一種FFFSR軌跡跟蹤及振動抑制的改進預測控制方法

龐哲楠， 張國良， 羊 帆,2， 徐 君， 賈 梟

(1. 火箭軍工程大學，西安 710025；2. 寶雞市高新技術研究所，陜西 寶雞 721000)

一種FFFSR軌跡跟蹤及振動抑制的改進預測控制方法

龐哲楠1， 張國良1， 羊 帆1,2， 徐 君1， 賈 梟1

(1. 火箭軍工程大學，西安 710025；2. 寶雞市高新技術研究所，陜西 寶雞 721000)

討論了動力學約束和有界擾動條件下，自由漂浮柔性空間機器人(FFFSR)關節軌跡跟蹤控制與柔性振動抑制的問題。提出一種基于預測控制的優化控制器設計方法，分別設計了跟蹤控制器和軌跡規劃器。跟蹤控制器采用廣義預測控制方法，生成使機械臂快速穩定跟蹤期望軌跡的優化控制律；改進常規獲取期望軌跡的柔化控制方法，設計基于約束預測控制方法的軌跡規劃器，綜合考慮動力學約束與柔性振動抑制，實時為跟蹤控制器生成由初始位置到目標位置的優化期望軌跡，確保機械臂快速穩定跟蹤到目標位置，并有效抑制柔性振動。數值仿真結果驗證了所設計控制策略的可行性與有效性。

柔性空間機器人；廣義預測控制；約束預測控制；振動抑制；動力學約束

近年來，隨著人類對太空探索的不斷深入，應用質量輕、手臂長和高負載自重比的柔性空間機器人已成為航空領域的一種趨勢[1-2]；柔性輕質細長桿件的空間機器人既減小發射質量，又節約發射成本。但由于柔性機器人的材料特性，在運動過程中發生振動，為獲得更好的控制精度和性能，需考慮桿件柔性。同時考慮到燃料消耗和在軌壽命，對載體位置、姿態均不受控的自由漂浮柔性空間機器人(Free-Floating Flexible Space Robot, FFFSR)進行研究非常必要[3-4]。

為滿足不同任務的需求，對機械臂關節空間進行運動規劃，并實現快速穩定跟蹤控制必不可少。柔性空間機器人系統是一類具有非線性和不確定性的強耦合、多變量復雜系統，并且存在外界擾動、參數攝動以及未建模動態等不確定性，給控制器的設計造成了極大困難。由于其柔性振動頻率大大高于剛性運動頻率，若在同一時間尺度上將剛性運動控制與柔性振動抑制相疊加，必定會影響系統的穩定性和魯棒性。采用奇異攝動法能將將柔性機械臂系統降階分解為兩種時間尺度的動力學模型，避免振動抑制控制器疊加后影響系統關節跟蹤的魯棒性[5-6]。但需要對兩個子系統分別設計控制器，相對繁瑣，期望僅通過一個控制輸入即可同時滿足關節軌跡跟蹤和柔性振動抑制。洪昭斌等[7]利用虛擬控制力概念生成了能同時反映柔性空間機器人姿態、關節運動的期望軌跡和柔性振動的混合軌跡，并利用滑模神經網絡控制方案進行跟蹤控制。徐文福等[8]將基函數疊加與粒子群優化相結合，針對柔性機械臂提出一種振動抑制軌跡規劃方法。計算力矩法(Computed Torque Control, CTC)是一種基于模型的非線性控制方法，Nguyen等[9-10]提出了CTC在機械臂模型上的應用。以上方法的設計過程，未能綜合考慮動力學約束與不確定性，在工程應用中很難達到穩定性與快速性的統一。

模型預測控制[11](Model Predictive Control, MPC)是一種基于預測模型和性能優化的控制算法，它利用反饋控制對受控對象進行滾動優化，可以較好地克服模型誤差和外界干擾，控制效果佳，在線計算便捷。因此，MPC對復雜的機械臂系統可進行實時有效的控制，近年來在機械臂控制領域得到廣泛的應用。Woosoon等[12]首次將MPC應用到柔性臂末端軌跡跟蹤中，在模型誤差較小時取得較好的跟蹤效果。Pedro等[13]針對兩連桿柔性機械臂，利用神經網絡MPC控制器實現點到點的運動控制，利用PID控制器實現振動抑制。Dubay等[14]將有限元模型與MPC相結合，抑制單臂柔性機械臂的柔性振動。

