小議創新題的“三新”

■湖北省巴東縣第三高級中學 廖慶偉

小議創新題的“三新”

■湖北省巴東縣第三高級中學 廖慶偉

編者的話:“創新題追根溯源”欄目里的例、習題都非常新穎,有的是原創題,有的是改編題,每一道題都非常注重多解多變。當然,在注重數學閱讀的高考大背景下,同學們還要把握核心考點,擴大知識視野,用扎實的基本功應對數學試題的萬千變化。

數學中的創新題型的特點是:通過給出一個新概念,或約定一種新運算,或給出幾個新模型來創設全新的問題情景,要求考生在閱讀理解的基礎上,依據題目提供的信息,聯系所學的知識和方法,實現信息的遷移,達到靈活解題的目的。

一、新定義

首先分析新定義的特點,把新定義所敘述的問題的本質弄清楚,并能夠應用到具體的解題過程之中,這是破解新定義型集合問題的關鍵所在。

例1 設S,T是R的兩個非空子集,如果存在一個從S到T的函數y=f(x)滿足:①T={f(x)|x∈S};②對任意x1,x2∈S,當x1＜x2時,恒有f(x1)＜f(x2),那么稱這兩個集合“保序同構”。以下集合對不是“保序同構”的是( )。

A.A=N*,B=N

B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0＜x≤1 0}

C.A={x|0＜x＜1},B=R

D.A=Z,B=Q

解析:對于選項A,可構造函數f(x)=x-1,x∈N*,驗證成立;對于選項B,可構造函數驗證成立;對于選項C,可構造函數f(x)=,驗證成立;選項D是錯誤的。

點評:本題以集合為媒介,通過新定義考查集合間的關系,考查同學們的理解能力,學習新知識、運用新知識的能力。

例2 設f(x)與g(x)是定義在同一區間[a,b]上的兩個函數,若函數y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有兩個不同的零點,則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“關聯函數”,區間[a,b]稱為“關聯區間”。若f(x)=x2-3x+4與g(x)=2x+m在[0,3]上是“關聯函數”,則m的取值范圍為____。

解析:由題意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有兩個不同的零點。在同一直角坐標系下作出函數y=m與y=x2-5x+4(x∈[0,3])的圖像,如圖1所示,結合圖像可知,當x∈[2,3]時,y=x2-5x+數y=m與y=x2-5x+4(x∈[0,3])的圖像有兩個交點。

圖1

點評:本題通過新定義的關聯函數,考查二次函數的圖像性質、函數的零點。考查學習新知識、運用新知識求解問題的能力。

例3 給出定義:若函數f(x)在D上可導,即f'(x)存在,且導函數f'(x)在D上也可導,則稱f(x)在D上存在二階導函數,記f″(x)=(f'(x))'。若f″(x)＜0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凸函數。以下四個函數在上為凸函數的是____(把你認為正確的序號都填上)。

①f(x)=s i nx+c o sx;

②f(x)=l nx-2x;

③f(x)=-x3+2x-1;

④f(x)=xex。

解析:①中,f'(x)=c o sx-s i nx,f″(x)=-s i nx-c o sx=-2 ·上恒成立;②中,在區間上恒成立;③中,f'(x)=-3x2+2,f″(x)=-6x＜0在區間上恒成立。故①②③為凸函數。④中,f'(x)=ex+xex,f″(x)=2 ex+xex=ex(x+2)＞0在區間上恒成立,故④不是凸函數。故四個函數在上為凸函數的是①②③。

點評:本題通過新定義的凸函數,考查閱讀理解能力以及用導數知識求解問題的能力。

二、新運算

通過題目引入的新符號,定義運算法則,把問題轉化為已經學過的知識,再求解,這個新的運算法則不能用于其他問題的求解。

例4 對于任意兩個正整數m,n,定義運算(用⊕表示運算符號):當m,n都是正偶數或都是正奇數時,m⊕n=m+n;當m,n中一個為正偶數,另一個為正奇數時,m⊕n=m×n。例如4⊕6=4+6=1 0,3⊕7=3+7=1 0,3⊕4=3×4=1 2。在上述定義中,集合M={(a,b)|a⊕b=1 2,a,b∈N*}的元素有______個。

解析:m,n同奇同偶時有1 1組:(1,1 1),(2,1 0),…,(1 1,1);m,n一奇一偶時有4組:(1,1 2),(1 2,1),(3,4),(4,3),所以集合M的元素共有1 5個。

點評:集合M的元素個數要根據定義的運算法則,分別求m,n同奇同偶或一奇一偶時的元素個數,考查分類討論思想。

例5 定義新運算⊕:當a≥b時,a⊕b=a;當a＜b時,a⊕b=b2,則函數f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( )。

A.-1 B.1 C.6 D.1 2

點評:本題通過定義新運算⊕:當a≥b時,a⊕b=a;當a＜b時,a⊕b=b2,求函數f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x)的最大值,考查分段函數及函數的單調性。

三、新背景

通過一個新的背景建立恰當的數學模型,提煉數學規律。

例6 如圖2所示的V e n n圖中,A,B是非空集合,定義集合A#B為陰影部分表示的集合。若=3x,x＞0},則A#B為( )。

圖2

A.{x|0＜x＜2}

B.{x|1＜x≤2}

C.{x|0≤x≤1或x≥2}

D.{x|0≤x≤1或x＞2}

解析:因為A={x|0≤x≤2},B={y|y＞1},A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1＜x≤2},所以A#B=?A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1或x＞2},故選D。

點評:集合的交集、并集、補集運算可以借助韋恩圖來表示運算對象與運算結果,這種表示方法稱為集合基本運算的V e n n圖法。

例7 四位好朋友在一次聚會上,他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯,如圖3所示。盛滿酒后他們約定:先各自飲杯中酒的一半。設剩余酒的高度從左到右依次為h1,h2,h3,h4,則它們的大小關系正確的是( )。

A.h2＞h1＞h3＞h4B.h1＞h2＞h3＞h4

C.h3＞h2＞h4＞h1D.h2＞h4＞h1＞h3解析:觀察圖形可知,體積減少一半后,下部越細剩余酒的高度越高,最高為h2,最低為h4,應有h2＞h1＞h3＞h4。故選A。

圖3

點評:酒杯在我們日常生活中隨處可見,2 0 0 7年江西高考題就以酒杯為背景考查分析探究能力。

(責任編輯 王福華)