關(guān)于高斯定理和環(huán)路定理的一些探討

劉斌

【摘要】針對電磁學(xué)學(xué)習比較抽象的特點，以靜電場為例回顧了靜電場及其幾何描述，對流速場的高斯定理和環(huán)路定理的物理思想做了較細致的解釋，將其應(yīng)用到電場和磁場的研究，從而使學(xué)生可以在該部分的學(xué)習中能宏觀的把握這個貫穿始終的主線。

【關(guān)鍵詞】電場強度 電通量 高斯定理 環(huán)路定理

【中圖分類號】O441 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）43-0157-02

電磁學(xué)是大學(xué)物理中很重要的一部分內(nèi)容，法拉第認為研究電力線比研究產(chǎn)生電力線的電荷更重要，揭示了大學(xué)物理中電磁學(xué)的研究對象：電場和磁場。但是電場和磁場是很抽象的物理概念，它們本身是看不見的客觀存在，而在開始電磁學(xué)的教學(xué)后就很迅速的引入高斯定理和環(huán)路定理，由于沒有清晰的物理直觀，很多學(xué)生一開始就比較困惑，以至于學(xué)完電磁學(xué)后，發(fā)現(xiàn)不管是靜電場還是恒磁場或是變化的電磁場，最后都是在研究高斯定理和環(huán)路定理，感覺到它們是真的重要，但是為什么重要的物理內(nèi)涵不太清晰。在此我們作一點梳理。

一、靜電場及電場線

電相互作用是人們繼引力作用之后發(fā)現(xiàn)的新的非接觸力，法拉第堅持近距作用的思想，提出了“場”的思想，他認為兩個點電荷間的作用是第一個點電荷首先產(chǎn)生了電場，電場傳到第二個點電荷處再對其進行力的作用，所以電場是在一定空間連續(xù)分布的矢量場。電場不太直觀，法拉第又引入了“力線”這個幾何的描述手段，使得人們對場的理解有了很強的物理直觀。場強的大小對應(yīng)于電力線的疏密程度。電力線的疏密程度可用n來表達，定義n=dN/dS：穿過垂直于場強方向的面元dS的電場線條數(shù)dN與該面元的比值。E與n成正比[1]即E=kn，有的物理著作[2]甚至直接寫為E=n（場強等于電場線數(shù)密度），這種寫法雖然不太嚴謹（直接相等顯然不成立[3]），但好處是更加突出了物理直觀。

二、高斯定理、環(huán)路定理的來源

電場是在一定空間連續(xù)分布的矢量場，怎么研究矢量場呢？流體力學(xué)給了答案[4]。設(shè)想有一條河流，河水不可壓縮且均勻穩(wěn)定的流淌，河中的每一個質(zhì)元都有一個確定的流速，所有質(zhì)元流速構(gòu)成一個流速場，也是矢量場。對于這個流速場的幾何描述是流線，與電場強度類似，某點的流速的大小可以認為是該點的流線線密度的大小。怎么認識不同流速場呢？我們直觀的認識到流體具有兩個基本特征：哪里能冒出水（泉眼），我們稱之為源。河水有沒有旋渦，我們稱之為是否有旋，旋渦對應(yīng)的流線就是個閉合曲線。源的數(shù)學(xué)描述方法為通量，用？準表示，對于流體來說，通量指單位時間內(nèi)通過某一面S的體積即流量。假如是均勻的流速場，速度為v，面S為一平面且與v垂直如圖1，那么流過該面的通量為vs，如果S面的法向方向n與流速移有一夾角？茲，如圖2所示，通量？準=■·■=vscos？茲， 當通量為正時，稱之為流進，為負時稱為流出。如果S面是曲面，V為不均勻的流速場，取曲面上任意一小曲面元dS，可視為平面，該處的v可視為均勻，該面元的通量為d？準=■·d■，那么總的流量為對整個曲面做一個積分：？準=■■·d■。