上述研究雖在系統穩定性和控制實時性方面效果較好，但更多是考慮機械臂跟蹤給定的參考軌跡。值得注意的是，為避免由初始誤差引起的沖擊力矩的影響，且受到發射裝置質量、體積以及為執行器供能的蓄電池電壓等因素的約束，系統的控制力矩將限制在一定范圍內[15-16]。而給定的參考軌跡往往沒有考慮到動力學約束以及柔性振動的影響，因此在確定軌跡跟蹤控制方法的情況下，如何規劃出滿足動力學約束并能抑制振動的優化軌跡成為實際應用中亟待解決的問題。

針對存在動力學約束和有界擾動的FFFSR系統軌跡跟蹤與振動抑制問題，本文利用MPC方法，設計了一種廣義預測控制(Generalized Predictive Control, GPC)跟蹤控制器和約束預測控制(Constrained Pedictive Control, CPC)軌跡規劃器相結合的優化預測控制器設計方法。在GPC跟蹤控制器中引入基于受控自回歸積分滑動平均(Controlled Auto Regressive Integrated Moving-Average, CARIMA)模型，能夠克服建模失配和外界干擾造成的不確定性。考慮到動力學約束與振動抑制，改進常規獲取期望軌跡的柔化控制方法，設計CPC軌跡規劃器獲得理想的期望軌跡；GPC跟蹤控制器采用長時段的優化性能指標函數，結合辨識與自校正機制，具有較強的魯棒性，能夠快速高效的跟蹤期望軌跡。最后通過仿真實驗證明所設計的優化控制器在動力學約束下能夠穩定跟蹤期望軌跡并有效抑制柔性振動，具有一定的工程應用價值。

1 系統動力學建模

不失一般性，以平面自由漂浮柔性空間機器人為研究對象，系統結構如圖1所示[17]。系統由載體B0、剛性桿B1和柔性桿B2組成。建立各連桿與主軸的坐標系(Oi-xiyi)，其中OC0為O0與B0的質心，轉動中心O1連接B1與B0，B1桿的對稱軸為x1。同時在O2建立坐標系(O2-x2y2)，x2與未變形前的軸線一致。設O1在x0軸上與O0的距離為a0，B1的質心OC1與O1在x1軸上的距離為a1，Bi(i=1,2)的長度為li，w(x2,t)為B2在t時刻x2(0≤x2≤l2)點處的橫向彈性形變。Bi(i=0,1)的質量和轉動慣量分別為mi，Ii(i=0,1)，ρ和EI分別為柔性桿B2的勻質密度和彎曲剛度系統的總質心為OC，系統的總質量為M=m0+m1+ρl2。

θ0、θ1和θ2分別表示系統的載體姿態角及機械臂各關節的相對轉角。ri為質心OCi(i=0,1)相對慣性系原點O的矢徑，r2為B2上坐標x2(0≤x2≤l2)點處的矢徑。

圖1 自由漂浮柔性空間機器人系統

由于柔性桿B2的長度遠大于其截面半徑，可將其視為Euler-Bernoulli梁考慮。故當B2產生彈性形變時，可忽略其軸向及剪切形變的影響，僅考慮彎曲形變。根據彈性振動理論，可通過下述的截斷模態方程描述B2桿的彈性形變w(x2,t)：

(1)

式中：φi(x2)(i=1,2,…,n)表示柔性桿第i階的模態函數，ηi(t)表示相應的模態坐標，n表示截斷項數。考慮到柔性桿振幅受低階模態的影響較大，在盡可能不影響精度的情況下簡化計算，采用二階截斷模態，即取n=2進行分析。

綜合考慮系統的基座和剛性桿件動能Ti(i=0,1)以及柔性桿件動能T2，系統總動能為：

(2)

系統的彈性勢能V，即柔性桿的彈性勢能為：

(3)

式中：w″(x2,t)為w(x2,t)關于x2的二階偏導數。

忽略微重力梯度，根據拉格朗日第二類方程和動量守恒原理，基座位置和姿態均不受控的FFFSR系統動力學方程為：

(4)

(5)

2 模型線性化處理

系統動力學方程式(5)為時變強耦合非線性方程，若直接以式(5)建立動力學模型，則會產生較大的計算量，為MPC的優化計算造成不便，且實時性無法保證。因此本文選擇泰勒展式對輸入輸出進行線性化處理[18]，以提高計算效率。

將式(5)化簡可得：

(6)

(7)

3 優化控制器設計

優化控制器的設計目的是使FFFSR在滿足動力學約束的情況下，快速穩定的運動到目標位置，同時抑制柔性振動。由系統的動力學模型可知，柔性振動和剛性運動緊密耦合，因此，為了實現在關節運動的同時抑制柔性振動，必須規劃出一條可行的優化軌跡。

