基于可靠性的結構動態拓撲優化方法

唐東峰+游世輝

摘 要：實際工程結構設計往往在確定性范疇內進行，所得結構存在較大失效可能性.基于此，提出一種基于可靠性的連續體動態拓撲優化方法，將結構可靠性分析方法嵌套到連續體拓撲優化中.考慮了結構幾何尺寸和材料體積的不確定性，并用高斯分布來度量.將結構可靠度作為約束嵌套到連續體拓撲優化中，屬于二次嵌套優化問題，但計算效率低下，不適于工程應用.提出一種解耦策略將結構可靠性分析從連續體拓撲優化中解耦出來，使結構可靠性分析與動態拓撲優化為兩個獨立的優化循環，大大提高了計算效率.建立以結構基頻最大為優化目標，滿足一定體積約束和可靠度要求的優化問題，利用各向同性材料懲罰模型（SIMP）和移動漸進方法（MMA）求解該優化問題.所提方法可以得到滿足不同可靠度要求的一系列最優結構，并用標準算例驗證其有效性.

關鍵字：可靠性；不確定性；動態拓撲優化；解耦

中圖分類號：TM30 文獻標志碼：A

Reliability-based Structural Dynamic Topology Optimization Method

TANG Dongfeng1，2，YOU Shihui1

（1.College of Civil Engineering and Mechanics，Xiangtan University，Xiangtan 411105，China；

2. School of Information and Electrical Engineering，Hunan University of Science and Technology，Xiangtan 411201，China ）

Abstract：Actual engineering structures are often designed using deterministic parameters，which may lead to high failure probability. This paper proposed a reliability-based structural dynamic topology method，in which structural reliability analysis was incorporated into the topology optimization procedure. The geometry dimensions and material volume were considered as uncertain parameters，and it was assumed that they obey a Gaussian distribution. It is a two-nested optimization problem when the structural reliability analysis is considered as constraints into the topology optimization，which results in low efficiency and cannot be used in practice. To this end，a new decouple strategy was proposed to decouple the reliability analysis from the topology optimization procedure. In this case，structure reliability analysis and dynamic topology optimization become two independent optimization cycles，and the computational efficiency is improved enormously. The design problem was then constructed so as to maximize the first eigenfrequency and to meet the volume and reliability requirement. SIMP and MMA were combined to successfully solve the design problem. The proposed method can produce various topologies that satisfy different reliability requirement，and its validity is demonstrated by one benchmark example.

Key words：reliability； uncertainty； dynamic topology optimization； decouple

連續體拓撲優化方法旨在滿足一定約束條件下尋求材料最優分布，相對于尺寸優化[1]和形狀優化[2]，它有更多的設計自由度，同時也是更具挑戰性的研究領域.自從1988年Bendse和Kikuchi[3]提出基于均勻化法的結構拓撲優化理論以來，連續體拓撲優化方法[4-10]經過近30年的發展，已經成功應用到各種領域，如航天[11]、碰撞[12]、汽車[13]和橋梁[14]等.其中，動態連續體拓撲優化問題[15-17]更具有挑戰性，其難點在于優化過程中需要克服局部模態和頻率交換現象，研究相對較少.

盡管傳統連續拓撲優化方法可以得到性能優越的設計結果，但是，其未考慮結構參數的不確定性.不確定性是工程結構的固有屬性，在結構設計時不容忽略，否則設計出的產品會存在較大的失效風險，甚至可能造成災難性的后果[18-19].考慮結構不確定性的優化設計方法一般分為兩類：穩健性優化設計方法[20]和基于可靠性優化設計方法[21].前者為了降低不確定性變量對結構響應的敏感性，而后者使結構優化設計增加一個可靠度約束.基于可靠性的優化設計方法可以得到滿足設計人員一系列不同可靠度要求的結構.而基于可靠性的連續體拓撲優化方法的研究，由于其設計變量數量龐大，且功能函數往往為隱式，更具有挑戰性.Kharmanda等[22]首次將結構可靠性分析引入到連續體拓撲優化中，研究發現所提方法設計出的結構比傳統確定性方法所得結構更加可靠.在其研究基礎上，該領域越來越受到國內外學者的關注，出現大量研究成果[23-27].最近，Zhao等[28]提出一種高效的基于可靠性連續體拓撲優化方法，利用隨機響應面顯式表達結構失效功能函數.Liu等[29]結合一次二階矩法和描述函數拓撲優化方法探討了一種可以獲得光滑邊界且滿足一定可靠度要求的優化方法.Jalalpour和Tootkaboni[30]考慮材料的不確定性，提出了一種高效的基于可靠性的連續體拓撲優化方法，假設材料服從相關對數正態分布，并利用隨機攝動法近似得到結構響應，使結構功能函數近似顯式化.endprint

