基于同步擠壓小波變換的時變結構損傷識別方法研究

劉景良, 任偉新, 黃文金, 黃志偉, 許旭堂

(1.福建農(nóng)林大學 交通與土木工程學院，福州 350002； 2.合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院，合肥 230009)

基于同步擠壓小波變換的時變結構損傷識別方法研究

劉景良1, 任偉新2, 黃文金1, 黃志偉1, 許旭堂1

(1.福建農(nóng)林大學 交通與土木工程學院，福州 350002； 2.合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院，合肥 230009)

提出一種基于同步擠壓小波變換的時變結構損傷識別方法。采用小波總能量指標識別時變結構的損傷位置，然后對損傷位置處的響應信號進行同步擠壓小波變換，識別其瞬時頻率并重構本征函數(shù)分量信號。在此基礎上，求解響應信號的模態(tài)振型參與系數(shù)比值并聯(lián)合瞬時頻率共同構建了一個新的時變損傷指標(TVDI)。采用一個剛度突變和線性變化的簡支梁數(shù)值算例對提出的小波總能量和TVDI損傷指標進行了驗證，結果表明，提出的指標能夠準確地識別結構的損傷位置和時變損傷。

同步擠壓小波變換；瞬時頻率；模態(tài)振型參與系數(shù)比值；時變損傷識別；小波總能量

土木工程結構在地震、臺風等極端荷載作用下容易產(chǎn)生局部或整體損傷，本質上是時變和非線性結構系統(tǒng)。結構一旦出現(xiàn)損傷，其物理參數(shù)必將發(fā)生改變，從而導致結構的模態(tài)參數(shù)發(fā)生相應的變化，而識別結構損傷的前提就是如何準確有效地探測出結構損傷過程中物理參數(shù)和模態(tài)參數(shù)的變化[1-2]。小波理論由于其良好的時頻局部化特性，近些年來已經(jīng)廣泛運用于結構瞬時特征參數(shù)識別。雖然小波變換在時變結構的模態(tài)參數(shù)識別領域獲得了廣泛的應用，然而Kijewski等[3]指出，小波變換在分析土木工程結構響應信號中經(jīng)常出現(xiàn)的長周期信號分量時，往往缺少足夠的頻率精度。在時頻圖上表現(xiàn)為低頻信號分量的時頻曲線分布較寬并且十分模糊。同步擠壓小波變換(Synchrosqueezing Wavelet Transform)作為一種以小波變換為基礎的全新時頻分析方法，通過重組小波變換后的時頻圖獲得了較高頻率精度的時頻曲線[4-6]。目前，該方法雖有相關的理論研究，然而在實際工程中的應用卻還十分缺乏。

時變結構參數(shù)識別工作的一個主要應用研究是損傷識別。目前關于時變結構損傷識別方法的研究工作并不多見。Soyoz等[7]采用擴展卡爾曼濾波方法(EKF)識別地震作用下結構的瞬時單元剛度，并以此作為損傷評價指數(shù)。熊飛等[8]提出一種基于HHT的時變結構損傷識別方法，該方法采用結構的瞬時頻率作為損傷判定指標。任宜春等[9]通過EEMD分解響應信號，提出利用損傷前后結構響應固有模態(tài)函數(shù)特征能量比和瞬時頻率的變化來判斷強震作用下結構的損傷位置和損傷時間。在上述時變損傷指標中，瞬時單元剛度難以識別，而瞬時頻率指標是一個對全局損傷十分敏感而對局部損傷不敏感的全局量，在實際工程中的應用并不十分理想。Darvishan等[10]采用HHT、Teager能量算子等方法對抗彎框架地震響應進行分析得出：單純采用頻率指標對結構進行損傷識別的精度并不高。

實際上，土木工程結構的損傷是一個由輕微損傷到嚴重損傷的漸變過程。因此，在有效識別時變結構瞬時特征參數(shù)的基礎上，如何利用新的數(shù)學方法并結合能量、振型等其他參數(shù)構造更為實用可靠的時變損傷指標來追蹤結構的損傷演化過程，并對結構的健康狀況做出準確的評估仍然是一個值得繼續(xù)深入研究的問題。基于此，本文首先定義小波總能量指標來識別時變結構的損傷位置，然后從損傷位置處的響應信號出發(fā)，提出一個類似模態(tài)柔度的時變損傷指標來預測結構損傷的演化過程。該指標只需知道瞬時頻率和模態(tài)振型參與系數(shù)比值，并不需要對模態(tài)振型進行歸一化。新提出的損傷指標的準確性和有效性通過一個剛度突變和線性變化的簡支梁數(shù)值模型進行了驗證。

