修正G-W模型研究結合面微觀接觸特性

李 玲, 李治強, 蔡安江, 阮曉光

(西安建筑科技大學 機電工程學院,西安 710055)

修正G-W模型研究結合面微觀接觸特性

李 玲, 李治強, 蔡安江, 阮曉光

(西安建筑科技大學 機電工程學院,西安 710055)

G-W模型在模擬結合面微觀接觸時發現,當微凸體接觸點數0

結合面;接觸機理;修正G-W模型;表面形貌表征

由于數控機床中存在大量結合面，使得結構的連續性被破壞，從而表現出復雜的動力學特性，極大程度地影響了整機動態性能。研究表明，機床中結合面的接觸剛度約占機床總剛度的60%～80%，結合面的接觸阻尼占機床全部阻尼的90%以上，結合面引起的變形量約占機床總變形量的40%～60%[1]。因此，開展結合面微觀接觸機理與動態特性研究是機械系統由單件分析走向整機分析的關鍵，是整機性能預測的基礎。

大量研究表明[2-4]，從微觀上揭示結合面接觸機理是行之有效的方法。結合面的動態特性本質是無數個微凸體間的相互影響和相互制約，針對這一復雜現象，Greenwood等[5]將粗糙表面上微凸體高度分布看成隨機函數，基于概率統計分析的方法建立了G-W模型。該模型的基本假設是：①粗糙表面上微凸體的高度服從正態分布；②粗糙表面上的微凸體頂部為球形，并且所有微凸體頂部球形半徑都相等；③微凸體之間無相互作用，且為小變形；④表面材料各向同性。G-W模型屬于結合面的彈性接觸模型，適用于在低載荷下的特性分析。隨后，Chang等[6]對G-W模型進行了改進，將微凸體的整個變形過程分為純彈性變形和純塑性變形，提出了CEB模型。Kogut等[7-8]基于CEB模型提出了K-E模型，Cohen等[9]又提出CKE模型，趙永武等[10]基于接觸力學理論和G-W模型提出ZMC模型，李玲等[11]在ZMC模型的基礎上提出了更為完備的結合面微觀接觸模型。

由于機械結合面具有分形特征，為獲得唯一的結合面形貌特征，通過微觀表面形貌的測量，獲得不同表面粗糙度下的分形參數，采用功率譜函數的矩，求得結合面微觀形貌參數。基于G-W模型及其缺陷，提出修正G-W模型，研究在低載荷下機械結合面微觀接觸機理，分析不同表面粗糙度下接觸載荷、微凸體接觸數目以及接觸面積之間的規律，研究接觸變形、接觸載荷和接觸剛度之間的關系。

1 G-W模型

在圖1(b)中，只有輪廓高度z>d時才發生接觸。在概率密度分布曲線中，z>d部分的面積就是表面接觸的概率P，可表示為[13]

(1)

式中，g(z)表示粗糙表面微凸體高度分布的概率密度函數。

如果名義面積上微凸體的總數為N，則預計能發生接觸的微凸體數量為

(2)

(a)

(b)

(c)

若各個接觸點的法向變形量為z-d，則實際接觸面積為

(3)

式中，R表示微凸體頂端曲率半徑。

根據Hertz接觸理論可得單個微凸體的接觸載荷為4/3E*R1/2(z-d)3/2，則微凸體支承的總載荷量為

(4)

式中:E*表示連接件的復合彈性模量;1/E*=(1-υ12)/E1+(1-υ22)/E2;E1和E2分別表示兩接觸材料的彈性模量;υ1和υ2分別表示兩接觸材料的泊松比。

通常實際表面的輪廓高度按照Gauss分布。在Gauss分布中，靠近z值較大的部分近似于指數分布。若令

g(z)=exp(-z/σ)

(5)

則式(2)～(4)可轉化為[12]

n=Nexp(-d*)

(6)

A=nπRσ

(7)

F=nπ1/2E*R1/2σ3/2

(8)

式中，d*=d/σ，為量綱一中心線距離。

根據式(6)～式(8)可知，要獲取兩個粗糙表面的接觸特性，必須預先已知表面形貌參數R,σ和η。

2 修正G-W模型

根據式(6)，分析微凸體接觸數目n與量綱一中心線距離d*之間的關系如圖2(a)所示。很明顯隨著d*的增加曲線n趨近于0，且0

(a)

(b)

根據圖1(a)，以首先接觸的一對微凸體為基準點，確定參考平面，如圖1(c)所示。所以，可得微凸體接觸數目

(9)

式中，g*(z*)=exp(-z*)，z*=z/σ，d0*=d0/σ。該式表示在d0以上只有一對微凸體相互接觸。所以，當間隙為d*時，可得微凸體接觸數目、總接觸面積和接觸力分別為

(10)

(11)

(12)

低載荷下，假設微凸體高度在均值附近服從指數分布，則式(10)～(12)可改為

(13)

(14)

(15)

式中，erf(·)表示誤差函數。

式(13)～(15)也可用變形來進一步描述，將相對變形定義為δ=d0-d，則有

(16)

A=πRσ(eδ*-1)

(17)

(18)

