感系統仿真、加工與性能測試,379719568@qq.com;

沈小林(1958-),男,中北大學計算機與控制工程學院副教授,主要研究方向為控制理論與控制工程,導航、制導與控制,檢測技術與自動化裝置,sxl@nuc.edu.cn。

RandomErrorAnalysisofMEMSGyroscopeBasedonAdaptiveKalmanFilter

WANGXinwang1,SHENXiaolin1*,LIUXinsheng2

(1.School of Computer and Control Engineering,North University of China,Taiyuan 030051,China;2.Jiangsu Shuguang Opto-Electronics Co.,Ltd,Yangzhou Jiangsu 225009,China)

In order to improve performance of a certain type MEMS gyroscope,based on the principles of time series analysis,ARMA model is established and ARMA(2,1)is used to establish MEMS gyroscope random error model. The Kalman filter is designed and the result of static test and the constant rate test show that under the classic Kalman filter,the mean and mean square deviation of the MEMS gyroscope random error is reduced by 32.62% and 66.31% in the static test;the mean is much smaller and the mean square deviation is decreased by an order of magnitude in the constant rate test. Based on the fact that the classic Kalman filter can not adapt to the vibration test of large amplitude,a new adaptive Kalman filter is proposed in this paper by looking for the adaptive calibration factors to deal with the problem of the divergence in the classic Kalman filter. The results of vibration test show that the mean and the mean square deviation after filtering is reduced by 8.25% and 8.36% when the amplitude is 100°.

MEMS gyroscope;random error;adaptive Kalman filter;time series analysis;Auto-Regressive and Moving Average;Allan variance

V241.5

A

1004-1699(2017)11-1666-05

2017-04-24修改日期2017-06-29

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.11.009