考慮附加質量的旋轉柔性梁動態可靠性分析

靳紅玲， 王 威， 馮 濤， 郭成洋， 陳 軍

(西北農林科技大學 機械與電子工程學院，陜西 楊凌 712100)

考慮附加質量的旋轉柔性梁動態可靠性分析

靳紅玲， 王 威， 馮 濤， 郭成洋， 陳 軍

(西北農林科技大學 機械與電子工程學院，陜西 楊凌 712100)

在帶有附加質量的旋轉柔性梁系統動態可靠性分析中，為了提高其計算精度和計算效率，提出了一種基于單項式容積法(Monomial Cubature Rules,MCR)的隨機響應面法(Stochastic Response Surface Method,SRSM)。該方法利用MCR的積分點作為樣本點，并以此生成柔性梁系統動態響應的小樣本對，基于這些樣本對和SRSM回歸理論，建立柔性梁系統動態響應可靠度隱式功能函數的代理模型，使用該代理模型對柔性梁系統進行動態響應可靠性分析。通過與傳統的蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)法和改進的概率配點法(Efficient Collocation Method,ECM)比較，表明了該方法在柔性梁系統動態響應可靠性分析中的高效率和高精度。在取相同變異系數的條件下，柔性梁截面寬度參數的分散性對系統動態響應的可靠性影響較大。

柔性梁;附加質量;隨機響應面法;單項式容積法;動態可靠性

隨著現代機械向高速、輕質、高精度的方向發展，旋轉柔性機械臂的動力學問題越來越受到關注[1-3]。旋轉柔性機械臂通常可以抽象為旋轉柔性梁，其動力學模型是復雜的時變微分代數方程，致使在進行動態可靠性分析時，功能函數很難以解析形式表達。理論上，MC(Monte Carlo)法利用隨機抽樣和概率統計方法計算結構的隨機響應量，是一種比較直接、精確的方法。但對于小概率失效事件，MC需要大量的樣本點才能保證計算精度，計算成本較高[4]。

SRSM(Stochastic Response Surface Method)使用Hermit多項式擬合輸出響應與輸入參數之間的復雜隱函數關系，建立功能函數的代理模型，能夠快速得到系統動態響應的可靠度，因而在可靠度領域得到廣泛的應用[5-8]。然而，SRSM的計算效率和精度取決于配點的選取，傳統的概率配點法(Probabilistic Collection Method,PCM)[9]和改進的概率配點法(Efficient Collocation Method,ECM)[10]在高維系統中由于局部抽樣可能會產生很大誤差，甚至嚴重失真[11]。為了提高SRSM的計算精度和計算效率，Li等[12]初步提出了采用基于線性無關原則選取概率配點的思想，并研究了該方法在地下水溶質運移不確定性分析中的應用。楊綠峰等在文獻[12]的基礎上，引入逐步回歸分析剔除響應面展開項中的次要項，從而大幅減少了展開式中的待定系數。蔣水華等[13]系統地研究了SRSM采用線性無關原則選取概率配點的優越性，并比較了基于回歸方法和基于線性無關原則選取概率配點的優缺點。

為解決PCM和ECM局部抽樣存在的問題，本文采用基于單項式容積法(Monomial Cubature Rules,MCR)的SRSM(簡寫為MCR-SRSM)建立柔性梁系統動態響應可靠度分析的代理模型，并將該方法應用于考慮附加質量的旋轉柔性梁的動態響應可靠性分析。

1 單項式容積法

旋轉柔性梁動態響應是時間t的函數，采用基于回歸分析的SRSM，其動態響應的隱式功能函數g′也是時間的函數，采用p次的Hermite多項式展開表示為

(1)

式(1)即為隱式功能函數g′的代理模型。式中，混沌多項式展開式的待定系數構成矢量a(t)=[a1(t),a2(t),…aN(t)]；Hk(ξ)為Hermite多項式，ξ=(ξ1,…,ξn)是n維彼此相互獨立的、且服從標準正態分布的隨機向量，n是隨機變量的個數；N為待定系數的個數，其表達式為

(2)