特別地，當曲面為閉合面時，通量如果不等于零，說明在該面內(nèi)一定存在“源”，將曲面是越收縮，“源”的位置就越精確。所以閉合曲面的通量等于多少就是高斯定理。

旋的數(shù)學(xué)表達叫環(huán)量，為矢量對任意閉合曲線的線積分。設(shè)想流體中某處地方有一個旋渦，那么該處的流線應(yīng)該是閉合曲線，取一個與流線相同的一閉合曲線L，■■·■結(jié)果一定不等于零，值越大說明旋渦的程度越大。如果沒有旋渦，■■·■一定等于零。■■·■等于多少這就是環(huán)路定理。

圖1 速度與平面垂直 圖2 速度與平面成一定夾角

總之我們看到高斯定理和環(huán)路定理抓住了流速場的本質(zhì)，研究它們就可以弄清楚流體是否有源和是否有旋，可以區(qū)別不同的流速場并加以比較研究。對于一般的矢量場，通量、環(huán)路沒有確切的物理含義，但只要對應(yīng)到具體的場，通量和環(huán)量就有了自己的意義。

三、靜電場的高斯定理、環(huán)路定律

那么，靜電場作為矢量場，就要研究它的高斯定理和環(huán)路定理。對應(yīng)的物理含義是什么呢？電場是由正負電荷產(chǎn)生的，所以電荷就是靜電場的源，靜電場一定是有源場。空間某點的場強E可以對應(yīng)為通過垂直于場強方向單位面積的電場線條數(shù)，那么通過某個曲面S的電通量的物理圖景就是通過S 的電場線的總條數(shù)，數(shù)學(xué)表達為？準e=■■·d■。靜電場的高斯定理就是關(guān)于通過一個閉合曲面的電場線條數(shù)問題，它告訴我們總的條數(shù)等于閉合面內(nèi)部電荷的代數(shù)和除以真空中的介電常量，數(shù)學(xué)表達為■■·d■=■。另一方面電場線首尾不相連，即沒有像河流中打轉(zhuǎn)的旋渦那樣，是無旋場，任取一個閉合曲線L的環(huán)量定理始終等于零，數(shù)學(xué)表達為■■·■=0。

同樣的，磁場作為矢量場，也一定是研究它的高斯定理和環(huán)路定理，當電場和磁場隨時間變化時依然是矢量場，也要研究它們的源與旋即高斯定理和環(huán)路定理。與靜電場類似，某點的磁感應(yīng)強度的大小也可以理解為是該點通過垂直于磁場方向單位面積的磁感應(yīng)線條數(shù)。由于磁感應(yīng)是首尾相連的線， ■■·d■=0，■■·■≠0，具體等于多少則是課程學(xué)習的內(nèi)容。可以想到當電磁場在變化的時候，作為矢量場仍然是研究高斯定理和環(huán)路定理。

電磁場的研究方法不同于力學(xué)和熱學(xué)，根本原因在于該研究對象不同于質(zhì)點或質(zhì)點系，它們是矢量場，決定了必須應(yīng)用新的物理思想和新的數(shù)學(xué)描繪描述手段。研究場的思想恰恰就是是否有源和是否有旋，描述手段正是高斯定理和環(huán)路定理。這樣弄清了這些緣由，再學(xué)電磁學(xué)時就可以做到宏觀的把握了。

參考文獻：

[1]陸果.基礎(chǔ)物理學(xué)教程（第二版） [M].北京：高等教育出版，2006.

[2]王紀龍，周希堅.大學(xué)物理（第四版） [M].北京科學(xué)出版社，2015.

[3]籍延坤.《高斯定理的數(shù)學(xué)證明》[J].大連鐵道學(xué)院學(xué)報， 2004.9，25（3）.

[4]趙凱華，陳熙謀. 電磁學(xué)（第三版）[M] .北京：高等教育出版社，2011.endprint