然而，上述研究均是靜力學方面的研究，動力學方面的研究甚少.動態拓撲優化問題研究本身就較靜力學拓撲優化繁瑣，將可靠性分析與動態拓撲優化相結合更加具有挑戰性.工程中存在大量承受動載荷的結構，這些結構較之靜力下的結構更容易失效，因此，考慮結構可靠性的動態連續體拓撲優化方法的研究具有重要理論意義和工程實際價值.

基于此，本文提出一種基于可靠性的動態連續體拓撲優化方法，嘗試解決自由振動結構拓撲優化時考慮結構可靠度的難題.實際工程制造誤差可能造成結構幾何尺寸和體積的不確定性，假設這些不確定性變量服從高斯分布，利用一次二階矩法計算結構的可靠度（可靠性指標），并作為約束參與到動態拓撲優化循環中.而結構可靠性分析也屬于一個優化過程，因此，整個優化過程屬于二次嵌套優化.考慮到連續體拓撲優化設計變量數量龐大，導致計算效率十分低下，無法實際應用，為突破該瓶頸，提出一種解耦策略，將二次嵌套優化循環解耦成兩個獨立的單獨優化循環，大大提高了計算效率.建立以結構第一階固有頻率最大為優化目標，以體積和可靠度指標為約束的連續拓撲優化問題，用各向同性材料懲罰模型懲罰連續設計變量，并利用移動漸進方法求解該優化問題.所提方法可以得到一系列滿足設計人員不同可靠度需求的拓撲結構，具有重要的工程意義.

1 動態拓撲優化方法

工程結構受到動態載荷時，設計人員往往希望結構固有頻率偏離驅動頻率，以防止共振發生.未考慮阻尼時，自由振動系統的微分方程為：

M+Ku=F=0（1）

式中：M為系統質量矩陣；K為系統剛度矩陣；u和分別為系統位移和加速度；F為系統所受外力，自由振動系統中其為一個零向量.

對式（1）進行拉普拉斯變換：

MU（s）s2+KU（s）=0（2）

令s=jω，可以得到：

[K-ω2iM]ui=0（3）

式中：ωi為系統第i階固有頻率；ui是響應的特征向量.

固有頻率可以寫成：

ω2i=kimi=uTiKuiuTiMui（4）

式中：ki和mi分別為模態剛度矩陣和模態質量矩陣.

在動力學拓撲優化研究中，比較常用的研究目標是使結構的第一階固有頻率最大，并受一定的體積約束，即：

to find：ρ1，…，ρe，…，ρN

maximizeρ：ω21=uT1Ku1uT1Mu1

subject to：[K-ω21M]u1=0，

：∑Ne=1veρe≤V0，

：0<ρmin≤ρe≤1，e=1，…，N.（5）

式中：ρe為單元密度；ρmin的設定是為了防止發生奇異解，一般取ρmin=0.001；N為單元個數；ve和V0分別為單元體積和設計允許的最終體積.

利用各向同性材料懲罰模型對連續密度進行懲罰，文中分別對單元剛度矩陣和單元質量矩陣進行懲罰，懲罰策略如下：

Ke=（ρe）p1K0（6）

Me=（ρe）p2M0（7）

式中：Ke和Me分別為單元剛度矩陣和單元質量矩陣；K0和M0分別為實體單元剛度矩陣和單元質量矩陣；ρ1和ρ2為值均大于1的懲罰系數，為了在優化過程中抑制中間密度的產生，傳統方法視ρ1和ρ2為相同的值，但是研究發現，這樣對中間密度的抑制并不理想.因此，本文采用一種新的懲罰策略，取ρ1和ρ2為不同的值，即：

當ρ≤ρe≤1，p1=3；

當ρmin≤ρe≤0.1，p1=0.01；

當0<ρmin≤ρe≤1，p2=1.