本文設計一種優化控制器，分別處理關節跟蹤和軌跡優化問題。依據系統的線性化模型，利用GPC跟蹤控制器設計優化控制律精確穩定的跟蹤期望軌跡；CPC軌跡規劃器結合動力學約束和控制力矩增量，為跟蹤控制器規劃出可行的優化軌跡。二者分別設計，并互相影響，實時規劃運動軌跡使得FFFSR在滿足動力學約束和有界擾動的條件下快速穩定的到達到期望位置，并抑制柔性振動。控制系統的整體框圖如圖2所示。

圖2 控制系統整體框圖

3.1跟蹤控制器設計

本節采用GPC模型設計一種軌跡跟蹤預測控制器，其目的是獲得優化的控制力矩τ(t)，使得系統的預測輸出與期望軌跡的偏差盡可能小。

利用階躍擾動非平穩噪聲的CARIMA方程描述受控對象[19]，為：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-1)+C(z-1)ξ(k)/Δ

(8)

式中：A(z-1),B(z-1),C(z-1)分別是n,m,n階的z-1的多項式，差分算子Δ=1-z-1；y(k),u(k),ξ(k)分別表示輸出、輸入和零均值的白噪聲序列。

為了預測超前j步的輸出，引入丟番圖(Diophantine)方程：

(9)

(10)

對未來輸出值的預測，可忽略未來噪聲的影響，視為預測誤差，可得：

(11)

式中：j=1,2,…,N。其中包含了k時刻的已知量和未知量兩部分，用f(k+j)表示已知量，即：

f(k+1)=(G1-g0)Δu(k)+F1y(k)

f(k+2)=z(G2-z-1g1-g0)Δu(k)+F2y(k)

…

f(k+j)=zn-1(Gn-z-n+1gn-1-…-

z-1g1-g0)Δu(k)+Fny(k)

改寫成矩陣形式為：

f=HΔu(k)+Fy(k)

(12)

由式(11)可得最優輸出預測值為：

(13)

通常預測控制的輸出值是由多個預測值計算得到的最優控制值，依賴于預測域和控制域長度、控制加權陣等參數，使得計算效率低下，實時性難以保證。為增強系統的魯棒性，提高實時性、減小計算量，采用單值GPC方法，控制時域長度取1。

在目標函數中考慮當前時刻τ(k)對系統未來時刻的影響，采用如下形式的性能指標函數：

(14)

Δτ(k)=(GTG)-1GT(Yr-f)

(15)

最優控制律為：

τ(k)=τ(k-1)+Δτ(k-1)

(16)

利用最小二乘法對G中的參數進行辨識，代入式(14)，(15)，即可得到最優控制律τ(k)。

GPC采用滾動優化策略，優化目標是隨時間推移的，即在每一時刻都存在一個立足于該時刻的局部優化目標，而不是保持不變的全局優化目標，因此，優化過程是反復在線進行的。在理想條件下，這種滾動目標的局部性只能得到全局次優解。但當模型存在失配、時變或干擾影響時，它能夠考慮到這類不確定性，及時補償，減小偏差，提高控制的魯棒性，保證實際最優。

值得注意的是，通常預測控制的目標不是使輸出直接跟蹤期望值，而是跟蹤由初始值到期望值的參考軌跡。一般進行如下的柔化控制：

yr(k+j)=αjy(k)+(1-αj)yd

(17)

式中：yr,y(k),yd分別表示參考軌跡、輸出值和期望值；α為柔化系數，0<α<1。

在實際工程應用中往往存在動力學約束，必須保證施加于系統的優化控制力矩能夠滿足約束條件。優化的期望軌跡能夠使得柔性機械臂盡快的由初始位置到達期望位置，同時保證柔性振動得到有效抑制，并滿足動力學約束。傳統的柔化控制方法無法滿足要求，本文采用約束預測控制方法設計軌跡規劃器，獲得滿足約束的最優參考軌跡。

3.2軌跡規劃器設計

(18)

在關節運動過程中抑制柔性振動，即保證振動模態趨近于零。因此，以時域內期望值與預測輸出值的偏差盡可能小為依據設計性能指標函數。同時，對控制力矩增量的約束也是影響柔性振動的重要因素。考慮到系統的響應速度和穩定性，在關節角度趨近于期望角度過程中，需要對控制力矩的增量加以約束。增量的約束范圍保證在不影響關節運動的情況下能夠抑制柔性振動。