式中，δ*=δ/σ=d*-d0*，為量綱一接觸變形量。

所以，無論是式(13)還是式(16)，所得圖2(b)所示曲線才符合實際情況。

3 表面形貌表征

Majumdar等[14]研究發現，大部分的機械結合面具有分形特征，依據表面分形特性建立的接觸模型，使表面接觸的分析結果更具有確定性。為獲得唯一的結合面參數η,R和σ，利用結構函數法將表面輪廓曲線視為一個時間序列，則具有分形特征的時間序列能使其采樣數據的結構函數滿足

f(τ)=αG2(D-1)τ4-2D

(19)

對式(19)取對數，并簡化為

y=kx+b

(20)

式中，y=lgf(τ)，k=4-2D，b=lgα+2(D-1)lgG。

所以，可求得

(21)

通過式(21)求得的D和G值后，采用功率譜函數的零階矩、二階矩和四階矩，可表征具有各向同性的機械零件表面[15]。對于Weierstrass-Mandelbrot函數的連續功率譜零階、二階和四階矩譜距可表示為

式中:m0、m2和m4分別表示零階、二階和四階譜距;Ф(·)表示功率譜函數;ωh和ωl分別表示譜頻帶寬度的上下限，對于觸針式輪廓儀，ωl=1/L，ωh=1/τ，L為采樣長度。

求得m0、m2和m4后，根據式(25)～式(27)可求得結合面的微觀形貌參數η,R和σ[16]

(25)

(26)

(27)

4 結合面特性分析

4.1表面形貌參數的確定

選用如圖3所示的小試樣，結合面尺寸為20 mm×20 mm，材料為20CrMo，表面通過銑削加工，利用英國Talysurf表面輪廓儀測量表面形貌，放大倍率為×1 000。選用測定粗糙度分別為0.399 5 μm、2.035 4 μm和6.529 6 μm的試樣，根據式(21)可求得D和G的參數值，所得結果如表1所示。表1中D和G的下標分別表示圖3中的線段1、線段2和線段3。

圖3 試樣及其測試位置

Ra/μm分形維數D分形粗糙度系數G/mmD1D2D3G1G2G30．39952．03546．52961．39081．28741．17831．36711．21021．17301．50701．26771．17276．6440E?0072．3733E?0071．6486E?0084．5597E?0077．1925E?0091．4198E?0085．1981E?0061．8629E?0070．6282E?008

圖4為三種不同表面粗糙度下的試驗數據與擬合曲線比較。平均三條線段上的分形維數D和分形粗糙度系數G可得，當Ra=0.399 5 μm時，D=1.421 6，G=2.106 2×10-6mm；當Ra=2.035 4 μm時，D=1.255 1，G=1.436 0×10-7mm；當Ra=6.529 6 μm時，D=1.174 7，G=1.232 2×10-8mm。

已知粗糙表面測量儀器的最小采樣間距為0.25 μm，采樣長度為3 mm，根據D和G值以及式(22)～式(24)可求得m0、m2和m4，根據式(25)～式(27)可求得η,R和σ，所得數據如表2所示。

表2 結合面譜距和表面形貌參數

4.2結合面接觸特性分析

對式(6)～(8)進行求解，所得結果如圖5和圖6所示。圖5為不同表面粗糙度下中心線間距離與微凸體接觸個數和接觸力間的對數關系。圖6為不同表面粗糙度下微凸體接觸個數與接觸力和接觸面積間的關系。從兩幅圖中可發現當0

圖7為修正的G-W模型分析結果，很明顯當n≥1時微凸體才開始發生接觸，此時將產生力和相應的接觸面積。根據圖7(a)可知，量綱一中心線間距離與微凸體接觸個數呈對數關系，d*越大，微凸體接觸數目n越少，當達到一定程度時，上下表面的微凸體不再發生接觸；在相同d*下，表面粗糙度越大，微凸體接觸數目越少，根據表2也可得此結論。

圖7(b)為中心線間距離與接觸力呈對數關系，中心線間距d*越大，接觸力F越小；在相同中心線間距下，表面粗糙度越大，接觸力越大，這是因為表面粗糙度越大，中心線間距就越大，要達到相同的中心線間距需要的接觸力就越大。

(a) Ra1=0.399 5 μm

(b) Ra2=2.035 4 μm

(c) Ra3=6.529 6 μm

圖4 采用結構函數獲得的D和G(Ra=0.399 5 μm，Ra=1.844 6 μm和Ra=6.529 6 μm)

Fig.4 Fractal parameters (DandG) are obtained by structural function method (Ra=0.399 5,Ra=2.035 4 andRa=6.529 6)

圖5 不同表面粗糙度下中心線間距離與微凸體接觸個數和接觸力間的關系

Fig.5 Number of asperities in contact and contact force as a function of normalized distance under different surface roughness

圖7(c)和(d)表明，不同表面粗糙度下微凸體接觸個數與接觸面積和接觸力之間近似線性關系，微凸體的接觸數目越多，表面接觸面積和接觸力越大；相同接觸數目下，表面粗糙度越大，接觸面積和接觸力也越大，這是因為粗糙度越大，單個微凸體的接觸半徑就越大，相同接觸數目下的接觸面積就越大，從而接觸力就越大。

