Mises屈服條件下內邊界自由環板受線性載荷作用下的極限載荷

張登霞,崔世堂,胡立明

(陸軍炮兵防空兵學院， 合肥 230031)

【基礎理論與應用研究】

Mises屈服條件下內邊界自由環板受線性載荷作用下的極限載荷

張登霞,崔世堂,胡立明

(陸軍炮兵防空兵學院， 合肥 230031)

應用Mises屈服條件得到了外邊界簡支和外邊界固支兩種邊界條件下自由環板在線性載荷作用下極限載荷的理論計算結果。針對以上兩種不同的邊界條件，采用合適的試函數，采用加權殘數法，給出了極限載荷的數值結果。與Tresca條件下的數值結果進行了比較，比較結果表明，計算結果是合理的。

加權殘數法;Mises屈服條件； 極限載荷； 環板

環板是工程上常用的一種結構型式，在環板上的某一點進入屈服之后，仍然可以承受更大的載荷，直到達到塑性極限狀態。因此，對于環板來說，為更好地發揮材料的性能，特別對塑性性能較好的材料，考慮塑性設計比彈性設計更為節省材料，更加合理。由此可見，找出環板塑性極限載荷具有重要的工程意義。

對于環板的塑性極限分析，一般采用最大Tresca屈服條件[1]，但對于鐵、銅、鋁、鎳和軟鋼等材料，Mises屈服條件比Tresca屈服條件更接近實驗結果與實際問題[3]，通常選用的最大彎矩極限條件和實際有較大差別[3]。由于Tresca屈服條件是線性的，而Mises屈服條件是非線性的，因此在塑性極限分析問題中采用Mises屈服條件將使計算復雜。目前，采用Mises屈服條件考慮環板的塑性極限問題，大都借助于加權殘數法，得到一個簡捷實用的極限荷載表達式。針對工程中環板常見的受載情況，吳向等[4]應用Mises屈服條件求出了3種支撐情況下環板受均布載荷作用的極限載荷，劉福林[5-6]應用Mises屈服條件求出了內邊界簡支外邊界自由環板在線性載荷作用下的極限載荷。蔣朝志等[7]應用Mises屈服條件求出外邊簡支環板受均布載荷作用的極限載荷，但尚未見到對于外邊界簡(固)支、內邊界自由環板在線性載荷作用下的分析結果。因此，本文針對理想剛塑性環板，應用Mises屈服條件，選用加權殘數法建立了上述兩種情況下的塑性極限求解式，以便工程應用。

1 外邊界簡支、內邊界自由環板在線性載荷作用下的極限載荷

假設作用于內邊界自由外邊界簡支環板的載荷分布情況如圖1所以。環板的內外半徑分別為b、a,載荷的最大極限為q。

圖1 簡支環板與荷載示意圖

環板的平衡方程為

(1)

式中：mr為徑向彎矩；mθ為環向彎矩；Qr為剪力；r為環板任一點的半徑。

Mises屈服條件為

(2)

其中:m0為環板的塑性極限彎矩。

環板的邊界條件為

(3)

根據邊界條件，可設試函數為

(4)

式中k1、k2為待定系數，將試函數式(4)分別代入平衡方程式(1)和Mises屈服條件式(2)，得到相應的余量為

2(r3-b3)]=k1[3r2-2(a+b)r+ab]-

k2[r2-(a+b)r+ab]-mo+

(5)

m0(r-a)(r-b)(2k2-k1)

(6)

采用加權余量法的子域法沿著r方向消除余量

(7)

把式(5)、式(6)代入式(7)得如下方程組

(8)

在方程組(8)中消去k2可得

(a-b)2(a+3b)2q2+2(a-b)3(a+3b)k1q+

(9)

式(9)中存在兩個待求量k1和q,故還不能直接求出極限載荷q，考慮極值條件即dq/dk1=0,解(9)式得

(10)

將式(10)代入式(9),可以求出極限載荷q滿足的方程為

(11)

由式(11)求出的極限載荷為

(12)

2 外邊界固支、內邊界自由環板在線性載荷作用下的極限載荷

設作用于內邊界自由、外邊界固支環板上的線性載荷的分布形式如圖2所示。

圖2 固支環板與荷載示意圖

可知，內邊界自由、外邊界固支環板的平衡方程及Mises屈服條件與式(1)和式(2)相同，僅邊界條件不同，此時環板的邊界條件為

(13)

根據邊界條件，取如下試函數

(14)

將此試函數分別代入平衡方程(1)和Mises屈服條件(2),得余量

k1[3r2-2(a+b)r+ab]-

k2(r-a)(r-b)+

(15)

k2(r-a+b)]

(16)

采用加權余量法的子域法沿著r方向消除余量,有

(17)

把式(15)、式(16)代入式(17)，可得

(18)

聯立方程組(18)并消去k2,得到

(19)

應用極值條件即dq/dk1=0,解得

q2(a+3b)2(a-b)2+4(a-b)4k1-

6m0k1(a+3b)(a-b)-

3m0q(a+3b)(7a+b)+2k1q(a+3b)(a-b)3+

(20)

