“小數乘小數”教學研究報告

文︳株洲市石峰區小學數學教研團隊 瀟湘數學教育工作室

“小數乘小數”教學研究報告

文︳株洲市石峰區小學數學教研團隊 瀟湘數學教育工作室

一、問題

“小數乘小數”是人教版教材五年級上冊的內容，教學基礎是四年級中因數的變化引起積變化的規律和五年級小數乘整數的知識。修訂后的課標教材淡化了小數乘法意義的教學，把重點放在對算理的理解和對算法的總結上，引導學生利用因數的變化引起積的變化規律來解釋小數乘法的算理，并由此總結小數乘法的一般方法。在教學實踐中，我們產生了一些問題和困惑。

1.如何有效處理小數乘小數與小數乘整數的關系。相對于小數乘整數而言，小數乘小數在計算方法上更為抽象，算理更難理解。比如：積的小數點與因數的小數點位置需不需要對齊，小數乘小數得到的積有時候為什么比兩個因數都小，等等。這是學生認知的難點，也是學生乘法學習中的一個破舊立新點。對此，教師在教學時該如何處理？

2.如何處理理解算理與掌握算法之間的關系。如果只是讓學生掌握小數乘小數的計算方法，本節課將非常簡單，只需告訴學生按整數乘法的方法進行計算，最后看因數中共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點。想必有了小數乘整數的基礎，學生順利掌握沒有多少難度。但如此一來，學生將只是一名機械計算工，雖能達到技能上的熟練，但對于為什么要這么做卻知之甚少，不利于學生的發展。教師該如何幫助學生溝通算理，掌握算法呢？

3.計算教學除了發展學生的計算能力，還應該教給學生什么？現實教學中的計算往往定位在掌握計算方法，能夠正確計算，提高計算能力上。這無可厚非，然而這種單一化的教學目標，使得學生望“算”生畏。我們認為，計算教學應該從關注學生的學習發展和需要出發，引領學生在具體的情境中經歷過程，理解算理，明確算法，并從中歸納學習方法，提升思維能力，實現計算的再創造。

為了解決這些問題，我們在深入研讀教材的基礎上，形成了如下的思路：充分利用學生對小數乘整數的已有認知，引導合理遷移，幫助學生理解算理并掌握算法。同時及時打破學生的定式思維，引導學生進行合理質疑，為什么積會比其中的一個因數小；歸納小數乘整數與小數乘小數在計算上的共同點；在發現算法的時候，啟發學生進行深層思考，為什么可以這樣算，從而讓學生在學習中感悟、反思。

