數學最值與優化問題教學例談

梁興為

（福清元洪高級中學，福建 福清 350300）

數學最值與優化問題教學例談

梁興為

（福清元洪高級中學，福建 福清 350300）

對近三年高考理科數學全國Ⅰ卷中與規劃有關的最值與優化問題、與三角有關的最值優化問題、與函數導數有關的最值和優化問題等問題進行分析，以便考生在最值與優化問題知識模塊中找到解決辦法，并提出相應的教學策略。

全國數學理科Ⅰ卷；最值與優化問題；教學策略

高考數學對最值與優化問題的考查歷久不衰，一直是熱點題型之一。從題型上看，選擇題、填空題、解答題中都常涉及，尤其是選擇和填空的把關題，更是經常出現；從知識模塊上看，線性規劃、函數導數、不等式、三角函數、數列、極坐標與參數方程、解析幾何、立體幾何，甚至統計概率中都有涉及。最值優化問題綜合性強，能很好地考查學生的數學思維能力。下面結合近三年高考理科數學全國Ⅰ卷的試題，以例題的形式，談談最值與優化問題的解決方法和教學策略。

一、與規劃有關的最值與優化問題

例1（2016全國Ⅰ卷第16題）某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料。生產一件產品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg,用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3個工時。生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元．該企業現有甲材料150kg,乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為_________元。

分析：本題應用背景，考線性規劃的最值與優化；需較強的分析化歸建模和運算求解能力。

解析：設生產產品A、B分別為x、y件,利潤之和為Z元,則

目標函數Z＝2100x+900y；

約束條件可化為：

作可行域如圖1：

圖1

聯立解方程組得M的坐標（60,100），將其代入目標函數的最大值216000元。

分析：本題直接考線性規劃的最值與優化。

解析：作可行域如圖2所示：

圖2

此時 z=3×(-1)-2×1=-5。

教學策略：在與規劃有關的最值與優化問題教學中，須結合實際問題，理清線性規劃的有關知識，把握解題的一般步驟：審清題意，畫出可行域，求與最值有關的交點坐標，將坐標代入目標函數中求出最值。在教授或復習時，應加強以下三方面訓練，避免出現軟肋：分析轉化問題列出目標函數和約束條件；截距型、斜率型和距離型三類最值；截距型規劃中含參問題。

二、與三角有關的的最值與優化問題

（1）若a=-1，求C與L的交點坐標；

（2）若C上的點到L的距離的最大值為 17，求a。

分析：本題為選考中極坐標與參數方程內容，第二問考最值與優化；需較強的分析化歸能力。

（2）直線L的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點 (3cosθ,sinθ)到L的距離為

解得a＝-16或a＝8.

例4（2015全國Ⅰ卷第16題）在平面四邊形ABCD中 ，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則 AB 的 取 值 范 圍是____。

分析：本題為解三角形和平面幾何的內容，求取值范圍實質上也是一種最值與優化問題，需要考生具備較強的化歸意識和運算能力。

解析：如圖3所示

延長BA，CD交于E，平移AD，當A與D重合與E點時，AB 最長，在△BCE 中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝30°，

平移AD，當D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝30°，由正

所以AB的取值范圍為（ 6-2，6+2）。

例5（2017全國Ⅰ卷第10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( )。

A．16 B．14 C．12 D．10

分析：本題為解析幾何的內容，考距離和最小；需很強的分析化歸能力.

教學策略：在與三角有關的最值與優化問題教學中，須結合具體問題和相應模塊知識，善于將問題化歸轉換成三角問題，再利用三角函數求最值。把握三角函數最值的一般步驟：利用正余弦定理和三角變換公式，化多個三角函數為同一個三角函數，再利用圖像和性質求最值，注意角范圍的討論。在教授或復習時，應加強以下兩方面訓練：各個知識模塊向三角函數問題轉化和化歸；用三角變換化多個三角函數為同一個三角函數。

三、與函數導數有關的最值與優化問題

例6（2016全國Ⅰ卷第15題）設等比數列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為_____。

分析：本題為數列的內容，既考等比數列的基本量和性質，又考指數對數的運算，還考最值優化；需較強的分析運算能力。

當n=3或4時，a1a2...an取得最大值26=64.

例7．（2017全國Ⅰ卷第16題）如圖4，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為 O。D、E、F為圓 O 上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為 。

圖4

分析：本題屬翻折問題，需要幾何計算和求函數最值，考生要具備較強的化歸建模和運算求解能力。

例8（2015全國Ⅰ卷第19題）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費x1和年銷售量y1（i=1,2，···，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖6及一些統計量的值。

圖6

（Ⅰ）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d x哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；

（Ⅲ）已知這種產品年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x.根據（Ⅱ）的結果回答下列問題：

（1）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

（2）年宣傳費x為何值時，年利率預報值最大？

分析：本題為統計概率的內容，期中第三問后半部分考到函數最值。

解析：（Ⅰ）略，答案為y＝c+d x；

（Ⅱ）略，答案為：y^=100.6+68 x；

（Ⅲ）（1）年銷售量576.6t，年利潤預報值約是66.32千元；

（2）由（ Ⅱ ）知 ，年 利 潤 Z的 預 報 值Z^=0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12，

即x＝46.24千元時，年利率的預報值最大。

教學策略：在與函數導數有關的最值與優化問題教學中，須把握好解題一般步驟：結合具體問題和相應模塊知識理解題意，將問題化歸轉化后建立函數模型，利用二次函數或三次函數或分段函數或復雜函數知識以及導數工具求解函數模型，最后回答及實際問題。在教授或復習時，應加強以下兩方面訓練：強化各個知識板塊和問題的轉換和化歸，建立函數模型；強化各類型函數的最值計算。

總之，最值與優化問題在生活生產中有著廣泛的應用基礎，在高考試卷中的各類題型和各個知識模塊中都常涉及。最值與優化問題能很好地考察學生的數學思維素養，是今后各類數學考試中熱點題型之一。

［1］李國艷，吳定業.立足學生選擇視角優化解法提升能力［J］.福建中學數學，2017（6)）.

［2］顧忠華. 例談高中數學中的最值問題［J］.中學數學，2017（3）.

［3］龔海濱，王茜.二次函數逆向最值問題的優化策略［J］.高中數學教與學，2014（17）.

（責任編輯：王欽敏）