問題（5）是一個非凸優化問題，可用移動漸進方法（MMA）[31]進行高效求解.MMA將初始非凸優化問題近似為許多獨立的、小的凸優化子問題，并對之進行高效求解.利用MMA需要首先得到目標函數對設計變量的一階偏導數：

ω21ρe=uT1Kρeu1uT1Mu1-uT1Mρeu1uT1Ku1（uT1Mu1）2

=uT1Kρe-ω21Mρeu1uT1Mu1（8）

將材料懲罰策略代入式（8）中，得到：

ω21ρe=（ue1）[p（ρe）p1-1K0-ω21p2（ρe）p2-1M0]ue1uT1Mu1（9）

以式（9）為梯度信息，MMA可以快速且高效求解式（5）的動態拓撲優化問題.但是，不確定性是結構設計中無法避免的，例如，由于制造誤差造成的結構尺寸不確定性、材料自身的不確定性和結構使用過程中加載力的不確定性等.而上述動態拓撲優化問題并未考慮結構的不確定性，所設計出的結構往往存在較高的失效概率.因此，文章嘗試將結構不確定性引入到動態拓撲優化中，設計出滿足一定結構可靠度要求的結構.

2 基于可靠性的動態拓撲優化方法

基于可靠性的連續體拓撲優化方法有較多學者進行了研究，但大多數局限于靜力學結構的優化設計.將可靠性分析與動態拓撲優化問題相結合更具有挑戰性.

2.1 問題提出

基于可靠性的動態拓撲優化方法旨在提高所設計結構的可靠度水平，當結構可靠度作為拓撲優化的一個約束時，利用可靠性指標法，優化問題（5）變為：

to find：ρ1，…，ρe，…，ρN

maximizeρ：ω21=uT1Ku1uT1Mu1

suject to：[K-ω21M]u1=0，

：g1=∑Ne=1veρe-V0≤0，

：g2=β0j-βj（ρe，μγ）≤0，j=1，…，m，

：0<ρmin≤ρe≤1，e=1，…，N，（10）

其中，結構可靠性指標的求解如下：

maximizeμγ：βj（η）=‖η‖suject to：Gj（d，η）=0（11）endprint

式中：g1和g2為不等式約束，分別控制體積和結構可靠度；β0j和βj分別為第j個結構可靠性指標目標值和第j個結構可靠性指標；m指結構系統一共有m個可靠度約束；μγ為結構不確定性變量均值；Gj（·）為在標準正態空間中第j個結構的功能函數，當Gj（·）>0時認為結構處于可靠狀態，當Gj（·）<0時認為結構處于失效狀態，Gj（·）=0時為結構極限狀態；‖·‖指向量的范數；η為不確定性變量在標準正態坐標系中的形式.

利用伴隨法可以求得式（10）優化問題的敏感系數，然后利用MMA進行求解.然而，該問題求解屬于二次嵌套優化問題，即結構動態拓撲優化每次迭代循環都需要判斷該次迭代結果是否滿足所需結構可靠度要求，而結構可靠性分析也是一個優化問題.直接求解計算效率十分低下，不適合實際工程應用.因此，文章提出一種解耦策略，將二次嵌套優化問題轉化為兩個單獨的優化循環，大大提高了計算效率.

2.2 解耦策略

不確定性變量用Y度量，Y=（Y1，…，Yt），結構擁有t個不確定變量，其均值和方差分別為μγ和σ2Y.這些不確定性變量對結構可靠性分析具有重要影響，然而，它們對結構固有頻率并不一定有很大的影響.因此，需要首先計算目標函數對不確定性變量的敏感性，選擇對目標函數影響大的不確定性變量，去除影響小的不確定性變量.這里使用有限差分法[32]：

ω21μY1=δω21δμY1=ω21（μY1+δμY1）-ω21（μY1）δμY1（12）

式中：μYtμYt=0.005.

確定對目標函數貢獻大的不確定性變量后，需要確定可靠性指標對不確定性變量的梯度信息以每個迭代步更新可靠性指標.不確定性變量首先轉化為標準正態分布：

η=Y-μYσY（13）

此時，結構的可靠性指標為：

β=∑η2t（14）

可靠性指標對不確定變量的一階導數可以顯式表達：

ε=βηt=ηtβ（15）

利用式（15）的梯度信息可以在每一迭代步更新結構可靠性指標的值.

為了將結構可靠性分析解耦出來，首先給出一個初始猜測值η，將該猜測值代入式（14）中計算可靠性指標.若該可靠性指標大于目標值，利用式（15）梯度信息更新其數值，直到滿足目標值為止.此時，得到一個新的η*，進而可以得到在物理坐標系下的不確定性變量：

Y*=η*σY+μγ（16）

上式得到的是一個確定性向量，使用其作為拓撲優化的輸入量所得到的拓撲結構，可以滿足所需結構可靠度要求.這樣，結構可靠性分析成功地從拓撲優化循環中解耦出來，大大提高了計算效率.需要指出的是，由于文章只關心線彈性結構的優化設計，故該解耦策略的精度可以接受.使用解耦策略的算法流程如圖1所示.