將式(20)代入式(19)可得滿足極限載荷q的方程為

3(a-b)2(a+ 3b)2q2-6m0q(a+ 3b)(13a-b)+

(21)

3 結果分析

通過Mises屈服條件求出了在線性荷載作用下內邊界自由、外邊界簡支和固支兩種支撐情況下環板的塑性極限載荷[8-11]。

1) 對于線性載荷作用下外邊界簡支、內邊界自由的環板，其極限載荷為式(12),而用Tresca屈服條件求得的塑性極限解[2]為

(22)

可以看出本文解為用Tresca屈服條件求出的極限載荷的1.129倍，特別地當b=0時，即簡支圓板在線性載荷作用下其塑性極限載荷為

(23)

本文求出的塑性極限載荷qMises為13.547m0/a2，與文獻[11]的結果13.487m0/a2極為接近，本文解稍微高于文獻[7]的結果，這是由于采用近似的試函數而致，采用不同的試函數，求出的結果也將不同。本文用Mises屈服條件得到的塑性極限載荷略大于用文獻[2]用Tresca屈服條件求出的極限解，兩種解法得出的極限載荷的規律是一致的。

2) 對于線性載荷作用下外邊界固支內邊界自由的環板，用數值方法求解式(21),得出不同內外徑比情況下的結果如表1所示。

表1 固支環板極限載荷(qa2/m0)

由表1，隨著內外半徑比值增大，極限載荷先減小后增大。當b/a為零時，此時環板退化成圓板，當外邊界固支時，本文求得的極限解為24.25m0/a2,這與文獻[5]的結果24.4m0/a2極為接近，從而也說明本文結果是合理的。可見，本文給出的在線性荷載作用下內邊界自由、外邊界簡支和固支兩種支撐情況下環板的塑性極限載荷計算公式簡潔，避免了最大彎矩極限條件解答中解高次方程的不便，更符合工程應用。

[1] 王仁，熊祝華，黃文彬.塑性力學基礎[M].北京：科學出版社,1982.

[2] JONES N.Structural impact[M].Cambridge UK:Cambridge University Press,Cambridge,1989.

[3] 徐秉業,劉信生.結構塑性極限分析[M].北京:中國建筑工業出版社,1985.

[4] 吳向,徐秉業.用加權殘數法求環板在Mises屈服條件下的極限載荷[J].力學學報,1989(21):125-130.

[5] 劉福林.用加權余量法分析固支圓板和環板在Mises屈服條件下的極限載荷[J].計算力學學報,2002,19(3):369-372.

[6] 劉福林，趙穎.用Mises屈服條件求內邊界簡支環板在線性載荷作用下的極限載荷[J].計算力學學報,2003,20(4):504-507.

[7] 蔣朝志,劉東.Mises屈服條件下簡支環板的塑性極限荷載[J].土木建筑與環境工程,2007,29(4):87-89.

[8] 趙穎,劉福林,陳勉.線性荷載作用下外固支環板的極限荷載分析[J].哈爾濱工業大學學報,2005,37(1):89-91.

[9] 劉磊.Mises屈服條件在固支圓板塑性極限分析中的應用[J].遼寧大學學報(自然科學版),2003,30(4):317-319.

[10] 洪媛,陳鋼.求固支圓板在線性荷載作用下的極限荷載——用加權余量法和Mises屈服條件[J].遼寧大學學報(自然科學版),2005,32(1):36-38.

[11] KARGARNOVIN M H,FAGHIDIAN S A,FARJAMI Y,et al.Application of homotopy-Padé technique in limit analysis of circular plates under arbitrary rotational symmetric loading using von-Mises yield criterion[J].Communications in Nonlinear Science amp; Numerical Simulation,2010,15(4):1080-1091.

(責任編輯楊繼森)

LimitLoadforNoSupportedAnnularPlateonInnerBoundaryBasedonMisesYieldCondition

ZHANG Dengxia, CUI Shitang, HU Liming

(Artillery and Air Defense Corps Academy, Heifei 230031, China)

Limit loads are calculated for simple supported annular plate and clamped annular plate on the outer end ut no supported on inner boundary by using Mises yield condition. By choosing suitable trial function and using weighted residual method, the results of the limit loads are got. The numerical results are proved to be reasonable by comparing with the results under Tresca condition.

weighted residual method; Mises yield condition; limit loads; annular plates

2017-07-07；

2017-07-30

張登霞(1976—)，女，碩士，講師，主要從事機械設計與制造研究。

10.11809/scbgxb2017.11.041

本文引用格式：張登霞,崔世堂,胡立明.Mises屈服條件下內邊界自由環板受線性載荷作用下的極限載荷[J].兵器裝備工程學報，2017(11):189-191,196.

formatZHANG Dengxia, CUI Shitang, HU Liming.Limit Load for No Supported Annular Plate on Inner Boundary Based on Mises Yield Condition[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(11):181-191,196.

O344.1

A

2096-2304(2017)11-0189-03