恒定元流伯努利能量方程教學(xué)探索

鄭坤燦+龐潤(rùn)芳+陳偉鵬+龐赟佶+陳俊俊+武文斐

摘 要： 如何在流體力學(xué)教學(xué)中避免較多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，讓學(xué)生更多地關(guān)注原理本身的物理意義和應(yīng)用是本文要探討的問(wèn)題。根據(jù)能量守恒思想直接得到伯努利能量方程，即元流中流入的機(jī)械能等于流出的機(jī)械能，而流體機(jī)械能正好是動(dòng)能、位能和壓能之和。與兩種傳統(tǒng)教學(xué)方法的對(duì)比中看出，該方法避開(kāi)了傳統(tǒng)功能原理應(yīng)用過(guò)程的繁瑣推導(dǎo)，同時(shí)也繞過(guò)了學(xué)生直接接觸更困難的N-S方程這一障礙。從而使之易懂易學(xué)，并為流體力學(xué)教學(xué)改革和教材更新提供了更好的思路和方法。

關(guān)鍵詞： 流體力學(xué)； 能量守恒； 伯努利能量方程； 教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：G642.0；0351.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1006-8228（2017）11-90-02

Reform on teaching of Bernoulli energy equation of one-dimensional flow

Zheng Kuncan1， Pang Runfang2， Chen Weipeng1， Pang Yunji1， Chen Junjun1， Wu Wenfei1

（1. Energy and Environment School， Inner Mongolia University of Science and Technology， Baotou， Inner Mongolia 014010， China；

2. Engineering Training Center， Inner Mongolia University of Science and Technology）

Abstract： How to avoid more mathematical deduction in the teaching of fluid mechanics， to make students pay more attention to the physical meaning and application of the principle itself is the problem to be discussed in this paper. According to the idea of conservation of energy， the Bernoulli energy equation is directly obtained， that is， the inflow mechanical energy is equal to the outflow mechanical energy， and the fluid mechanical energy is just the sum of kinetic energy， potential energy and pressure energy. Compared with the two traditional teaching methods， this method avoids the tedious derivation， and also bypasses the obstacle of students' direct contact with the more difficult N-S equation. So that， it is easy to understand and easy to learn， and provides better ideas and methods for the teaching reform of fluid mechanics and the renewal of teaching materials.

Key words： fluid dynamics； energy conservation； Bernoulli energy equation； teaching reform

0 引言

眾所周知，高等數(shù)學(xué)是流體力學(xué)中重要的工具和研究手段。然而，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中則不然，數(shù)學(xué)卻成了攔路虎。人民網(wǎng)曾經(jīng)報(bào)道，霍金當(dāng)年準(zhǔn)備出版《時(shí)間簡(jiǎn)史》的時(shí)候，被出版商告知：每多一個(gè)數(shù)學(xué)公式便少去一半讀者。英國(guó)布里斯托爾大學(xué)研究人員在新一期美國(guó)《國(guó)家科學(xué)院學(xué)報(bào)》上報(bào)告說(shuō)，統(tǒng)計(jì)生物學(xué)家對(duì)同行論文的引用結(jié)果發(fā)現(xiàn)，文章正文中平均每頁(yè)每多一個(gè)數(shù)學(xué)公式，論文被引用的次數(shù)就會(huì)下降28%。

同樣的情形出現(xiàn)在教學(xué)過(guò)程中，枯燥乏味的數(shù)學(xué)推導(dǎo)更容易讓讀者和聽(tīng)眾望而止步，伯努利能量方程就是這樣一個(gè)典型案例。該方程是工程流體力學(xué)中最重要的方程，應(yīng)用非常廣泛，但由于其推導(dǎo)過(guò)程繁瑣導(dǎo)致許多學(xué)生望而生畏，避而遠(yuǎn)之[1-3]。這就妨礙了學(xué)生們對(duì)方程重要物理意義的理解及對(duì)科學(xué)原理的簡(jiǎn)潔與美的賞析，所以本文另辟奇徑避開(kāi)數(shù)學(xué)推導(dǎo)直接利用能量守恒思想得到伯努利能量方程。