1 同步擠壓小波變換

對于一個時變多分量信號x(t)，一般可以表示為N個本征函數(shù)分量信號(IMF)和一個余量之和:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中，Re[·]表示求實部。而對應尺度ai的x(b)的分段逼近形式為

(6)

2 小波總能量指標識別損傷位置

結構損傷識別就是將未損結構與損傷結構的動力參數(shù)進行比較，從而確定損傷發(fā)生的位置、時間和損傷程度，其中首要確定的就是結構的損傷位置。能量是結構振動信號分析中的重要物理量，結構響應信號各組成成分能量的變化包含豐富的結構損傷信息，且臨近損傷位置的結構響應信號的能量在損傷前后通常會發(fā)生比較大的變化，可以用來表征結構的健康狀況和損傷情況。當前基于能量的損傷識別方法主要采用了小波包節(jié)點能量這一定義[12-13]。本文采用同步擠壓小波變換理論重新定義了小波總能量指標并通過該指標在損傷前后的變化來識別結構的損傷位置。該指標僅需知道結構的響應信號，就能準確識別出結構的損傷位置。

給定任意響應信號x(t)，對響應信號x(t)進行同步擠壓小波變換可得系數(shù)矩陣Tx(a,b)m×n，其中m代表尺度ai個數(shù)，n為采樣時間點bj個數(shù)。

某個尺度ai下響應信號的小波能量為

(7)

式中，T為響應信號時間總長。

而小波總能量則定義為各個尺度下的小波能量之和，即

(8)

(9)

由于土木工程結構的損傷往往出現(xiàn)某幾個位置，當結構某部位發(fā)生損傷時，可以看成該部位發(fā)生軟化，吸收了更多能量，從而導致該位置的小波總能量在損傷前后的變化最大，且為正值，而其他未損部位的ΔEx值相對較小甚至為負值。因此可以通過歸一化后的小波總能量變化ΔEx對結構進行損傷定位，然后從損傷位置處的響應信號出發(fā)，進一步識別結構的時變損傷。

3 TVDI指標識別時變損傷

由于結構損傷通常會引起結構物理參數(shù)的變化，進而導致結構模態(tài)參數(shù)的變化，因此通過頻率和振型等模態(tài)參數(shù)或者它們的聯(lián)合指標來識別結構的損傷是十分可行的。作為眾多結構損傷識別指標的一種，柔度矩陣是一種十分優(yōu)越的損傷指標。首先定義柔度增量作為結構系統(tǒng)的損傷指標：

(10)

Δ=F0-Fd

(11)

式中，Φ=[φ1φ2…φi…φN]是質量歸一化的模態(tài)振型矩陣，下標i表示第i階模態(tài)。ωi表示第i階模態(tài)頻率，且Λ=diag(ωi2)。N為結構系統(tǒng)的自由度個數(shù)。F0和Fd分別指結構完好無損時和結構損傷時的柔度矩陣。因此Δ反映了結構柔度矩陣的變化，可以用來識別結構的損傷。不同于剛度矩陣，柔度矩陣能夠隨著模態(tài)頻率的增加而快速收斂。而模態(tài)頻率和模態(tài)振型也能夠輕易地從實驗數(shù)據(jù)和數(shù)值響應信號中提取，因此采用模態(tài)柔度作為損傷指數(shù)是切實可行的。

雖然模態(tài)柔度指標已經(jīng)廣泛應用于結構損傷識別研究領域，但是實際上我們很難獲得結構柔度的全部信息，尤其是那些含有時變損傷的結構。此外，獲得結構的歸一化振型也是一件十分困難的事情。受模態(tài)柔度損傷指標的啟發(fā)，我們提出了一個新的時變損傷指標，該指標只需知道結構的瞬時頻率和振型參與系數(shù)比值，而不需要知道歸一化模態(tài)振型。由于實際工程中很大一部分信號符合同步擠壓小波變換算法的漸進信號假定，因此只要給予足夠細的頻率劃分區(qū)間，就能夠準確地識別待分析信號中的各個分量信號的瞬時頻率。響應信號中的每一個本征函數(shù)分量(IMF)也可以通過同步擠壓小波逆變換進行完全的重構[14]。在求得結構的瞬時頻率和IMF分量的基礎上，模態(tài)振型參與系數(shù)比值(Modal Participation Factor Ratio)可以通過如下方式計算。