二、實踐

按照以上思路，我們進行了如下實踐。

（一）情境導入

師：同學們，老師家要裝修房子了，這是房子的部分平面圖（如圖所示）。想知道每個房間的面積是多少，你可以幫忙列出算式嗎？

學生說算式，教師板書：

入戶花園的面積：4×0.8；陽臺的面積：10.3×0.6；書房的面積：3×3；臥室的面積：5.13×3.2；客廳的面積：10.3×4。

師：同學們真棒！仔細觀察這些算式，你能把它們分分類嗎？

生1：我分成可以口算的和需要筆算的兩類。4×0.8、3×3 是可以口算的，10.3×0.6、5.13×3.2、10.3×4是需要筆算的。

生2：我分成三類，第一類是整數乘整數，第二類是小數乘整數，第三類是小數乘小數。

師：標準不同，分類的結果也不同。那哪些算式你能計算？請試一試。（學生口算4×0.8、3×3，然后上臺板演其他題的豎式）

師（指著10.3×4的豎式）：小數乘整數列豎式時，為什么末尾對齊？

生3：因為先把10.3看成103，也就是看成整數計算，所以是末尾對齊。

師：說得很好。（指著 10.3×0.6、5.13×3.2的豎式）看來大家計算這兩道題有困難，這節課我們一起研究小數乘小數的計算。（板書）

設計意圖：利用具體情境促使學生產生計算的現實需求。接著放手讓學生嘗試計算，暴露學生的思維過程，為接下來的教學找到最佳切入口。

（二）引導探究

1.嘗試計算，引導推理

師：根據算式10.3×0.6，你能估計一下陽臺的面積大約是多少平方米嗎？

生4：我將 10.3 看成 10，10×0.6=6，10.3×0.6的結果比6大。

生5：我將 10.3 看成 11，11×0.6=6.6，10.3×0.6的結果比6.6小。

師：通過剛才的估計，我們知道10.3×0.6的積應該大于6而小于6.6。根據我們以往的計算經驗，請同學們大膽猜測一下：10.3×0.6可以怎樣算？

學生嘗試計算，教師巡視，選擇具有代表性的方法進行展示。

方法1

方法2

方法3

方法4

方法5

師：仔細觀察這幾位同學的方法，你跟誰的做法相同？這幾種方法有什么相同的地方？有什么不同的地方？

學生觀察發現前三種都是橫式計算，后兩種都是豎式計算。教師引導學生匯報：比較前面三種方法，你有什么發現？

生6：這三種方法都是將因數轉化為整數計算的。但是方法1是把長和寬分別看成103分米和6分米，算出面積是618平方分米，再化成平方米作單位；方法2是把兩個因數都化成了整數再計算，方法3則只把其中的一個因數化成整數再計算。

生7：這三種方法的答案都一樣，都是6.18。

師：那比較后面的兩個豎式，你又有什么發現？

生8：方法4的豎式中小數點沒有對齊，方法5的豎式中小數點對齊了。這兩種方法肯定只有一種是對的！

師：那究竟誰的對呢？

生9：我認為結果應該是兩位小數，因為剛才我們估算了10.3×0.6的積應該大于6而小于6.6，所以正確的答案是6.18。

生10：前面三種方法的結果都是6.18，而且這三種方法都有道理，我也同意方法4的答案。

師：10.3×0.6明明是一位小數乘一位小數，它們的積為什么是兩位小數？（學生先在小組里交流，再派代表匯報）

生11：我們組是這樣想的，第一個因數擴大了10倍，第二個因數也擴大了10倍，要使積不變，就必須縮小到它的百分之一，所以積是兩位小數。

生12：因為我們把兩個小數都看成整數，它們各擴大了10倍，所以乘得的積要除以100才是正確的。

師：我想請小老師幫老師完成完整的計算過程。誰愿意來？

生13上臺邊板演邊介紹計算方法：先把10.3乘 10，就是 103，再把 0.6 乘 10，就是 6；103 乘 6等于618，618是擴大了10個10倍，要求原來的積，就要縮小到它的百分之一，也就是把小數點往左移動兩位，結果等于6.18。

師：接下來，到了小老師解疑時間。大家還有什么問題或者要補充的嗎？

生14：積為什么要縮小到它的百分之一呢？

生13：（指著算式）兩個因數都擴大了10倍，10×10=100，所以積要縮小到它的百分之一。你弄懂了嗎？（生14點頭）

生15：為什么小數加減法的數位要對齊，而小數乘小數卻是末尾對齊呢？

生13：因為加減法是相同的數位相加減，所以要對齊，而小數乘小數是看成整數乘整數來計算的，先不看小數點，所以不用對齊。

生16：為什么結果會越乘越小呢？

生13（為難，思考后）：有誰能回答這個問題嗎？

生17：因為 10.3×1=10.3，但 0.6 比 1 小，10.3×10.3小。（同學們自發鼓掌）

生13：謝謝你。我明白了。

師：同學們提出的問題非常好，只有認真思考了才能提出好問題。其實不管用哪種方法做，都是把小數轉化成整數進行計算。看來問題的關鍵是積到底是幾位小數。

設計意圖：學生自主探索、合作交流，教師適當點撥，學生逐步理解小數乘小數的算理，并對計算中的注意點有了清晰的認識。

2.獨立推理，實現轉化

師：剛才我們求出了陽臺的面積，那臥室的面積你會計算嗎？請用自己的方法算一算。

學生獨立計算5.13×3.2，教師巡視。

師：老師這里有幾種做法（如下所示），你認為哪些方法是正確的？其他的方法有哪些地方不合理？為什么？

生18：第一種方法是對的。第二種方法的答案錯誤。看第一種方法就很明白，這兩個因數共擴大了1000倍，所以積的小數點應該往左移三位，積是三位小數。而他把小數乘法當成了小數加法，讓小數點對齊，這不符合積的變化規律，使得積的小數點位置錯了，所以是不對的。第三種方法的錯誤是把算式直接寫成整數乘整數。

師：那么做小數乘法時要注意什么？

生19：我認為要注意，一是列豎式時末尾對齊；二是要抄原題，不能直接寫成整數乘整數；三是計算完后要記得點上小數點，先看清兩個因數共擴大了幾倍，再將積縮小到它的幾分之一。