3 數值算例

用一個標準算例來驗證文章所提方法的有效性，同時說明動態拓撲優化設計考慮結構可靠性的重要性.這里只是為了驗證算法的有效性，所有單位均無量綱處理.同時，使用了防止優化過程中棋盤格現象的策略[33]，得到邊界光滑的拓撲結構.

兩端固定梁的動態拓撲優化設計問題，如圖2所示，長和寬分別為100和20，假設均服從正態分布，且離差均為0.02.初始域被離散為100×20個矩形單元.設計域材料的屬性為：彈性模量為1，泊松比為0.3，密度為1，體積約束設為0.9，假設服從正態分布量，離差為0.02.

確定性動態拓撲優化所得結果如圖3所示，拓撲結構邊界光滑，便于實際結構制造.圖4表明利用MMA求解動態拓撲優化問題收斂性良好，迭代106步后收斂，結構的第一階固有頻率為0.574 7，圖中也給出了結構的第二階和第三階固有頻率.

然而，在實際制造加工中誤差無法避免，由誤差導致的結構不確定性，在圖3結構中并未考慮，該結構在實際工程服役過程中往往會存在較大的失效概率.利用文中所提方法優化設計該梁結構，設定結構可靠性指標值β0=4.0，利用一次二階矩可得結構的失效概率為pf=Φ（-β0）=0.000 032，所得拓撲結構（圖5所示）有很高的可靠度，可以很好地應對復雜多變的不確定性服役環境，如制造誤差等.所得拓撲結構明顯與圖3不同，可以更好地抵抗結構不確定性的變化.圖6顯示所提算法收斂性良好，目標函數迭代90步收斂為0.520 3.需要指出的是，圖5中結構最終材料體積為0.916，大于確定性優化結果的09，這是由于結構需要更多的材料來提高自身的可靠度，這也和文獻[26，27]研究結果一致.

4 結 論

文章將結構可靠性分析引入到連續體動態拓撲優化中，提出一種基于可靠性的連續體拓撲優化方法.同時，為了提高計算效率，提出一種新的解耦策略，將結構可靠度計算約束從拓撲優化循環中解耦出來，大大提高了計算效率.得出以下結論；

1）考慮了由于制造誤差等造成的幾何尺寸和體積不確定性，設計出的結構可以滿足設計人員的可靠度要求，可以更好地應對復雜的不確定性的服役環境.

2）設計出的結構相對于確定性優化結構擁有更多的材料，擁有更高的可靠度.

3）所提算法有很好的收斂性，迭代過程平穩，并得到邊界光滑的拓撲結構.

參考文獻

[1] LI C，KIM I Y，JESWIET J. Conceptual and detailed design of an automotive engine cradle by using topology，shape，and size optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optim-ization，2015，51（2）； 547-564.

[2] TOLEDO R，AZNREZ J J，GREINER D，et al. Shape design optimization of road acoustic barriers featuring top-edge devices by using genetic algorithms and boundary elements[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements，2016，63：49-60.endprint

[3] BENDSE M P，KIKUCHI N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1988，71（2）：197-224.

[4] SIGMUND O. A 99 line topology optimization code written in Matlab[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2001，21（2）： 120-127.

[5] BENDSE M P，SIGMUND O. Topology optimization：theo-ry，methods，and applications[M]. Springer Science & Business Media，2013：100-102.

[6] WANG M Y，WANG X，GUO D. A level set method for structural topology optimization[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2003，192（1）： 227-246.

[7] XIE Y M，STEVEN G P. Basic evolutionary structural optimization[M]. London：Springer，1997：74-75.

[8] 隋允康，楊德慶，王備. 多工況應力和位移約束下連續體結構拓撲優化[J]. 力學學報，2000，32（2）： 171-179.

SUI Yongkang，YANG Deqing，WANG Bei. Topological optimization of continuum structure with stress and displacement constraints under multiple loading cases[J]. Acta Mechanica Sinica，2000，32（2）： 171-179. （In Chinese）

[9] ZHOU M，LAZAROV B S，WANG F，et al. Minimum length scale in topology optimization by geometric constraints[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2015，293： 266-282.