式中，p為Hermite多項式展開的階次。

在SRSM的應用過程中，最主要的工作就是如何選取配點以求解式中的待定系數矢量a(t)。Tatang等提出的PCM是在高一階Hermite多項式根的組合(p+1)n個樣本點中選取N個點作為配點求解待定系數；為了避免PCM可能產生的不穩定現象，Isukapalli提出了ECM，即將配點數選取為待定系數個數的2倍以提高計算精度。但兩種方法在高維情況下，顯然有(p+1)nN，如何從(p+1)n個樣本點中選取N個作配點仍是一個不確定問題，不同的積分點組合會產生不同的計算結果，將直接影響代理模型的精度。

本文采用的MCR是高效的多重數值積分方法，當給定數值積分的精度后，MCR生成數量最少的積分點。Stroud[14]指出MCR生成精度為2p+1的n維的積分點個數通常很接近p次的PC系數的個數這個下限值，因此全部的積分點可以作為配點，且計算量小。該方法已成功應用于容差分析[15]、優化設計[16]和隨機動力學分析[17]。

以下給出本文采用的部分5階和7階精度MCR公式(分別對應于2次和3次Hermite多項式展開)，詳見Stroud的結論。

1) 公式Ⅰ

具有5階精度，對于n(2≤n≤7)維變量，積分點個數為s=n2+n+2。當n≥4時，它是已知5階精度公式中需要的配置點個數最少，有

I(f)≈A[f(η,η,η,…,η)+f(-η,-η,-η,…,-η)]+

(3)

式中，μ,γ,η,λ,ζ,A,B,C分別為配置點和權系數。其中，μ,γ,η由以下關系式確定：

λ=1.328 947。

2) 公式Ⅱ

具有7階精度，對于n(n≥3)維變量，積分點個數為s=2n+1+4n2。雖然積分點數隨維數的增加而增加較快，但是該公式的權系數都為正數，所以對于高維問題，數值計算的穩定性很好[18]。該公式的表達式如下：

(4)

2 隨機動力學模型

圖1所示為在水平面內作大范圍運動規律為已知的柔性懸臂梁，θ為大范圍運動的角位移。設該梁為均質等截面Euler-Bernoulli梁，其截面彈性軸與中性軸共線，忽略系統的重力。中心剛體半徑rA，梁的自由端附有集中質量m，梁的橫截面寬度y、高度z、長L，體積密度ρ、彈性模量E。XOY為系統慣性坐標系，為固結于梁上的浮動坐標系。

圖1 考慮附加質量的柔性懸臂梁系統

(5)

3 基于代理模型的可靠度分析

旋轉柔性梁的動力學模型是復雜的時變微分代數方程，其動態響應可靠度分析時的函數為隱式功能函數。本文采用代理模型g代替隱式功能函數g′，進行柔性梁動態可靠度分析。

3.1動態可靠性基本理論

(6)

相應的，柔性梁末端動態變形響應可靠度可以定義為：運動時域T內，動態響應在允許值范圍內的概率，即可靠度R可表示為

R(t)=P(g′≥0)

(7)

圖2 柔性梁的變形示意圖

3.2動態可靠度分析的MCR-SRSM法

基于代理模型g進行動態可靠度分析，關鍵是求解式(1)的待定系數矢量a(t)。本文采用MCR-SRSM法求解a(t)，將其代入式(1)得到代理模型中變量和響應的函數關系，具體方法如下：

3.2.1 動態響應許用值的確定

(8)

3.2.2 動態響應的小樣本對

(9)

(10)

3.2.3 動態響應可靠度分析的代理模型

為求解代理模型中的待定系數矩陣，將小樣本對{(ξ1,g1),…,(ξj,gj),…,(ξs,gs)}代入式(1)，得到一組以a(t)為未知數的方程組，再利用SRSM回歸分析確定出對應于不同時刻t的待定系數矩陣a(t)，把a(t)代入式(1)得到代理模型g(ξ,t)的表達式。

對于a(t)已知的代理模型g(ξ,t)，利用MC對ξ=(ξ1,…,ξn)進行r次大批量抽樣ξi,i=1,…,r，求出對應于時刻t的r個功能函數值{g1,…,gr}，根據式(7)對r個功能函數值進行統計分析得到動態響應隨時間的可靠度R(t)。

綜上所述，基于代理模型的可靠度分析求解步驟如下：

3) 將小樣本對{(ξ1,g1),…,(ξj,gj),…,(ξs,gs)}中的ξj作為輸入，gj作為輸出代入式(1)，利用SRSM回歸分析確定待定系數矩陣a(t)，將a(t)代入式(1)得到代理模型g(ξ,t)的表達式；

