GeoGebra在高職微積分概念教學中的應用舉例

陳婧++張東海++王曉鋒

摘 要 在高職院校微積分教學中，概念的理解對后續學習影響較大，卻正是學生的困難之處。GeoGebra在微積分概念教學中優勢明顯，以極限、導數、定積分為例進行具體闡述。

關鍵詞 GeoGebra；幾何畫板；高職院校；微積分

中圖分類號：G712 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2017）10-0042-04

1 引言

微積分是高職院校高等數學基礎教學的核心內容，這門課程能夠培養學生的邏輯思維、綜合分析能力，也為其他后續課程的學習提供了有力的數學工具。但這門課程對高職校學生尤其是文科生來說有一定難度，使得學生在學習過程中容易產生畏難情緒，而且有的學生即使在計算方面取得高分，也不能正確理解相關概念及其相互關系[1]。

“磨刀不誤砍柴工”，正確理解概念對后續知識的融會貫通、知識的應用、能力的遷移幫助很大。此外，對于高職院校文科學生，有的知識點根據教學大綱要求只需達到“了解”的認知要求。

GeoGebra是一個結合代數、幾何、圖形、概率統計、數據表和計算的免費動態數學軟件，比幾何畫板操作更簡單，同時具備幾何畫板沒有的符號計算、微分、統計等功能。在微積分的教學中利用GeoGebra，可以幫助學生更好地理解概念以及直觀了解一些結論。

2 概念教學的重要性

美國科羅拉多州立大學Kelly K. Chappell[2-4]采用量化研究和質化研究結合的方法，探討教育環境（基于概念教學的或者傳統的）對學生概念理解、應用技能、遷移能力等方面的影響。結論指出：概念性的理解有助于解題技巧的掌握；基于概念的教學方法在保證學生解題技巧的同時，加深了學生的理解；理解而掌握的知識與程序性知識更容易推廣到陌生的領域[5]。

3 GeoGebra在概念教學中的應用

GeoGebra在極限概念教學中的應用 函數y=f（x），當x→x0時極限為A的定義為：任意給定的正數ε，總存在一個正數δ=δ（ε），使得當0<|x-x0|<δ時，|f（x）-A|<ε恒成立，記為。

函數極限的定義描述較為抽象，同時也是學生初次接觸高等數學中類似概念，所以在理解過程中有一定難度。利用GeoGebra制作課件，可以直觀地幫助學生理解該定義。課件完成步驟要點如下：

1）在繪圖區用“描點”工具找點A、B、C、D、E、F（用以確定所需圖象的大致位置）；

2）在命令框中輸入多項式擬合[A，B，C，D，E，F，5]，產生函數f（x）的圖象和函數式；

3）在命令框中輸入描點[{1，f（1）}]，在繪圖區得到點M（1，2.77），過M分別作x、y軸的垂線段；

4）創建滑動條，名稱為δ，最小值0，最大值0.5，增量為0.01；

5）在命令框中輸入描點[{（1+δ），f（1+δ）}]，在繪圖區得到點N，其橫坐標為（1+δ），縱坐標為f（1+δ），過N分別作x、y軸的垂線段；

6）在命令框中輸入描點[{（1-δ），f（1-δ）}]，在繪圖區得到點G，其橫坐標為（1-δ），縱坐標為f（1-δ），過G分別作x、y軸的垂線段；

7）隱藏點A、B、C、D、E、F，設置垂線段為虛線，用不同顏色區分；

8）在命令框中輸入公式文本[M]、公式文本[N]、公式文本[G]，在繪圖區出現M、N、G的坐標（如圖1所示）；

9）點擊“文件→導出→動畫GIF”，生成δ變化時，點N、G移動的GIF動畫。

在課堂教學中，可以拖動滑動條或者右擊滑動條，選擇“啟動動畫”進行現場動態演示，也可以直接將GIF文件插入在PPT課件中自動演示。學生可以從圖象上直觀地感受到δ趨于0，點N、G越接近，也可以從點M、N、G的坐標上看到這一變化。此外，可以在命令框內輸入“極限[f（x），1]”，在代數區產生數字2.77，恰好是點M的縱坐標，驗證了。

GeoGebra在導數概念教學中的應用 函數y=f（x）在點x0處的導數定義為：設y=f（x）在x0處的某鄰域內有定義，且當自變量x0處有增量Δx時，若極限

存在，就稱其值為y=f（x）在x0處的導數。

這個定義的描述是比較抽象的，學生較難理解。其實導數作為微分學中最主要的概念，是英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在研究力學與幾何學過程中建立的。把這個定義回歸到具體問題中更容易理解，常見的例子有物體作變速直線運動的速度（如自由落體運動）、切線問題。可以利用GeoGebra制作有關切線斜率的課件，直觀地幫助學生理解該定義，切線斜率也恰好是導數的幾何意義。課件完成步驟要點如下：

1）在命令框中輸入，在繪圖區可得函數圖象；

2）在命令框中輸入x0=2；

3）在命令框中輸入描點[{x0，f（x0）}]，在繪圖區得A點，其橫坐標為2，縱坐標為0.67；

4）創建滑動條，名稱為Δx，最小值-2，最大值2，增量為0.05；

5）在命令框中輸入描點[{x0+Δx，f（x0+Δx）}]，在繪圖區得點B，其橫坐標2+Δx，縱坐標f（2+Δx）；

6）在命令框中輸入“直線[A，B]”，在繪圖區得直線AB；

7）在命令框中輸入，即為割線AB的斜率；

8）在命令框中輸入公式文本[k]，在繪圖區得k的值（如圖2所示）；

9）點擊“文件→導出→動畫GIF”，生成Δx變化時，點B移動的GIF動畫。

在課堂教學中，可以拖動滑動條或者右擊滑動條，選擇“啟動動畫”進行現場動態演示，也可以直接將GIF文件插入在PPT課件中自動演示。從課件上可見，當Δx趨于0時，B趨于A，割線漸變為切線。k的值趨于2，即在點A處的切線斜率為2。讓學生體會逼近思想在導數概念的教學中的作用，加深對概念的理解。endprint

