麥克斯韋滾擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論研究*

儲(chǔ)若超 張銳波

(浙江大學(xué)城市學(xué)院信息與電氣工程學(xué)院 浙江 杭州 310015)

麥克斯韋滾擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論研究*

儲(chǔ)若超 張銳波

(浙江大學(xué)城市學(xué)院信息與電氣工程學(xué)院 浙江 杭州 310015)

證明了滾擺在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中勢(shì)能、平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是相互轉(zhuǎn)化的，而總機(jī)械能是守恒的規(guī)律；推導(dǎo)出滾擺運(yùn)動(dòng)至最底端平動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的表達(dá)式，以及與總能量之關(guān)系，并根據(jù)自做滾擺參數(shù)計(jì)算出其結(jié)果．

麥克斯韋滾擺 質(zhì)心加速度 機(jī)械能守恒 能量分配

將麥克斯韋滾擺自最低點(diǎn)向上沿一個(gè)方向?qū)ΨQ(chēng)繞線至合適高度，再自由釋放，滾擺會(huì)在重力作用下，向下平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，滾擺的勢(shì)能、平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的總和保持不變．

如圖1所示，為自制麥克斯韋滾擺實(shí)驗(yàn)儀，滾擺銅軸兩端對(duì)稱(chēng)處用尼龍線懸掛于支架上，滾擺盤(pán)采用塑膠材料，可視為剛體．設(shè)擺軸質(zhì)量為m，滾擺盤(pán)質(zhì)量為擺軸質(zhì)量n倍(即nm)，則滾擺總質(zhì)量為(n+1)m，滾擺銅軸半徑r，滾擺盤(pán)半徑R，是擺軸半徑的n′倍，則R=n′r．

圖1 麥克斯韋擺輪示意圖

1 任意位置滾擺運(yùn)動(dòng)質(zhì)心加速度推導(dǎo)

下面計(jì)算滾擺在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)心加速度aC，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理列出滾擺平動(dòng)方程

(n+1)mg-T=(n+1)maC

(1)

由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出滾擺的轉(zhuǎn)動(dòng)方程

Tr=Jβ

(2)

又質(zhì)心在任意位置的瞬時(shí)加速度與角加速度的關(guān)系

aC=rβ

(3)

其中，T為滾擺牽引繩子張力，aC為滾擺平動(dòng)加速度，J為滾擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，β為滾擺轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度．滾擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于滾擺銅軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與滾擺盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和

(4)

解式(2)～(4)得

(5)

由式(1)、(5)得

則滾擺向下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻質(zhì)心加速度為

(6)

2 滾擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒

如圖2所示，1為滾擺繞線至最上端(即勢(shì)能最大位置)，3為運(yùn)動(dòng)至最低端(即勢(shì)能為零位置)，2為滾擺下落過(guò)程的任意位置．設(shè)滾擺在任意位置的機(jī)械能總量為

圖2 原理分析示意圖

E=Ep+Ek

(7)

在1位置時(shí)，Ek1=0，有

Ep1=(n+1)mgh

(8)

在2位置時(shí)，勢(shì)能為

Ep2=(n+1)mg(h-h1)

(9)

(10)

(11)

圖3 擺輪與擺軸半徑關(guān)系

滾擺自位置1到位置2時(shí)滾擺所具有的勢(shì)能

(12)

滾擺下降至2位置處時(shí)，平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的和為

(13)

式中ω為滾擺運(yùn)動(dòng)至位置2時(shí)，相對(duì)質(zhì)心的角速度，vc2=ωr.

則有

(14)

E=Ep2+Ek2=

(15)

由式(15)可知，滾擺在位置2所具有的平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和，正好等于滾擺在位置1所具有的勢(shì)能，即滾擺在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總能量保持不變．

3 滾擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各部分能量分配關(guān)系

當(dāng)滾擺運(yùn)動(dòng)至最低位置(即在位置3)，該位置動(dòng)能與總機(jī)械能、動(dòng)能中的平動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和總機(jī)械能的數(shù)量關(guān)系．設(shè)滾擺運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)勢(shì)能Ep3=0，勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，總機(jī)械能為

E=Ek3+Ep3=Ek3=

(16)

其中，vC3為滾擺運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)質(zhì)心速度，ω3為滾擺相對(duì)軸心角速度；滾擺平動(dòng)動(dòng)能為

(17)

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

(18)

平動(dòng)動(dòng)能與總機(jī)械能之比為

(19)

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與總機(jī)械能之比為

(20)

根據(jù)所制作的麥克斯韋滾擺相關(guān)參數(shù)：滾擺的總質(zhì)量260.51 g，其中擺軸質(zhì)量28.03 g；擺盤(pán)質(zhì)量232.48 g；擺輪直徑14.270 cm，銅軸直徑0.649 2 cm．依據(jù)該儀器相關(guān)參數(shù)可得：n=8.294(擺盤(pán)質(zhì)量與擺軸質(zhì)量之比)，n′=21.981(擺盤(pán)半徑與擺軸半徑之比)，若選擇麥克斯韋滾擺運(yùn)動(dòng)至最低位置時(shí)，可得平動(dòng)動(dòng)能與總能量、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與總能量之比分別為0.002 62和0.995 4．由此可見(jiàn)，滾擺運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，其能量主要是轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能．

1 顧建中.力學(xué)教程.北京：人民教育出版社，1980

2 周衍柏.理論力學(xué)教程.北京：高等教育出版社，1986

TheoryStudyontheMotionLawoftheMaxwellRollPendulum

Chu Ruochao Zhang Ruibo

(College of Information and Electrical Engineering,College of City,Zhejiang University,Hangzhou，Zhejiang 310015)

This paper proves that the roll,the potential energy in the process of movement of translational energy and rotational energy is transformed into each other,and the total mechanical energy is conserved law;rolling pendulum movement to the end,the expression of kinetic energy of rotational kinetic energy is derived,and the relationship with the total energy,and according to the self rolling parameters calculated the result.

Maxwell roll pendulum；the center of mass acceleration；conservation of mechanical energy；energy allocation

*浙江大學(xué)城市學(xué)院 2017年度大學(xué)生科研訓(xùn)練項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：X2017522065

儲(chǔ)若超(1995- )，男，在讀本科生.

指導(dǎo)教師：張銳波(1959- )，男，副教授，研究方向：大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)技術(shù)、創(chuàng)新設(shè)計(jì)與教學(xué)方法研究.

2017-03-30)