設定結構系統(tǒng)中任意兩個節(jié)點(s和l)的位移響應已知，記為xs(t)和xl(t)。將xs(t)和xl(t)轉換到模態(tài)坐標，可得

(12)

式中:[φs1φs2φs3…φsN]和[φl1φl2φl3…φlN]分別代表模態(tài)振型矩陣的第s行和l行向量，[q1q2…qN]為模態(tài)坐標向量，N為結構自由度個數(shù)。響應信號中的每一個IMF分量φsiqi或φliqi可以通過同步擠壓小波逆變換進行重構。以IMF分量本身作為實部，其Hilbert變換作為虛部，構建解析信號如下：

(13)

式中:H [·]表示Hilbert變換;Aqi表示幅值。以s點作為參考點(通常選擇結構響應最大的點)，節(jié)點l與s之間的第一階模態(tài)振型參與系數(shù)比值φl1,s1定義為

(14)

其他高階振型參與系數(shù)比值可以通過類似方式得到。

在求得結構的瞬時頻率和各階模態(tài)振型參與系數(shù)比值后，新的時變損傷指標(TVDI)可以定義為

(15)

4 瞬時頻率提取

由時變損傷指標TVDI的定義可知，瞬時頻率的識別精度直接影響TVDI的取值。目前基于小波理論提取小波脊線和瞬時頻率的方法主要有兩種：一種是基于小波系數(shù)的相位信息，一種是基于小波系數(shù)的模值信息。然而，無論是基于小波系數(shù)相位信息的脊線提取算法，還是基于小波系數(shù)模值的脊線提取算法，都面臨著一個同樣的問題，即提取的小波脊線中存在許多毛刺，從而大大降低了信號瞬時頻率的識別精度。而同步擠壓小波變換則通過重組小波變換后的時頻圖提高了瞬時頻率的識別精度。

為驗證同步擠壓小波變換識別信號瞬時頻率的準確性，定義如下Duffing非線性系統(tǒng)振動方程：

(16)

圖1 添加5%水平高斯白噪聲的Duffing非線性系統(tǒng)位移響應

Fig.1 Displacement responses of Duffing nonlinear system with 5% Gaussian white noise

對含噪Duffing非線性系統(tǒng)位移響應進行同步擠壓小波變換和連續(xù)小波變換，提取的瞬時頻率曲線如圖2所示。

圖2 同步擠壓小波變換和連續(xù)小波變換方法識別的Duffing非線性系統(tǒng)響應瞬時頻率

Fig.2 Instantaneous frequency of Duffing nonlinear system identified by synchrosqueezing wavelet transform and continuous wavelet transform

從圖2可知，由于高斯白噪聲的影響，基于連續(xù)小波變換(虛線所示)提取的瞬時頻率曲線存在許多毛刺，嚴重影響了瞬時頻率的識別精度。而同步擠壓小波變換通過細化時頻曲線，基本消除了噪聲的影響，提高了瞬時頻率的識別精度。

5 簡支梁損傷識別數(shù)值算例

為驗證所提出的小波總能量和TVDI指標是否適合具有分布質量的連續(xù)系統(tǒng)，本文以簡支梁數(shù)值算例為研究對象，對剛度突變和線性變化兩種情況下結構的損傷進行了識別。簡支梁長5 m，劃分為20個等長的單元，單元編號和節(jié)點編號如圖3所示。簡支梁密度ρ=7 800 kg/m3，初始彈性模量E0=2.1×105MPa，橫截面面積A=0.04 m2(0.2 m×0.2 m)，慣性矩I=1.333×10-4m4。