GeoGebra在定積分概念教學中的應用 在講解定積分概念時，是通過求曲邊梯形面積等問題從而歸納出“和的極限”這個模式。具體步驟是分割、近似求和、取極限。這種和的模式比較抽象復雜，定義的敘述也比較長。

用傳統教學手法，教師只能“言傳”，學生只能“意會”，缺乏直觀感受，學生在理解過程中有一定的困難。而利用GeoGebra制作課件進行動態演示，直觀生動，學生容易理解。下面介紹課件完成步驟要點。

1）在命令框中輸入f（x）=x2。在繪圖區可得函數圖象。

2）創建滑動條，名稱為n，最小值1，最大值100，增量為1。

3）在命令框中輸入上和[f，0，2，n]。在繪圖區得到n個以分割區間右端點處的函數值為高，寬為的小矩形，顯示a=3.08（當n=10時），即上和的值。

4）在命令框中輸入下和[f，0，2，n]。在繪圖區得到n個以分割區間左端點處的函數值為高，寬為的小矩形，顯示b=2.28（當n=10時），即下和的值。

5）在工具欄中選擇“復選框按鈕”，在繪圖區單擊彈出對話框中，輸入標題“上和”。在“從下列列表、代數區或繪圖區中選擇對象”下拉框中，選擇“數值a：上和[f，

0，2，n]”。在工具欄中選擇“文本”，在繪圖區單擊彈出對話框，輸入“上和=”，再在對象下拉框中選擇a。同理制作下和復選框按鈕（如圖3所示）。

利用這個課件可以直觀演示：當n越來越大時，小矩形面積之和越來越接近曲邊梯形的實際面積，也可以從動態數據上驗證該結論。此外，教材中往往是以各小區間的左端點對應函數值作為小矩形的高，即對應“下和”命令，所求面積和比曲邊梯形面積小。而利用軟件中的“上和”命令，可以以各小區間的右端點對應函數值作為小矩形的高，所求面積和比曲邊梯形面積大。但是這兩種不同的取近似方式下，只要n越來越大時，都是越來越接近曲邊梯形實際面積的，由此也驗證了分點的任意性。

利用復選框按鈕，可以根據需要分別顯示上和和下和。圖4為n=20時只顯示上和的情況，圖5為n=30時只顯示下和的情況。

4 GeoGebra在展示結論方面的應用

對于高職院校文科學生，有的知識點根據教學大綱，只需達到“了解”的認知要求。GeoGebra整合了代數、幾何、微積分，代數區的代數對象和繪圖區的幾何對象是一一對應的，同步變化，操作方便。借助于GeoGebra可以方便快捷地在課堂上現場演示，讓學生直觀了解相關結論。同時，由于軟件在這部分操作簡單，學生自己也可以嘗試進行相關結論的驗證和探索，培養他們的自我學習能力。

如重要極限之一，可以弱化其推導過程，讓學生掌握結論即可。在命令框中輸入，在繪圖區得此函數圖象。在命令框中輸入y=e，得到直線y=e的圖象（圖6）。讓學生觀察x→∞時，此函數的變化趨勢。此外，在命令框中輸入“極限[（1+（1/x））^x，∞]”，可在代數區直接計算出此函數的極限。（注：不能得精確值e，只能得近似值2.72。）

再如函數，當x→0時是振蕩無極限的，手工繪圖很難實現，用軟件作圖一目了然（圖7）。

在空間解析幾何部分，二元函數所對應的圖形通常是曲面，手工繪圖煩瑣且不精準；利用GeoGebra的3D功能，只需輸入解析式，可直接得到對應的立體圖形。如在命令框中輸入z=x2+y2，在3D繪圖區得到對應的拋物面。

5 結語

在微積分教學中，學生對概念的理解對后續學習有重要意義，卻也是高職學生的困難所在。GeoGebra可以彌補傳統教學方式的不足之處，一方面讓敘述晦澀、難以理解的概念變得直觀、易理解，從而提高課堂教學效率，調動學生的學習積極性；另一方面，在重要極限、空間解析幾何等方面其展示性能優越，且操作方便，可以讓學生自行研究探索，對培養學生的探究創新能力有很大幫助。

參考文獻

[1]高雪芬，鮑建生.大學生對微分概念的理解及認知方式分析[J].數學教育學報，2013，22（1）.

[2]Chappell K K. Effects of Concept-Based Instruction on Cal-culus Students Acquisition of Conceptual Understanding and Procedural Skill[M].Washington， DC： American Mathematical Society，2006.

[3]Chappell K K. Transition Issues That Reform Calculus Stu-dents Experience in Traditional Second Semester Calculus[J].Problems Resources and Issues in Mathematics Undergraduate Studies，2003（8）：129-151.

[4]Chappell K K， Killpatrick K. Effects of Concept-based Ins-truction on Students Conceptual Understanding and Procedural Knowledge of Calculus[J].Problems Resources and Issues in Mathematics Undergraduate Studies，2003（8）：17-37.

[5]高雪芬.微積分概念教學研究之述評：以Chappell文章為例[J].教學研究，2012（5）：36-38.endprint