談談幾種初中數學思想方法的運用

吳真真

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）45-0172-01

所謂數學思想，就是人們對數學知識的本質認識和對數學規律的正確理解，它直接支配著數學的實踐活動。所謂數學方法，就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映。數學思想是數學方法的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，人們通常稱之為數學思想方法。在初中數學教學中，加強學生對數學方法的理解和應用，以達到對數學思想的了解，是使數學思想與方法得到交融的有效方法。

一、讓學生了解“思想”并滲透“方法”。

初中數學教學中，要重視數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發展過程，解決問題和規律的探索過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發展他們的科學精神和創新意識，形成、獲取新知識，并得到運用新知識解決問題的能力。

二、經過聽講、做習題等環節掌握“方法”，運用“思想”。 數學思想、方法的形成同樣有一個循序漸進的過程，只有經過反復訓練才能使學生真正領會。在解題時常常是幾種思想方法相互滲透交織并用。下面我略舉幾例講講：

1.整體代入和轉化思想

例1：已知x-3y=3 ，則 5-x+3y的值是（ ）

A.0 B.2 C.5 D.8

解：5-x+3y=5-（x-3y）=5-3=2

本題思想是“整體代換”和“轉化”，這里變換出x-3y整體用3代換，體現了整體思想。“5-x+3y=5-（x-3y）”體現了轉化思想。

練習：若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，則x+y+z=_____。

2.轉化思想和換元法

例2：解方程：x4-x2-6=0

解：設x2=y （y≥0），則原方程變為y2-y-6=0可解得y1=3，y2=-2（不合題設，舍去），再由y1=3得x2=3，則x=±■。

本題的思想是“轉化”，技巧是換元降次。式子“設x2=y （y≥0）”換元后降次了，于是四次方程“x4-x2-6=0”轉化成了關于y的二次方程“y2-y-6=0”，化難為易，順利將問題解決。

練習：已知實數x滿足x2+■+x+■=0，那么x+■的值是（ ）

A.1或-2 B.-1或2 C.1 D.-2

3.分類討論思想

例3：解關于x的方程：2ax-5=-x

解：移項整理得（2a+1）x=5

當2a+1≠0即a≠-■時，方程解為x=■

當2a+1=0即a=-■時，方程無解。

練習：（1）在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c， a=3，b=7，求△ABC的周長。

（2）已知：|x|=3，|y|=2，且x·y<0，則x+y的值等于（ ）。

4.方程與不等式思想

例4：某服裝老板到廠家選購A、B兩種型號的服裝，若購A型號9件，B型號10件則要1810元。若購進A型號12件，B型號8件則要1880元。

（1）求A、B兩種型號服裝每件多少元？

（2）若售一件A型服裝可獲利18元，售一件B型服裝獲利30元，老板決定某次進貨A服裝數量是B服裝數量的2倍還多4件，且A型服裝最多可進28件，若想這次售完貨后能賺不少于699元的利潤，問有幾種進貨方案？如何進貨好？

解：（1）設A型服裝每件x元，B型服裝每件y元，則有

9x+10y=181012x+8y=1880

解得：x=90y=100

（2）設老板這次進A型服裝a件，B型服裝b件，則有

18a+30b≥699 （1）b=■ （2）a≤28 （3）

將（2）式代入（1）且兩邊同除3得到：a≥23， 又由（3）知a≤28，因為a、b是衣服數量應為整數， 所以a的取值可為 23，24，25，26，，27，28。但要使b為整數時，a只能取24，26，28。

所以有三種進貨方案可使利潤不少于699元。

方案1：進A型服裝24件，B型服裝10件

方案2：進A型服裝26件，B型服裝11件

方案3：進A型服裝28件，B型服務12件。

本題第（1）問采用方程思想簡潔解題。第（2）問用不等式組求出a的取值范圍，然后根據實際情況進行取舍順利解決本題。

練習： 某超市銷售有甲、乙兩種商品，甲商品每件進價10元，售價15元；乙商品每件進價30元，售價40元。

（1）若該超市同時一次購進甲、乙兩種商品共80件，恰好用去1600元，求能購進甲、乙兩種商品各多少件？

（2）該超市為使甲、乙兩種商品共80件的總利潤（利潤=售價-進價）不少于600元，但又不超過610元。請你幫助該超市設計相應的進貨方案。

5.數形結合思想

例5：已知a、b、c在數軸上位置如圖所示，化簡代數式a-a+b+c-b+a-c

解：由數軸可知：a>0，c0

所以a-a+b+c-b+a-c = a+（a+b）+（b-c）+（a-c）=a+a+b+b-c+a-c=3a+2b-2c

本題根據圖形（數軸）定出a、b、c的正負及它們絕對值的大小從而化去原題中絕對值的符號達到化簡的目的。這是“數”與“形”結合解題的效果，也就是數形結合思想的應用。

練習：a、b、c在數軸上的位置如圖所示：且a=b， c-a+c-b+a+b=__________ 。

要讓學生形成自覺運用數學思想方法的意識，必須讓學生建立起自我的“數學思想方法系統”，這更需要一個反復訓練、不斷完善、不斷總結的過程。

三、有意識地培養學生自我提煉、概括數學思想方法的能力。

教學中要適時恰當地對數學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象。

總之，數學思想方法與數學知識的獲得是相輔相成的，數學思想是對知識發生過程的提煉、抽象、概括和升華，是對數學規律的理性認識，它支配著數學的實踐活動，是解決數學問題的靈魂。以數學思想方法為主線展開的數學教學活動，能夠使得學生更加深刻地領會數學所包含的思想方法及由此形成的數學知識體系，切實加強學生的創新和實踐能力。