圖3 簡支梁模型

5.1單點損傷識別

首先考慮具有單個損傷位置的簡支梁的四個損傷工況(Damage Scenario, DS)，如表1所示。土木工程結構的損傷主要表現(xiàn)為剛度的降低，而某個位置剛度的降低可以通過降低該處單元的彈性模量來實現(xiàn)。在損傷工況DS1和損傷工況DS3中，模擬了簡支梁的自由振動，其初始位移響應為0.02 m；在損傷工況DS2和損傷工況DS4中，簡支梁的外加激勵為1940 El Centro地震波。采用Newmark積分法求解簡支梁各個節(jié)點的位移、速度和加速度響應，時間間隔為0.02 s，整個時間歷程為12 s。為考慮噪聲的影響，對響應信號添加了5%、10%和15%水平的高斯白噪聲作為對比，噪聲強度由信噪比(SNR)定義。為簡單起見，圖4中只表示了損傷工況DS3中簡支梁的自由響應。

表1 單點時變損傷四個損傷工況

從圖4中可以看出，損傷處節(jié)點6和未損處節(jié)點11的位移變化趨勢基本一致，只是由于節(jié)點11位于簡支梁跨中，位移幅值相對大一些。

由于簡支梁的兩個端節(jié)點(節(jié)點1和21)為鉸接，豎向位移響應為零，因此采用復Morlet小波對節(jié)點2～20的位移響應進行同步擠壓小波變換，并根據(jù)式(7)～(9)構建各節(jié)點的小波總能量變化ΔEx，如圖5所示。由圖5可知，節(jié)點6(單元5和6中心)處的小波總能量變化ΔEx最大，且為正值，因此該節(jié)點應為損傷所在位置，這與表1中的損傷工況描述是十分吻合的。因此，采用小波總能量指標的變化值ΔEx來識別時變結構的損傷位置是十分可行的。

(a) 節(jié)點11

(b) 節(jié)點6

(a) DS1

(b) DS2

(c) DS3

(d) DS4

圖5 四個工況中簡支梁的損傷位置識別結果

Fig.5 Damage location identification results for different damage scenarios

已知結構的損傷位置為節(jié)點6，為求解時變損傷指標TVDI，首先對簡支梁損傷節(jié)點6的位移響應進行同步擠壓小波變換并提取其瞬時頻率，然后將節(jié)點11定義為參考點，并根據(jù)式(12)～(14)計算損傷狀態(tài)下的節(jié)點6和11間的第一階模態(tài)振型參與系數(shù)比值，其中公式中需要用到的IMF分量可以通過對節(jié)點6和11的位移響應進行同步擠壓小波逆變換重構得到。相應地，完好狀態(tài)時的瞬時頻率和模態(tài)振型參與系數(shù)比值可以通過同樣的方法得到。至此，損傷指標TVDI的值可以通過式(15)計算得到。

四個損傷工況(DS1-DS4)下的時變損傷指標(TVDI)如圖6所示。從圖6可知，無論是剛度突變還是剛度線性變化，提出的損傷指標TVDI均能夠有效地探測到損傷的發(fā)生。在圖6(a)和圖6(b)中，TVDI在t=2 s時的突然增加與簡支梁四分之一跨處單元5和6在同一時刻剛度突然降低40%有關。相應地，由于損傷工況DS3和DS4中簡支梁四分之一跨處單元5和6的剛度在2 s～6 s之間線性下降40%，圖6(c)和圖6(d)中的TVDI值在同一時間段線性增加。高斯白噪聲對損傷識別結果有一定的影響，但是TVDI指標仍然能夠準確識別結構的損傷演化趨勢。

從圖6可以看出，TVDI在損傷發(fā)生之前的時間段(前2 s)并不總是為零。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的主要原因是小波變換的端點效應。同步擠壓小波變換以小波變換為基礎，它雖然能夠在一定程度上削弱端點效應帶來的不利影響，但是并不能消除端點效應。在響應信號的末端同樣可以發(fā)現(xiàn)端點效應的存在，例如在圖6(a)和圖6(c)中，TVDI的值在t=10 s～t=12 s這一時間段時增時減，出現(xiàn)了一定的振蕩。對于自由響應，還有另外一個因素導致了TVDI在t=10 s～t=12 s時間的變化。從圖4中可知，自由振動下位移響應的幅值隨時間逐漸降低至噪聲水平甚至接近于零，這必然導致信號末端的低信噪比。因此，識別的瞬時頻率和模態(tài)振型參與系數(shù)比值的精確性和有效性將在一定程度上受到影響，而計算得到的TVDI也將呈現(xiàn)出上述的振蕩特性。但是，除了在振動的開始端和結束段，新提出的損傷指標能夠有效地反映結構的時變損傷。