1 恒定元流伯努利能量方程自然得到

取一元恒定流動(dòng)的理想不可壓流體如圖1。流體從左側(cè)dA1流入，從右側(cè)dA2流出。流動(dòng)過(guò)程溫度不變即內(nèi)能不變。壓力為p，速度為u，密度為ρ，z0為基準(zhǔn)面，z1和z2為進(jìn)出口距參考面高度。書(shū)本上能量方程利用功能原理給出，這里為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，利用能量守恒直接得到。

流動(dòng)過(guò)程涉及的主要能量包括：

⑴ 流入流出的動(dòng)能即，m為質(zhì)量流量；

⑵ 流入流出的勢(shì)能即mgz，z為距參考面的高度；

⑶ 推動(dòng)功，由于壓力具有推動(dòng)流體做功趨勢(shì)的能力叫推動(dòng)功，屬于壓力勢(shì)能，簡(jiǎn)稱壓能。壓能計(jì)算式為pV，V為壓力作用的體積。

另外，流動(dòng)過(guò)程溫度不變無(wú)需考慮內(nèi)能，流體無(wú)粘性也不用考慮能量損失，與外界也沒(méi)有其他功和能的交換，同時(shí)恒定流能量變化為0。因此單位時(shí)間流入的能量等于單位時(shí)間流出的能量，可得恒定一元流能量方程，為：endprint

⑴

因流體不可壓故兩個(gè)斷面的流過(guò)的質(zhì)量和體積相等，所以式⑴兩邊同除以體積則得單位體積的能量守恒方程（壓強(qiáng)形式）：

⑵

其中：p-靜壓，ρgz-為位置壓，為動(dòng)壓。

如果式⑴兩邊同除以mg，且把容重γ（=ρɡ）代入則得單位重量即水頭形式的能量守恒方程：

⑶

其中：-壓強(qiáng)水頭，z-位置水頭，-動(dòng)能水頭。

當(dāng)流體具有粘性時(shí)，流動(dòng)過(guò)程由于粘性會(huì)發(fā)生能量損失，所以上述方程中應(yīng)該在右邊加入對(duì)應(yīng)的能量損失項(xiàng)，比如方程⑴中加入能量損失E1-2，J；在方程⑵中加入壓能損失項(xiàng)p1-2，Pa或者N/m2；在方程⑶中加入水頭損失項(xiàng)h1-2，m。

2 元流伯努利能量方程三種常用獲得方法的比較

目前絕大多數(shù)工科教科書(shū)中伯努利能量方程是根據(jù)功能原理得到，思路為選取一元流控制體，分析受力，計(jì)算移動(dòng)過(guò)程合外力做功，計(jì)算移動(dòng)前后機(jī)械能的增加，最后得到方程。顯然該方法涉及數(shù)學(xué)公式多且推導(dǎo)甚繁。

另外一種方法為許多理科教材所采用，即先推導(dǎo)得到N-S方程，然后再根據(jù)定常、一元和正壓流體等條件簡(jiǎn)化微分方程，最后經(jīng)過(guò)積分得到伯努利能量方程。這種方法適于研究生教學(xué)，對(duì)一般院校的本科生不宜采用。

本文中方法沒(méi)有用到太多的數(shù)學(xué)公式，也沒(méi)有用到任何微積分知識(shí)和力學(xué)理論，只是能量守恒思想的應(yīng)用，簡(jiǎn)潔明了，易學(xué)易懂，所以建議以后大學(xué)流體力學(xué)教材和教學(xué)過(guò)程教師們采用該方法。學(xué)生可以在理解方程懂得應(yīng)用明白其重要意義后去體會(huì)數(shù)學(xué)的奧妙與樂(lè)趣。

3 總結(jié)

數(shù)學(xué)作為理工科的一門(mén)重要的工具課程，有時(shí)在學(xué)習(xí)和教學(xué)過(guò)程卻成了許多別的課程理解和應(yīng)用的障礙。流體力學(xué)伯努利能量方程就可以避開(kāi)功能原理或者N-S方程繁雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，而直接由能量守恒思想得到。這樣能使許多基礎(chǔ)較差的學(xué)生擺脫數(shù)學(xué)推導(dǎo)之苦，從而進(jìn)入更為重要的物理理解和工程應(yīng)用。當(dāng)然數(shù)學(xué)訓(xùn)練也是必須，可以讓學(xué)生在理解了方程的意義和應(yīng)用后，再回過(guò)去體會(huì)數(shù)學(xué)推導(dǎo)的樂(lè)趣。

參考文獻(xiàn)（References）：

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2015.endprint