為滿足約束條件，并進一步提高算法的實時性，選擇xo(k+1)作為下一采樣時刻跟蹤控制器參考軌跡的狀態變量。由于跟蹤控制器的參考軌跡包含關節角度和角速度，故期望的關節跟蹤軌跡可由下式得到：

yr(k+i)=Cdxo(k+i)

(19)

為了消除可能由非線性特性造成的狀態誤差，將控制力矩定義為：

τ(k+i)=τ(k+i-1)+Δτ(k+i)

(20)

根據k時刻的狀態變量和上一時刻應用于系統的控制力矩，可以得到如下的預測模型：

(21)

由文獻[20]中的分析可知，約束預測控制可利用延長預測時域與終端加權的方法提高系統的穩定性。根據振動抑制的需求，將k時刻的性能指標函數定義為：

(22)

(23)

綜合上述因素，可得到軌跡規劃器模型為：

(24)

(25)

Δτ(k+i)≤δ(μ,l,θ)

(26)

(27)

式(24)表示在關節轉動過程中抑制柔性振動的性能指標函數；在式(26)中，函數δ在保證關節角度趨近期望值的同時，限制力矩增量，μ取決于關節驅動電機，l取決于機械臂的特性；式(27)保證在優化過程中關節力矩滿足系統動力學約束。根據以上的二次規劃問題，可以得到預測域內滿足系統輸出最優的控制增量，由此獲得滿足動力學約束的最優參考軌跡yr，即跟蹤控制器的跟蹤軌跡。

綜上所述，在受約束條件下，FFFSR點到點軌跡規劃的實時預測控制算法為：

1)獲取當前時刻的系統狀態x(k)；

2)依據當前狀態，設計跟蹤控制器，得到最優控制律τ(k)；

3)在動力學約束條件下，給定系統目標位置，以x(k)為初始狀態，依據軌跡規劃器的性能指標函數(22)，得到最優參考軌跡yr；

4)將實際施加的控制律(16)作用于系統；

5)返回步驟1)，獲取當前時刻的系統狀態x(k+1)，繼續下一步驟，進行循環。

對于上述預測控制器的設計，系統的動態性能主要取決于模型精確度和控制參數的設計。根據FFFSR的控制特性，確定下列參數的選擇原則以及對系統性能的定性影響。

1)采樣周期T直接影響到矩陣G。若周期過長，則模型失準，控制質量下降；若周期太短，可能出現離散非最小相位零點，影響閉環系統穩定性；

2)預測域長度N對系統的穩定性有重要影響。N值較小，系統動態性能較差；N值增大可改善系統動態性能，增強系統魯棒性，但過大的N值則會導致計算效率低。

3)控制域長度M對系統性能影響較大，較小的M對控制起到一定的約束作用，有利于控制系統穩定；較大的M表示有較多步的控制增量變化，增大系統的靈活性和快速性，但會產生振蕩和超調，計算時間大大增加。

4)誤差權值矩陣Qp和力矩增量權值矩陣Rp的取值是相對的，在確定Qp的情況下，根據系統控制量的變化調節Rp。增大Rp，有益于增強系統穩定性，但過大的Rp會導致控制量變化緩慢，系統性能變壞。

根據系統的實際控制特點，通過仿真實驗，并結合上述規則進行參數的調節，獲得兼顧精確度和穩定性的控制。

4 仿真校驗

以圖1所示平面自由漂浮柔性空間機器人為例，驗證所提方法的有效性。系統慣性參數見表1所示。

表1 空間機器人模型慣性參數

B2桿單位長度的密度為ρ=1 kg/m，均勻彎曲剛度為EI=200 Pa。

仿真時，將文獻[10]中CTC控制器與本文方法所設計優化控制器的控制效果進行對比。假設柔性空間機器人關節的期望位置為幅值為1(rad)，周期為5 s的方波信號，初始角度為θ0=[0 0](rad)，柔性桿的初始、期望模態坐標均為η0=ηd=[0,0](m)。系統的動力學約束設置為τmax=-τmin=20 N·m。式(26)中，控制力矩增量的上界μ=1.5 N·m，根據系統動力學特性設定l=10-4m。在這個范圍內，柔性振動可以在不影響關節轉動的情況下得到抑制。δ(μ,l,θ)如下所示：

(28)

仿真時間為15 s。仿真結果如圖3～圖8所示，其中圖3～圖5為CTC控制器的關節軌跡跟蹤和柔性振動抑制的仿真結果；圖6～圖8為本文方法所設計控制器的關節軌跡跟蹤和柔性振動抑制的仿真結果。