在圖6(b)中，無論是否添加白噪聲，TVDI在大約t=6.8 s～t=8.5 s這一時段均有一個突然的降低。究其原因，主要是瞬時頻率本身就是一個關于時間的振蕩函數(shù)，而小波參數(shù)的選擇加強了這種振蕩趨勢。根據(jù)同步擠壓小波的定義，提取的瞬時頻率在某一個時間區(qū)間為恒定值，但是當它從一個時間區(qū)間進入另外一個時間區(qū)間時，其值會有一個突然的變化，這也能夠解釋圖6(c)在5 s～6 s時間段存在的一個突然增加。但是，圖6(b)和6(c)TVDI中的兩個突然變化相對t=2 s時的突變均比較小，因而基本上不影響簡支梁的時變損傷識別結果。

(a) DS1

(b) DS2

(c) DS3

(d) DS4

由于瞬時頻率和模態(tài)振型參與系數(shù)比值的引入， TVDI指標成為一個時變指標，可以用于結構的時變損傷識別，然而小損傷工況下該指標的有效性如何尚未可知。為研究TVDI指標在小損傷工況中的有效性， 仍以上述的簡支梁模型為例，考慮了剛度降低10%情況下的四個損傷工況，如表2所示。

表2 四個單點時變小損傷工況

由于已知簡支梁結構的損傷位置為節(jié)點6，將節(jié)點11定義為參考點，對節(jié)點6的位移響應進行同步擠壓小波變換并提取其瞬時頻率，然后根據(jù)式(12)～(15)計算相應的第一階模態(tài)振型參與系數(shù)比值和損傷指標。四個損傷工況(DS5-DS8)下的時變損傷指標TVDI如圖7所示。

從圖7可知，無論是剛度突變還是剛度線性變化，提出的損傷指標TVDI均能夠有效地識別小損傷工況下結構損傷的發(fā)生時間，并且能夠準確反映結構的損傷演化趨勢。與圖6相比，圖7中的TVDI值相對較小，這說明提出的時變損傷指標TVDI能夠表征結構的損傷程度。當TVDI值較小時，剛度降低幅度較小，結構相對完好。反之，當TVDI取值較大時，結構的損傷程度較大。

5.2多點損傷識別

為了驗證提出的TVDI損傷指標能否有效地識別連續(xù)分布質量系統(tǒng)多個損傷位置的損傷演化過程，對含有兩個損傷位置的上述簡支梁進行了損傷識別研究。設定單元5和6的剛度在t=2 s～t=6 s時間段線

(a) DS5

(b) DS6

(c) DS7

(d) DS8

性降低40%，單元15和16在t=9 s時剛度突然降低40%。采用1940 El Centro地震波作為外加激勵，通過Newmark積分求解簡支梁結構所有21個節(jié)點的位移響應，時間間隔為0.02 s。為考慮噪聲的影響，對求得的響應信號添加了5%、10%和15%水平的高斯白噪聲作為對比。

采用復Morlet小波對節(jié)點2至節(jié)點20的位移響應進行同步擠壓小波變換，并求解各節(jié)點歸一化后的小波總能量變化ΔEx，如圖8所示。在圖8中，節(jié)點6和16處的小波總能量變化ΔEx比相鄰節(jié)點的相應值大，且為正值，因此這兩兩個節(jié)點應為損傷點，這與簡支梁的實際損傷情況是十分吻合的。因此，小波總能量指標能夠準確識別多點時變損傷結構的損傷位置。

圖8 多點損傷的簡支梁損傷位置識別結果

Fig.8 Damage location identification results of simple supported beam with two damage locations