設計意圖：學生通過展示、比較、交流，深化對算理的理解，對小數乘小數的書寫格式有了正確的認識。

3.專項對比，概括方法

師：回顧10.3×0.6和5.13×3.2的計算過程，思考以下問題：積的小數位數與因數的小數位數有什么關系？小數乘小數應該怎么計算？

學生先獨立思考，再在小組內交流，然后分組匯報。

生20：我們組發現，小數乘小數時，兩個因數共有幾位小數，積就有幾位小數。

生21：我們組也發現了這個規律。比如，0.2×0.6=0.12。兩個因數的小數點一共往右移動了兩位，積的小數點就往左移動兩位。

師：在做題中發現規律并概括出來是學習數學的好方法。那誰能夠概括小數乘小數的計算方法？

生22：先把小數乘法轉化為整數乘法，按照整數乘法的方法進行計算；再數一數兩個因數一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點。

設計意圖：再次安排小組討論和交流，讓學生在合作交流中互相碰撞，隨后歸納概括出小數乘小數的計算方法也就水到渠成了。

（三）精練活用

1.你能給下面各題的積點上小數點嗎？

學生先獨立完成，再交流。

師：積是多少？你是怎么想的？（生答略）

師：7.29×0.04，小數點點在哪？怎么處理？

生23：積是四位小數，所以小數點點在2916的前面，整數部分添0表示。

2.巧算顯身手

0.8 ×0.4 0.25×3.2 0.56×0.04

學生先獨立完成，再訂正答案，然后交流。

師：0.56×0.04的積是多少？你是怎么算的？

生24：0.56×0.04的積是0.0224。但 56×4=224，積只有三位，數位不夠，所以要在前面添0補足四位再點上小數點。

師：其余兩題有沒有用不同方法解決的？

生25：0.8×0.4可以直接口算；0.25×3.2可以用簡便方法計算，0.25×3.2=0.25×4×0.8=0.8。

3.頭腦體操：試一試，你有多少種填法？

（ ）×（ ）=0.24

學生先獨立思考完成，然后全班交流。

師：你是怎樣想的？發現了什么規律？

生26：我是先填上24的兩個因數，再考慮積是兩位小數，所以兩個因數一共就是兩位小數。填好一個算式后，再調整因數小數點的位置，就可以想出多種填法。如 0.6×0.4=0.24、0.06×4=0.24、6×0.04=0.24。

生27：我發現這和小數乘法計算一樣，先看成整數，填好兩個因數，再根據積的小數位數確定因數小數點的位置。

設計意圖：這一組練習從易到難，從順向思考到逆向思考，循序漸進，既重視學生知識的鞏固，又重視學生思維能力的培育。

（四）總結提升（略）

三、討論

1.收獲

小數乘法和整數乘法從整體上看是一個系統。不同的是，小數乘小數中積的小數點的定位稍顯復雜。基于這樣的認識，我們在實踐中重視對算理的理解和對轉化思想的感悟。學生在多次的交流和辨析中加深對算理的理解，很好地突破了積的小數點定位這一認知難點。這樣的認知方式和學習體驗同樣可以遷移到隨后的小數除法的學習中去，實現學習方法的結構化。

尤其值得一提的是“小老師”的出場，是本課的精彩之處。“小老師”既對例題進行了完整的講解和分析，又敢于接受同學們的質疑和挑戰，這不僅是對“小老師”個人表達能力和思維能力的培養，更是讓其他學生樂學、易學，培養他們提出問題的能力和敢于質疑的精神。

2.思考

新課改的今天，計算教學除了關注計算技能的掌握之外，更應該關注學生的學習過程，讓學生在自身的實踐探索中發展思維能力，培養良好的學習品質。

我們時常在思考一個問題，現在的學生怎么不愛思考了呢？原因除了有學生方面的，我們教師應該也有責任：低估學生的能力，代替他們說出他們需要的思考，只選擇個別能夠配合教學發展的思考，為了完成教學任務而限制思考的時間等。結合這次研究來看，給足學生思考、探究的空間，學生將會還你一個精彩課堂！小數乘小數的教學，在解決了算理、算法的前提下，如何提高計算的正確率和速度等還有待我們繼續研究。【本文系湖南省教育科學“十二五”規劃2014年度立項課題（編號：XJK014CZXX086）研究成果】

（執筆：吳利軍、徐志敏、陶冶、徐旺、李闖）