一道平面幾何最值問題研究

朱記松 王子保

(1.安徽省太湖縣晉熙中學，安徽 安慶 246400；2.安徽省天長市實驗中學，安徽 滁州 239300)

一道平面幾何最值問題研究

朱記松1王子保2

(1.安徽省太湖縣晉熙中學，安徽 安慶 246400；2.安徽省天長市實驗中學，安徽 滁州 239300)

本文通過對一道初等幾何極值問題解題過程的質疑，提出了與它相關的一般性問題，通過數學建模、計算軟件求解，發現原結果正確純屬偶然.

最值問題；數學建模；直覺思維；一般性

一、問題

問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是邊BC上一動點，且D不與B、C重合，∠ADM=∠ADN=60°，分別交兩邊AB,AC于M，N點.

試求：DM+DN的最小值.(來自：數理化解題研究群)

一位群友提供如下解法：

解作點M關于BC的對稱點M′，連DM′，如圖2示.

則DM=DM′,∠MDB=∠M′DB.故DM+DN=DM′+DN.

當且僅當D,M′,N′三點共線時DM+DN最小.

∵∠MDA=∠NDA=60°,∠MDB=∠M′DB,

∴∠MDB+∠CDN=∠M′DB+∠CDN=2∠CDN=60°,

∴∠BDM=∠NDC=30°.∴∠ADB=90°.即AD⊥BC時DM+DN最小.

經分析不難發現，上述問題解題思路是依靠數學直覺思維建立在“將軍飲馬”模型的基礎上. 由于“將軍飲馬”使用人條件就模型的折線兩端點的位置已經確定，而本題中的點M、N的位置均未確定，它們隨著點D位置的改變而改變，因此筆者認為通過直覺思維獲得解題思路不可靠.

二、一般性問題的提出

為不失一般性，我們提出如下問題：

如圖3，在△ABC，AB=AC，AO⊥BC于點O，BC=2，AO=h,D是邊BC上一動點，且D不與B、C重合，∠ADM=∠ADN=60°,分別交兩邊AB,AC于M，N點.試求DM+DN的最小值.(用h表示)

1.建立數學模型

不妨設OD=x,∠BAO=α,∠OAD=β.

∵AB=AC,∴∠BAO=∠CAO=α,BO=CO=1.

∴∠BMD=60°+α+β,∠DNC=60°+α-β,BD=1+x,CD=1-x.

記f(x)=DM+DN.

2.探索數學模型的解

由解析式f(x)=

探求f(x) 在不同h參數值下的最小值.由于這是一個非常規的初等函數，難以用初等方法求出其最值，因此筆者采用數學軟件的方法探索模型的解.過程如下：

不難發現，隨著h增大，f(0)由f(x)在取值范圍x∈(-1,1)內的最小值漸變為最大值，而邊界兩點值從大變為最小值.

由函數曲面圖可知，關鍵h值滿足：f(±1)=f(0) .

當h≤hc時，f(0)是f(x)在取值范圍x∈(-1,1)內的最小值.

但是注意，當h=hc時，f(±1)=f(0)是最小值，還有兩個最大值未求出，如圖4-2：

所以當h≥hc時，f(0)不會立即變為最大值，由于最大值不是我們考慮到主要問題，暫不敘述.

(3)數學模型的解

3.回到原問題

通過上述研究發現群友的思路是錯誤的，盡管他得到的結果正確，但純屬偶然.

[1]李漢龍，隋英，繆淑賢，韓婷.Mathematica基礎培訓教程[M].北京：國防工業出版社，2016:162.

[責任編輯：李克柏]

G632

A

1008-0333(2017)26-0023-02

2017-07-01

朱記松(1969.10-)，男，安徽安慶人，高級教師，本科學歷，從事數學教學與解題研究.