圖3、圖4為CTC控制器下，關節位置跟蹤軌跡圖，圖中包括軌跡跟蹤效果、控制力矩范圍以及跟蹤誤差的大小。容易看出，采用CTC方法設計的控制器，不能快速到達目標位置，且在初期產生較大的跟蹤誤差，力矩幅值變化較大，易產生振蕩，對于柔性臂的振動抑制造成極大的影響。

圖3 關節1位置跟蹤軌跡圖

圖4 關節2位置跟蹤軌跡圖

圖5表示柔性桿件的一階柔性振動模態。由于關節不能快速到達目標位置，在轉動過程中力矩幅值的較大變化，使得柔性桿件產生較大范圍的振動，振動抑制效果不佳。

圖5 柔性振動抑制圖

圖6、圖7為本文所設計控制器的關節位置跟蹤軌跡圖。由圖可知，采用預測控制方法設計的跟蹤控制器和軌跡規劃器能夠使關節在動力學約束條件下快速穩定的到達目標位置，同時將力矩限制在約束范圍內。

圖6 關節1位置跟蹤軌跡圖

圖7 關節2位置跟蹤軌跡圖

圖8表示經過振動抑制后一階柔性振動模態。不難發現，在關節轉動過程中，柔性桿件的振動模態幅值迅速減小，并隨著控制時間的增加，幅值能夠保持在極小范圍內，說明基于預測控制方法的優化控制器能夠對柔性振動進行有效抑制。

圖8 柔性振動抑制圖

通過對比CTC方法與MPC方法的控制效果，不難看出，在動力學約束和有界擾動條件下，采用MPC方法所設計的控制器在關節跟蹤的速度和穩定性都強于CTC方法，同時柔性振動得到更有效的抑制。雖然控制效果更好的MPC優化控制器所需控制力矩更大，但滿足力矩約束范圍，符合工程實際需求。

5 結 論

對于存在動力學約束和有界擾動的自由漂浮柔性空間機器人系統，本文利用預測控制法設計了一種基于CARIMA模型的GPC跟蹤控制器和CPC軌跡規劃器相結合的優化預測控制器設計方法，實現了關節軌跡的穩定跟蹤和對柔性振動的有效抑制。理論推導和仿真分析表明：

(1)引入CARIMA模型的GPC跟蹤控制器能夠克服模型失配和外界干擾造成的不確定性，在線估計模型參數并及時更新，改善系統的動態性能，提高控制的魯棒性；

(2)提出一種MPC優化控制器設計方法，分別處理跟蹤控制和軌跡規劃問題，改進柔化控制方法，軌跡規劃器結合系統簡化模型和動力學約束，為跟蹤控制器規劃出能夠抑制柔性振動的關節角度優化跟蹤軌跡，跟蹤控制器利用優化反饋控制律實現快速穩定的軌跡跟蹤；

(3)跟蹤控制器和軌跡規劃器可獨立設計，在線規劃出滿足約束條件的運動軌跡，同時滿足關節軌跡跟蹤和柔性振動抑制的要求，使機械臂快速穩定的到達目標位置，更貼合工程實際，在保證跟蹤精度和振動抑制的情況下，提高了實時性。

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Improvedpredictivecontrolmethodforthetrajectorytrackingandvibrationsuppressionofafree-floatingflexiblespacerobot

PANGZhenan1,ZHANGGuoliang1,YANGFan1,2,XUJun1,JIAXiao1

(1. Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China； 2. Baoji new high tech research institute, Baoji 721000, China)

The combined use of trajectory tracking control and flexible vibration active suppression techniques for a free-floating flexible space robot (FFFSR) was discussed under dynamic constrains and bounded disturbances. An optimized controller containing a tracking controller and a trajectory planner was proposed based on the model predictive control method. The tracking controller generates the optimal control rule for the robot arm to track the desired trajectory quickly and stably, adopting the generalized predictive control method. The conventional softening control method was improved to get the desired trajectory. The trajectory planner was designed based on the constrained predictive control method and an optimal desired trajectory was planned with consideration of the dynamic constrains and flexible vibration. In this way, the fast and stable tracking as well as the vibration suppression were achieved. The numerical simulation results demonstrate the feasibility and effectiveness of the proposed control strategy.

free-floating flexible space robot(FFFSR); generalized predictive control(GPC); constrained predictive control(CPC); vibration suppression; dynamic constraints

TP242

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.016

中國工程科技中長期發展戰略研究項目(中國工程院與國家自然科學基金委聯合資助)(2014-zcq-10)

2016-05-11 修改稿收到日期：2016-09-08

龐哲楠 男，碩士，1992年8月生

張國良 男，博士，教授，1970年7月生