4) 利用MC對代理模型進行大批量抽樣統計分析得到動態響應隨時間的可靠度。

具體的柔性梁動態響應可靠度求解流程圖見圖3，其中k為時域上的積分點數。

圖3 基于MCR-SRSM動態可靠性求解流程圖

4 實 例

柔性懸臂梁由靜止開始作大范圍旋轉運動，角速度規律為

式中:T為達到恒定轉速之前的加速時間，取T=15 s;ω0為t>T時的恒定轉速，取ω0=4 rad/s。

文中按公式I和II采用模擬次數分別為s=52+5+2=32和s=25+1+4×52=164的五階MCR(簡寫為MCR-5th)和七階MCR(簡寫為MCR-7th)，以及模擬次數為s=2N=2(5+3)!/(5!3!)=112的三次ECM(簡寫為ECM-3rd)求解該旋轉柔性梁末端的變形響應的可靠度。

圖4 梁末端的變形響應

(a)

(b)

圖6 梁末端動態響應的可靠度曲線(γall=0.05)

圖7 不同隨機變量組合對系統可靠度的影響曲線

Fig.7 Reliability curve with different random variables impacting on the system

表1不同隨機變量組合對系統可靠度的影響

Tab.1Differentrandomvariablesimpactingonthereliabilityofthesystem

計算模型ω0=4rad/sSmax/mσmax/m可靠性指標(t=7s)可靠度(t=7s)γall=0(確定性模型)0．64700--γall=0．05(MCR?5th)0．65380．03110．62610．7344γall=0．05(MCR?7th)0．65200．03600．67100．7489γall=0．05(ECM?3rd)0．65170．03350．66920．7483γall=0．05(MC)0．64850．03750．71920．7640γy=0．05，γother=00．65110．03290．78170．7828γz=0．05，γother=00．64880．01112．03150．9789γρ=0．05，γother=00．64680．0026-1．0000γE=0．05，γother=00．64770．01122．43720．9926γm=0．05，γother=00．64730-1．0000

5 結 論

本文采用MCR的積分點作為SRSM回歸分析的配點建立可靠度功能函數的代理模型，對旋轉柔性梁系統的動態響應可靠性進行分析，得出以下結論：

(1) MCR只生成少量的積分點，可全部作為SRSM回歸分析時的配點，計算量小；同時解決了高維情況下ECM局部抽樣存在的問題，使求解功能函數的代理模型更加穩健。

(2) 相對于MC，利用本文MCR-SRSM方法求解旋轉柔性梁動態響應的可靠度，顯著地減少了模擬次數，提高了計算效率，具有較高的計算精度。

(3) 各參數的隨機性對柔性體的動態變形響應可靠度的影響不可忽略，故欲增強系統的可靠性，應首先降低對可靠性影響顯著的參數分散性。

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Dynamicreliabilityanalysisofarotatingflexiblebeamwithtipmass

JINHongling,WANGWei,FENGTao,GUOChengyang,CHENJun

(School of Mechano-electronic Engineering, Northwest A&F University, Yangling 712100, China)

In order to improve the computational accuracy and efficiency of the dynamic reliability analysis of a rotating flexible beam system with additional mass, a monomial cubature rules-based stochastic response surface method (MCR-SRSM) was proposed. A small set of sample pairs for the flexible beam dynamic response was generated by taking the integral points of MCR as sample points. Based on these sample pairs and the regression theory of SRSM, a surrogate model for the implicit feature function for the systematic dynamic response reliability was established. The dynamic response reliability analysis on the flexible beam system was executed by the surrogate model. The simulation results show that the computational precision and efficiency of the proposed method are higher than those of the known traditional Monte Carlo method and Efficient Collocation Method (ECM); under the same coefficients of variation, the dispersion of the cross-sectional width parameter of the flexible beam has a significant effect on the dynamic response reliability.

flexible beam; tip mass; stochastic response surface method (SRSM); monomial cubature rules (MCR); dynamic reliability

TH113.2;TB114.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.007

中國博士后科學基金(2015M582709)； 中央高校基本科研業務費(2452015058)；中國博士科研啟動基金(2452015294)

2016-05-20 修改稿收到日期：2016-07-07

靳紅玲 女，博士，講師，1975年9月

陳軍 男，博士，教授，1970年7月