關于遞推數列求通項式公式的方法與技巧

李云昭

【摘要】遞推數列被廣泛關注，是高考與競賽的熱點，由遞推關系求數列通項公式時，一般要對遞推關系進行變形轉化。

【關鍵詞】變形 轉化 通項公式

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）43-0136-02

遞推數列既是高考和競賽的熱點，數學愛好者也十分感興趣，由遞推關系求通項時，一般需要對遞推關系式進行變形，然后利用轉化和化歸的思想解決問題。根據遞推公式的結構，選取與之對應的方法是解決問題的關鍵。本文就常見幾類結構進行如下總結：

類型1：形如an+1-an=f（n）的遞推數列，通常采用疊加法

例1：已知數列{an}滿足a1=-1，an+1=an+■（n∈N+），求通項公式an。

解：由遞推關系有：an-an-1=■

an-1-an-2=■

……

a2-a1=■

∴an-a1=■+■+…+■

=1-■+■-■+■-■+…+■-■

∴an-a1=1-■

故：an=-■

類型2：形如■=f（n）的遞推數列，通常采用疊乘法。

例2：已知數列{an}中，a1=1，且（n+1）an+1-nan=0，求通項公式an。

解：遞推關系變形為：■=■

則：■=■……（1）

■=■……（2）

……

■=■……（n-1）

疊乘以上各式有：■=■×■×■…×■=■

∴an=■

類型3：含有Sn和an的遞推數列，通常采用“進一步”或“后一步”的辦法解決問題。

例3：數列{an}的前幾項和記為Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1，且n∈N），求an的通項公式。

解：由 an+1=2Sn+1

∴an=2Sn-1+1（n≥2且n∈N）

∴an+1-an=3（Sn-Sn-1）

∴an+1-an=2an 即an+1=3an

∴{an}是首項為1，公比為3的等比數列

∴an=3n-1

例4：已知正項數列{an}的前n項和Sn=■（an+1）2，求通項公式an。

解：遞推關系變形為4Sn=a■■+2a■+1

則：4Sn-1=a■■+2a■+1（n≥2）

∴4（Sn-Sn-1）=a■■-a■■+2（a■-an-1）

∴4a■=（a■■-a■■）+2a■-2an-1

∴a■■-a■■+2（a■+a■）=0

又 ∵a■+a■≠0

∴a■-a■=2

故：{a■}為等差數列。（以下略）

類型4：形如a■=pan+q（p、q為常數）的遞推數列可以轉化為：a■-t=p（a■-t）型遞推公式，通過求{a■-t}的通項公式，而求{a■}通項公式。

例5：已知數列{a■}中，a1=1，a■=2an+3，求通項公式{a■}

解：遞推關系可以轉化為a■-t=2（a■-t）

即：a■=2a■-t

解得：t=-3

故：數列{a■+3}是以4為首項，2為公比的等比數列。

則：a■+3=2n

∴a■=2n-3

類型5：形如a■=pan+qn的遞推數列可以變形為■=■·■+■轉化為第4種類型處理。

例6：已知數列{a■}中，a■=2an+2n，且a1=1，求通項式。

解：遞推關系可以變為■=■+■

則■是首項為■，公差為■的等差數列

則：■=■+（n-1）■=■n

故：a■=n·2n-1

練習：已知數列{a■}中，a1=1，an+1=3an+2n，求通項公式{a■}

類型6：形如an+1=■的遞推數列，通常采用倒數法處理

例7：已知數列{a■}中，a1=2，an=■（n≥2且n∈N），求通項公式an

解：由已知有■=■=1+■

∴■為等差數列，以下略。

類型7：含有SnSn-1或anan-1的遞推數列，通常用兩邊同時除以SnSn-1（或anan-1）的辦法處理。

例8：已知在數列{a■}中，a1=3，且2an=SnSn-1（n≥2），求數列的通項公式{a■}

解：由已知有2（Sn-Sn-1）=SnSn-1（n≥2）

則：2■-■=1

∴■-■=-■

∴■為等差數，首項為■，公差-■

∴■=■+（n-1）×-■=-■n+■

故：S■=-■

故：a■=3（n=1）■（n≥2）endprint