[10]GUEST J K. Optimizing the layout of discrete objects in structures and materials：a projection-based topology optimization approach[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2015，283： 330-351.

[11]LPEZ C，BALDOMIR A，HERNNDEZ S. Deterministic versus reliability-based topology optimization of aeronautical structures[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2016，53（4）： 907-921.

[12]DUDDECK F，HUNKELER S，LOZANO P，et al. Topology optimization for crashworthiness of thin-walled structures under axial impact using hybrid cellular automata[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2016，54（3）：415-428

[13]張偉，侯文彬，胡平. 基于拓撲優化的電動汽車白車身優化設計[J]. 湖南大學學報：自然科學版，2014，41（10）：42-48.

ZHANG Wei，HOU Wenbin，HU Ping. The body in white optimization of an electric vehicle using topology optimization[J]. Journal of Hunan University：Natural Sciences，2014，41（10）：42-48.（In Chinese）

[14]劉志文，辛亞兵，陳政清. 鋁合金橋面板合理斷面形式拓撲分析和優化[J]. 湖南大學學報：自然科學版，2010，37（1）；11-16.

LIU Zhiwen，XIN Yabing，CHEN Zhengqing. Topologic analysis and optimization of reasonable cross-section of aluminum alloy bridge decks[J]. Journal of Hunan University：Natural Sciences，2010，37（1）：11-16.（In Chinese）

[15]LIU J，WEN G，QING Q，et al. An efficient method for topology optimization of continuum structures in the presence of uncertainty in loading direction[J]. International Journal of Computational Methods，2017，14（2）：1750054.endprint

[16]LIU J，WEN G，XIE Y M. Layout optimization of continuum structures considering the probabilistic and fuzzy directional uncertainty of applied loads based on the cloud model[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2016，53（1）： 81-100.

[17]LIU J，WEN G，HUANG X. To avoid unpractical optimal design without support[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2017： 1-7.

[18]LIU J，QING Q，DENG Y，et al. Fatigue reliability study on T-welded component considering load shedding[J]. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures，2015，38（7）：780-788.

[19]LIU J，WEN G. Continuum topology optimization considering uncertainties in load locations based on the cloud model[J]. Engineering Optimization，2017： 1-20.

[20]BEYER H G，SENDHOFF B. Robust optimization-a comprehensive survey[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2007，196（33）：3190-3218.

[21]VALDEBENITO M A，SCHUЁLLER G I. A survey on approaches for reliability-based optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2010，42（5）：645-663.

[22]KHARMANDA G，OLHOFF N，MOHAMED A，et al. Reliability-based topology optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2004，26（5）： 295-307.

[23]JUNG H S，CHO S. Reliability-based topology optimization of geometrically nonlinear structures with loading and material uncertainties[J]. Finite Elements in Analysis and Design，2004，41（3）： 311-331.

[24]MAUTE K，FRANGOPOL D M. Reliability-based design of MEMS mechanisms by topology optimization[J]. Computers & Structures，2003，81（8）： 813-824.

[25]KANG Z，LUO Y. Non-probabilistic reliability-based topology optimization of geometrically nonlinear structures using convex models[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2009，198（41）：3228-3238.

[26]SILVA M，TORTORELLI D A，NORATO J A，et al. Component and system reliability-based topology optimization using a single-loop method[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2010，41（1）： 87-106.

[27]NGUYEN T H，SONG J，PAULINO G H. Single-loop system reliability-based topology optimization considering statistical dependence between limit-states[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2011，44（5）： 593-611.

[28]ZHAO Q，CHEN X，MA Z D，et al. Reliability-based topology optimization using stochastic response surface method with sparse grid design[J]. Mathematical Problems in Engineering，2015，2013（1）：1-13.

[29]LIU J，WEN G，ZUO H Z，et al. A simple reliability-based topology optimization approach for continuum structures using a topology description function[J]. Engineering Optimization，2016，48（7）： 1182-1201.

[30]JALALPOUR M，TOOTKABONI M. An efficient approach to reliability-based topology optimization for continua under material uncertainty[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2016，53（4）： 759-772.

[31]SVANBERG K. The method of moving asymptotes—a new method for structural optimization[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering，1987，24（2）：359-373.

[32]LIPNIKOV K，MANZINI G，SHASHKOV M. Mimetic finite difference method[J]. Journal of Computational Physics，2014，257（1）： 1163-1227.

[33]POULSEN T A. A simple scheme to prevent checkerboard patterns and one-node connected hinges in topology optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2002，24（5）： 396-399.endprint