對損傷節(jié)點6和16的位移響應進行同步擠壓小波變換可以有效提取其瞬時頻率。與單點時變損傷類似，將跨中節(jié)點11設置稱為參考點，從節(jié)點6和11的位移響應中重構的IMF分量可以用來計算節(jié)點6和11間的第一階模態(tài)振型參與系數(shù)比值。同理，采用從節(jié)點16和11的位移響應中重構的IMF分量來計算節(jié)點16和11間的第一階模態(tài)振型參與系數(shù)比值。而完好狀態(tài)下瞬時頻率和模態(tài)振型參與系數(shù)的提取過程與損傷工況下的提取過程類似。至此，可以根據(jù)式(15)分別求解節(jié)點6和節(jié)點16處的時變損傷指標TVDI，其變化情況如圖9所示。TVDI的變化表征了結構剛度的變化情況。從圖9中可知，單元5和6的剛度在t=2 s～t=6 s時間段的線性變化和單元15和16的剛度在t=9 s時的突然降低基本上都在圖9(a)和9(b)中分別得到了如實的反映。TVDI在損傷發(fā)生之前的時間段(前2 s)并不總是為零的現(xiàn)象同樣存在于圖9(a)和9(b)中，其主要原因是同步擠壓小波變換的端點效應。高斯白噪聲雖然對TVDI的取值造成了一定的干擾，但是TVDI仍然能夠準確反映時變結構剛度變化的趨勢。因此，采用新提出的時變損傷指標TVDI來追蹤含有兩個乃至多個損傷位置的簡支梁的損傷演化過程是完全可行的。

(a) 節(jié)點6

(b) 節(jié)點16

Fig.9 Damage identification results of the simply supported beam with two damage locations

與單點損傷識別類似，對多點小損傷工況下TVDI指標的有效性進行研究。設定上述簡支梁上的兩個位置出現(xiàn)小損傷，即單元5和6的剛度在t=2 s～t=6 s時間段線性降低10%，單元15和16在t=9 s時剛度突然降低10%。外加激勵為1940 El Centro地震波，采用Newmark積分求解簡支梁節(jié)點位移響應，時間間隔為0.02 s。為考慮噪聲的影響，對求得的節(jié)點位移響應信號添加5%、10%、15%水平的高斯白噪聲作為對比。

根據(jù)式(12)～(15)求得的TVDI損傷指標如圖10所示。由圖10可知，即使是在小損傷情況下，新提出的TVDI指標仍然能夠準確反映時變結構剛度突變或線性變化的趨勢。因此，采用時變損傷指標TVDI追蹤兩個或多個位置出現(xiàn)小損傷的簡支梁的損傷演化過程是可行的。

(a) 節(jié)點6

(b) 節(jié)點16

Fig.10 Damage identification results of the simply supported beam with two minute damage locations

6 結 論

土木工程結構本質上是時變和非線性結構系統(tǒng)，其損傷是一個由輕微損傷到嚴重損傷的漸變過程。本文在同步擠壓小波變換的基礎上，提出歸一化的小波總能量和TVDI指標對時變結構的損傷進行識別研究，并通過一個簡支梁損傷識別數(shù)值算例進行了驗證。研究結果表明：

(1) 歸一化后的小波總能量指標的變化值能夠準確識別單點和多點時變損傷簡支梁結構的損傷位置。

(2) 新提出的TVDI指標能夠有效識別剛度突變和線性變化時單點損傷簡支梁結構的時變損傷，并追蹤其損傷演化趨勢。

(3) TVDI不但能夠準確地識別簡支梁結構的單點時變損傷，而且能夠有效識別地震作用下簡支梁的多點時變損傷。

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Damagedetectionfortime-varyingstruturesbasedonthesynchrosqueezingwavelettransform

LIUJingliang1,RENWeixin2,HUANGWenjin1,HUANGZhiwei1,XUXutang1

(1. School of Transportation and Civil Engineering, Fujian Agriculture and Forestry University, Fuzhou 350002, China； 2. School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

A new damage detection method for time-varying structures based on the synchrosqueezing wavelet transform was proposed. The wavelet total energy index was employed to detect damage locations, and then the synchrosqueezing wavelet transform was performed on the response signals at the structural damage locations. As a result, the instantaneous frequencies were extracted and individual component signals were reconstructed. A new time-varying damage index(TVDI) was defined based on the extracted instantaneous frequencies and modal participation factor ratio calculated from the reconstructed individual components. A simply supported beam structure with abrupt and linear time-varying damage was simulated numerically to verify the effectiveness of the presented method. The results demonstrate that the defined time-varying damage index can effectively detect damage locations and track structural time-varying damages.

synchrosqueezing wavelet transform; instantaneous frequency; modal participation factor ratio; time-varying damage detection; wavelet total energy

TN911.6；TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.002

國家自然科學基金青年項目(51608122)；福建省青年科技人才創(chuàng)新項目(2016J05111)

2016-10-09 修改稿收到日期：2016-12-29

劉景良，男，博士，講師，1983年生