冪級數的和函數及其收斂性的探討

蔡瑾

【摘要】本文通過討論冪級數在求和過程中所得到的函數與冪級數的和函數之間的關系，給出求冪級數和函數的方法。

【關鍵詞】冪級數 和函數 收斂半徑 收斂區間 收斂域

【Abstract】We discuss the relation between power series and sum function in the paper and give a method to find the sum function.

【Key words】power series； sum function；radius of convergence；convergence domain

【中圖分類號】O151.21 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）43-0127-02

引言

冪級數求和函數及其收斂性的討論，無疑在教學上及其應用上都是值得重視的，它是函數項級數中最簡單、最便于討論、應用上最廣泛的一類級數。但往往把冪級數在求和過程中所得到的函數與冪級數的和函數混為一談，且在收斂區間端點處的和還得應用數項級數求和。為此，本文討論冪級數在求和過程中所得的函數與冪級數的和函數之間的關系，從而具體地給出求冪級數的和函數的方法。

1.定理及證明

定理1.1 如果冪級數■a■x■的收斂區間為（-R，R），且■a■R■收斂，則冪級數■a■x■在[0，R]上一致收斂。（證明略詳

見[1]）

定理1.2 如果冪級數■a■x■在收斂區間（-R，R）內收斂于F（x），且■a■R■收斂，則■a■R■=■F（x）

證明：由于■a■x■的收斂區間為（-R，R）且■a■R■收斂，則■a■x■在[0，R]上一致收斂。所以對任意的？著>0，存在N，當n>N時，對任意x∈[0，R]，都有■a■x■<ε，■a■R■<ε

令M=■a■·n·R■而■a■R■-■a■x■

=x-R·a■+a■（R+x）+a■（R■+Rx+x■）+…+aN（R■+xR■+…+x■

≤x-R·（■a■·n·R■）=M·x-R<ε

只要取δ=■，當-δ

■a■x■-■a■R■=■a■x■-■a■R■+■a■x■-■a■R■

≤■a■x■-■a■R■+■a■x■+■a■R■<ε+ε+ε=3ε

所以 ■■a■x■=■a■R■

而■a■x■在（-R，R）內收斂于F（x），即■a■R■=■F（x）。

例1 求F（x）=■■在收斂區間的和函數，并求■■的值。

解 冪級數F（x）=■■的收斂半徑R=1。

對x·F（x）逐項求導兩次，得

[x·F（x）]"=[■■]'=■x■=■

對■由0到x逐項積分兩次，得

x·F（x）=■-ln（1-x）dx=（1-x）[ln（1-x）-1]

所以F（x）=■[ln（1-x）-1]，由于■■收斂，根據定理2，可知■■=■■[ln（1-x）-1]=1

定理1.3 如果冪級數■a■x■收斂區間為（-R，R），且■a■（-R）■收斂，則冪級數■a■x■在[-R，0]上一致收斂。

定理1.4 如果冪級數■a■x■在收斂區間（-R，R）內收斂于F（x），且■a■（-R）■收斂，則■a■（-R）■=■F（x）。

例2 求F（x）=■■在收斂區間的和函數，并求■■的值。

解 冪級數F（x）=■■的收斂半徑R=1，在收斂區間內逐項微分兩次，得F"（x）=■x2n-2=■

再將F"（x）由0到x逐項積分兩次，得

F'（x）=■■dx=■[ln（1+x）-■ln（1-x）]

F（x）=■[■ln（1+x）-■ln（1-x）]dx=■xln■+■ln（1-x2）

由于■■收斂，所以

■■=■[■xln■+■ln（1-x2）]=ln2

定理1.5 如果冪級數■a■x■在收斂區間（-R，0）∪（0，R）上收斂于F（x），且F（x）在x=0點無定義，則■F（x）=a0

事實上，■a■x■的收斂半徑是R，則它在（-R，R）上連續，便有：

■F（x）=■■a■x■=■a■x■|x=0=a0

例3 求冪級數■■在收斂區間內的和函數F（x），

并驗證■F（x）=■■|x=0=■

解：設F（x）=■■，0

對x2F（x）=■■兩邊逐項微分，得

[x2F（x）]'=■xn+1=■

對上式兩邊積分，得

x2F（x）=■■dx=-x-ln（1-x）

所以F（x）=-■

而■■的收斂區間為（-1，1），且■■發散，■■收斂，所以

■■=■-■=1-ln2

■F（x）=■-■=■=■■|x=0

因此冪級數■■在收斂域[-1，1）上的和函數為

S（x）=1-ln2 x=-1-■ 0

2.求冪級數的和函數的方法

若冪級數的收斂半徑為R，設F（x）為冪級數■a■x■在求和過程中得到的函數，其定義域為D'，S（x）為冪級數的和函數，其定義域為D，顯然D'？哿D？哿[-R，R]。

定理2.1 若冪級數■a■x■在R處收斂，且F（x）在R處有定義，則F（x）在R處左連續。

定理2.2若冪級數 ■a■x■在-R處收斂，且F（x）在-R處有定義，則F（x）在-R右連續。

這兩定理可由定理1.2，定理1.4證得。

由此可見，如果冪級數■a■x■在求和過程中所得到的函數在收斂域內的端點及零點有定義，則冪級數在求和過程中所得到的函數與冪級數的和函數相等，如果冪級數在收斂域內的端點或零點無定義，則冪級數的和函數是冪級數在求和過程中所得到的函數的連續延拓函數。

在求冪級數的和函數時，可按照以下幾步進行：

1 先求出冪級數的收斂半徑R，從而確定其收斂域D

2對冪級數求和，確定F（x），x∈D'

3求F（x）在D的連續延拓函數S（x），這里的S（x）為冪級數■a■x■在收斂域D上的和函數

3.結束語

本文給出了求冪級數的和函數的方法，意在直接利用求和過程中所得到的函數，對于收斂區間端點的和，不必再轉化為數項級數，我們還可以進一步去研究，如何把數項級數的求和轉化為冪級數求和函數的問題。

參考文獻：

[1]紀樂剛.《數學分析》上海，華東師大出版社.1994.5。

[2]邢航、劉春杰.微積分在級數求和上的應用，阜新高專學報，1994，11（2）

[3]同濟大學數學系.《高等數學》北京，高等教育出版社.2006.7。