矩陣理論在企業投入產出中的分析與應用

熊靖 賈續毅

摘 要：通過運用高等代數中的矩陣理論，在企業管理投資中引入消耗系數，構建投入產出模型，建立平衡方程組，進行矩陣計算并求出線性解。據此對企業的經濟指標、生產效益做出評估與預測，為企業投資生產提供相對優化的策略。

關鍵詞：矩陣；經濟學模型；消耗系數；投入產出；市場應用

在當今市場經濟中，一個企業生產多種產品時，對于所生產的各種產品，它們之間存在著復雜的關系。在市場經濟條件下，企業需要根據市場的變化來預測以及調整生產銷售目標，故需要解決如何根據生產需求來安排企業內部各種產品的生產，如何安排各種外購產品的補給，以及如何在保證市場需求條件下更好地安排企業的生產方案及提高生產效益等諸多問題。

一、投入產出中的消耗系數

在對一企業進行投入產出分析過程中，可以使用直接消耗系數來反映直接消耗程度的大小。直接消耗系數表示一個產業部門在生產過程中直接消耗其他部門產出量的比例。將一個經濟系統劃分為n個不同的部門，用xij表示第j個部門在生產運營中需要直接消耗的第i個部門的產品等價值總量，用XJ表示第j個部門的產品等價值量，記為：

通過直接消耗系數可以將各個產業部門之間存在著的技術和物質上的聯系表現出來。同時各個產業部門之間的制約和相互依存關系的相對大小也可通過直接消耗系數來反映。

將某個產業部門生產單位最終產品時，直接和間接消耗其他產業部門的產品等價值總量定義為完全消耗系數，該系數能系統地反映每個產業部門之間的相互數量消耗關系。計算公式可表示為：完全消耗系數=直接消耗+一次間接消耗+二次間接消耗+...n次消耗系數=直接消耗+所有的間接消耗。

二、消耗系數的實際意義

根據公式，能夠直接計算出aij的數值。由經濟的客觀規律可知aij的范圍在0到1之間，aij的大小能夠說明兩個產業部門之間的依存關系。aij=0表示兩個產業部門之間沒有必然的依存關系；若aij的值較大，則說明第j個產業部門依賴于第i個產業部門的依存性就越大；反之，若aij變得很小，那就說明第j個產業部門依賴于第i個產業部門的依存性就越小。完全消耗系數不能直接計算，但可由直接消耗系數計算。采用逆推法可得完全消耗矩陣表達式：

三、預測企業未來產出值

四、實際案例分析

1.問題提出

某地區有一大型集團企業，充分利用當地自然資源（豐富的鐵礦和煤礦），設該企業有三個主要部門：煤礦部門、煉鋼部門、火電廠部門。企業開采價值一萬元的煤，需要消耗價值0.15萬元的鋼材（煉鋼部門提供，下同）和價值0.30萬元的電費（火電廠部門提供，下同）；企業鍛造出價值一萬元的鋼材，需要消耗價值0.20萬元的煤（煤礦部門提供，下同）和價值0.02萬元的鋼材，以及0.16萬元的電費；企業發出價值一萬元的電力，需要消耗0.40萬元的煤，0.01萬元的鋼材，以及0.05萬元的電費。在某一月該企業接到外部500萬的煤貨訂單，800萬的鋼材訂單，200萬電力訂單。

問企業在該月總產值達到多少才能滿足自身及外界需求？三個部門之間相互需要消耗多少產值？三個部門分別創造多少新價值？

2.建立企業投入產出的數學模型并進行矩陣運算

三個部門的總產值之和為3132（單位：萬元，下同），為之前2616的1.2倍；細化到各個部門，1159.20，1162.80，810.00也分別為965.82，971.08，679.09的1.2倍。由此可知，這種情況符合規模收益不變的假設條件，以此可以確定該方法能夠對未來的經濟走勢進行合理預估。

五、結語

在當今市場環境千變萬化的情形下，企業應對生產計劃做出科學合理的制定以及科學合理的動態性調整。

企業在進行生產銷售之前，應通過市場調查，及對往常數據、發展趨勢進行分析，對產品計劃產量和需求量進行有效預測。為避免資金、物質材料、人力資源等的資源浪費，企業應該以市場的需求量出發，制定生產計劃并對生產過程進行資源的合理配置，依此對生產進度和工作計劃進行安排和規劃。

參考文獻：

[1]丁盼盼.直接消耗系數逆向調整探究[D].山東大學，2013.

[2]張靖.中國投入產出核算矩陣的編制與應用研究[D].山西財經大學，2013.

[3]李曉芳.動態投入產出分析及其應用研究[D].大連理工大學，2004.

[4]西北工業大學高等代數編寫組.高等代數[M].2版.西北工業大學出版社，2016（07）.

[5]王永康.投入產出分析中直接消耗系數和完全消耗系數的關系探討[J].河北省科學院學報，2015.

[6]曼昆.經濟學原理[M].7版.梁小民，梁碩，譯.北京大學出版社，2016.

作者簡介：熊靖（1998- ），男，漢族，貴州貴陽人，西北工業大學理學院本科生，研究方向：現代經濟領域中的數學應用；賈續毅（1999- ），男，漢族，河南安陽人，西北工業大學航天學院本科生，研究方向：非線性動態經濟學