線性方程組的解法概括

沈進，喻衛

摘要：線性方程組解的存在性和唯一性可以由系數行列式和系數矩陣的秩來判斷。針對不同情況的線性方程組，它的解法不是唯一的。常使用的方法有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法，選用恰當的方法會簡化解方程組的過程。

關鍵詞：線性代數；線性方程組；系數矩陣；消元法

中圖分類號：O151.2 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）44-0180-03

一、引言

線性方程組是線性代數的核心內容。[1]我們將線性方程組分成齊次和非齊次兩大類，具體線性方程組解的存在性和唯一性是不同的，可以通過系數行列式的值與系數矩陣的秩來預判。非齊次線性方程組的解分為三種情況：有解且解唯一、有無窮多組解、無解；齊次線性方程組的解分為兩種情況：只有一組零解、有無窮多組非零解。那么在解方程組過程中如何選擇正確高效的解法就顯得十分重要，恰當的解法會大大提高解題效率。[2]本文總結了解線性方程組常用的三種方法，并舉例展示每種方法在具體線性方程組中的計算過程。

二、相關理論

（一）元線性方程組的三種表達形式

線性方程組有三種表達形式，分別是一般形式、矩陣形式和向量形式[3]。

1.一般形式。

a■x■+a■x■+…+a■x■=b■a■x■+a■x■+…+a■x■=b■……a■x■+a■x■+…+a■x■=b■，其中b■，b■，…b■不全為零時稱為非齊次線性方程組，b■，b■，…b■全為零時稱為齊次線性方程組。

2.矩陣形式。

Ax=b，其中A=■，x=（x■ x■ … x■）■，b=（b■ b■ … b■）■

3.向量形式。

α■x■+α■x■+…α■■x■=b，其中α■=（α■ α■ … α■）■，j=（1，2，…，n），b=（b■ b■ … b■）■。

（二）n元線性方程組解的判定

每個線性方程組的解的情況都是不同的，需要討論解的存在性和唯一性。那么在解具體線性方程組之前應該先預判一下該方程組的解是何種情況，針對它的解挑選合適的方法。一般可以用系數行列式的值或系數矩陣的秩來判斷線性方程組解的情況。

1.系數行列式。如果Ax=b的系數行列式A≠0，則方程組有唯一解；如果Ax=b無解或解不唯一，則它的系數行列式A=0；如果Ax=O的系數行列式A≠0，則方程組只有零解；如果Ax=O有非零解，充要條件是它的系數行列式A=0。

2.系數矩陣與增廣矩陣的秩。

Ax=b有唯一解？圳r（A）？搖=r■？搖=n有無窮多解？圳r（A）？搖=r■？搖

三、n元線性方程組的解法

n元線性方程組的常用的解法有克萊姆法則、逆矩陣法和消元法。其中消元法可解決任意的線性方程組，但只有當n元線性方程組的系數矩陣是階方陣時才能使用克萊姆法則和逆矩陣法。[4]下面就分別闡述三種解法的具體操作過程。

（一）克萊姆法則

若n元線性方程組的系數矩陣是個方陣（m=n），且A≠0，則線性方程組有唯一解x■=■（j=1，2，…，n），其中A■（j=1，2，…，n）是把A中第j列元素a■，a■，…，a■對應地換成常數項b■，b■，…b■，而其余各列保持不變所得到的行列式。

（二）逆矩陣法

把線性方程組寫成矩陣形式，看成矩陣方程，利用逆矩陣來解矩陣方程，得到線性方程組的解向量。若Ax=b，x=A■b。

（三）消元法

初高中時代的消元法就是對方程組反復實施以下三種變換。

1.交換某兩個方程的位置。

2.用一個非零數乘某一個方程的兩邊。

3.將一個方程的倍數加到另一個方程上去。

以上三種變換稱為線性方程組的初等變換。而消元的目的就是利用方程組的初等變換將原方程組化為階梯型方程組。顯然這個階梯型方程組與原線性方程組同解。解這個階梯型方程組的解得原方程組的解。如果用矩陣表示其系數及常數項，則將原方程組化為行階梯型方程組的過程就是將對應矩陣化為行階梯型矩陣的過程。[5]特別的，我們還可以將一個一般的行階梯型方程組化為行最簡型方程組，從而能直接“讀”出該線性方程組的解。因此用消元法解 元線性方程組的過程，相當于對該方程組的增廣矩陣作初等行變換化成行最簡型矩陣。

四、應用舉例

例1：（系數矩陣為方陣，且有唯一解）

解三元非齊次線性方程組x■-x■-x■=22x■-x■-3x■=13x■+2x■-5x■=0。

解：矩陣形式Ax=b，其中A=■，x=x■ x■ x■■，b=2 1 0■，

方法一：（克萊姆法則）

A=■=3？搖A■=■=15？搖 A■=■=0？搖 A■=■=9

x■=■=5，x■=■=0，x■=■=3。

方法二：（逆矩陣法）

由于Ax=b，

x=A■b=■■■=■

方法三：（消元法）

■=■ ■

■ ■

■ ■

■

線性方程組的消元過程等價于矩陣的初等行變換。解得x■=5x■=0x■=3。

例2：（系數矩陣不是方陣）求非齊次線性方程組x■+x■+x■+4x■-3x■=12x■+x■+3x■+5x■-5x■=33x■+x■+5x■+7x■-6x■=4的通解。

解：只能使用消元法

（A b）=■→■→■→■

r（A b）=r（A）=3<5，故方程組有無窮多解。

即得與原方程組同解的方程組

x■=3-2x■+3x■x■=2+x■+4x■x■=-1-x■取x■，x■■=1，0■，0，1■，得導出組的基礎解系為：

ξ■=-2，1，1，0，0■，ξ■=3，4，0，-1，1■（不唯一）令x■=x■=0，得原方程組的特解η■=3，2，0，-1，0■（不唯一）

原方程組的通解x=c■ξ■+c■ξ■+η■（c■，c■為任意實數）。

五、結束語

本文對線性方程組進行了分類，并討論方程組的三種一般性解法。不難發現，在遇到具體線性方程組時由于它解的存在性和唯一性是不明確的。如果盲目選擇解法可能會增加不必要的計算過程，并且無法得出真正的全部解。因此我們需要預先判斷該方程組屬于哪種分類，討論它解的存在與唯一性，針對不同題型，選擇恰當的解法。一般來說，當線性方程組的系數矩陣是方陣，且有唯一解時，本文總結的克萊姆法則、逆矩陣法和消元法均適用。當系數矩陣不是方陣時，只能使用消元法對系數矩陣做初等行變換來解方程組。

參考文獻：

[1]劉薇.“生動”教學模式下線性代數的教學設計與實踐[J].安慶師范學院學報（自然科學版），2015，21（3）：110-113.

[2]田曉娟，王利東.加強線性代數計算能力培養的教學模式探討[J].科教文匯，2015，（6）：43-55.

[3]姜愛平.線性代數中矩陣章節基本概念及性質的教學方法探討[J].高師理科學刊，2016，36（3）：48-51.

[4]吳贛昌.線性代數[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

[5]劉潔晶，任金忠.線性代數課程分層教學探討[J].衡水學院學報，2016，18（1）：105-109.