圖6 不同表面粗糙度下微凸體接觸個數與接觸力和接觸面積間的關系

Fig.6 Contact area and contact force as a function of the number of asperities under different surface roughness

4.3接觸變形與接觸參數的關系

根據式(16)～(18)可得接觸變形與接觸參數的關系，如圖8所示。隨著接觸變形的增加，接觸力非線性遞增，真實接觸面積近似線性遞增；相同接觸變形量下，表面粗糙度越大，接觸力越小，真實接觸面積也越小，這是因為表面粗糙度越大，單位面積上微凸體的數目就越小，即只需較小的接觸力就可到的相應的接觸變形量，同時其接觸面積也就越小。

另外，從圖8(a)和(b)中發現，當接觸變形較小時，修正的G-W模型與Hertz接觸模型吻合得相當好。當接觸變形量較大時，修正G-W模型值會偏離Hertz模型中的參數，如圖8(c)所示，這是因為Hertz接觸理論并未考慮微凸體在接觸時滿足指數分布。

根據接觸變形和接觸力之間的關系，可得相應的通用表達式

(a) 不同表面粗糙度下中心線間距離與微凸體接觸個數間的關系

(b) 不同表面粗糙度下中心線間距離與接觸力間的關系

(c) 不同表面粗糙度下微凸體接觸個數與接觸面積之間的關系

(d) 不同表面粗糙度下微凸體接觸個數與接觸力間的關系

(a) 不同表面粗糙度下接觸變形與接觸力間的關系(b) 不同表面粗糙度下接觸變形與接觸面積間的關系(c) 接觸變形與接觸力和接觸面積間的關系比較

圖8 不同表面粗糙度與接觸力和接觸面積之間的關系比較

Fig.8 Contact area and contact force as a function of the contact deformation under different surface roughness

F=aδb

(28)

式中，a和b與試件的材料、表面粗糙度以及介質等因素相關的常系數，可通過最小二乘擬合法獲得。

式(28)可轉換為

(29)

所以，可得結合面接觸剛度的關系表達式

(30)

所得式(28)和式(30)與文獻[17-18]完全吻合，表明了結論的正確性。

5 結 論

(1) 利用G-W模型模擬結合面微觀接觸行為時，發現當接觸點數目0

(2) 量綱一中心線間距離與接觸力和微凸體接觸個數呈對數關系，中心線間距越大，接觸力越小，微凸體接觸數目越少，當大到一定程度時，上下表面微凸體的接觸數目不再發生改變；在相同中心線間距下，表面粗糙度越大，接觸力越大，微凸體接觸數目越少。

(3) 不同表面粗糙度下微凸體接觸個數與接觸面積和接觸力之間呈線性關系，微凸體的接觸數目越多，表面接觸面積和接觸力越大；相同接觸數目下，表面粗糙度越大，接觸面積和接觸力也越大。

(4) 隨著量綱一接觸變形的遞增，接觸力對數遞增，而真實接觸面積近似線性遞增；當接觸變形量較小時，修正的G-W模型與Hertz接觸模型吻合得相當好；當接觸變形量較大時，修正G-W模型值會偏離Hertz模型中的參數。

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Analysisonthemicro-contactcharacteristicsofjointinterfacesbyusingamodifiedG-Wmodel

LILing,LIZhiqiang,CAIAnjiang,RUANXiaoguang

(School of Mechanical and Electrical Engineering， Xi’an University of Architecture and Technology，Xi’an 710055, China)

When simulating the micro-contact characteristics of joint interfaces using the G-W model, an unreasonable phenomenon was found that the deformation arises at the joint interfaces when the number of asperity in contact is between 0 and 1. So a modified G-W model was developed to describe the micro-contact characteristics of joint interfaces. The roughness parameters were obtained by measuring the surface topography of joint surfaces and the relationships among the surface roughness, contact force, number of asperities in contact and contact area were studied. The results show that the number of asperities in contact and the contact force are in logarithmic relationship with the normalized distance under different surface roughness. As the normalized distance increases, the number of asperities in contact and the contact force decrease. As the surface roughness increases, the contact force increases, but the number of asperities in contact decreases under the same normalized distance. The contact area and the contact force are linear functions of the number of asperities in contact under different surface roughness, and as the number of asperities in contact increases, the contact force and the contact area increase. The greater the surface roughness, the larger the contact force and contact area under the same number of asperities in contact. The simulation results by the modified G-W model are in good agreement with those by the Hertz contact model. The contact deformation is a logarithmic function of the contact force, but is an approximate linear function of the contact area.

joint interface; micro-contact characteristics; modified G-W model; characterization of surface topography

TH113;TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.008

國家自然科學基金(51305327;51475352)；高等學校博士學科點專項科研基金(20136120120020)；陜西省自然科學基金(2014JQ7270)

2016-05-18 修改稿收到日期：2016-08-25

李玲 男，博士，副教授，碩士生導師，1981年7月生

蔡安江 男，碩士，教授，博士生導師，1965年11月生