一道變質(zhì)量力學(xué)問題的分析與討論

姚 杳 朱海明

(安徽師范大學(xué)附屬中學(xué) 安徽 蕪湖 241000)

一道變質(zhì)量力學(xué)問題的分析與討論

姚 杳 朱海明

(安徽師范大學(xué)附屬中學(xué) 安徽 蕪湖 241000)

對一道求解變質(zhì)量體系中力學(xué)問題的解答進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)解答過程不是很完整. 文中給出了一些必要的補(bǔ)充和說明，并利用動(dòng)量定理對變質(zhì)量體系中受力突變問題進(jìn)行了分析和解釋.

變質(zhì)量 柔軟繩索 突變

1 引言

動(dòng)量定理是質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的普遍定理之一,在牛頓力學(xué)計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用,它在慣性系中的微分形式表達(dá)式為

(1)

它表明系統(tǒng)總動(dòng)量對時(shí)間的一階變化率等于外界對系統(tǒng)施加的外力的矢量和. 動(dòng)量定理的研究對象比較廣泛，可以是單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，也可以是質(zhì)點(diǎn)系，它的應(yīng)用范圍也很廣泛. 如，恒力情形、變力情形等，尤其是對解決打擊、碰撞、變質(zhì)量等問題時(shí)，動(dòng)量定理要比牛頓定律方便得多.

本文對教材中一道求解變質(zhì)量體系中力學(xué)問題的解答進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)解答過程不是很完整. 文中給出了一些必要的補(bǔ)充，并利用動(dòng)量定理對變質(zhì)量體系中受力突變問題進(jìn)行了分析和解釋.

2 原題及解析[1]

【題目】如圖1所示,單位長度質(zhì)量為ρl的柔軟繩索盤放在水平臺(tái)面上. 用手將繩索的一端以恒定速率v0向上提起，求當(dāng)提起高度為x時(shí)手的拉力.

圖1 題目

解析：以整根繩索為體系，設(shè)其長為l，它共受到3個(gè)力：重力ρllg，臺(tái)面支承力FN和手的拉力F在這3個(gè)力的作用下，體系的動(dòng)量在不斷變化.由體系動(dòng)量定理可知，外力矢量和應(yīng)等于體系動(dòng)量的變化率.現(xiàn)在體系動(dòng)量只有豎直方向分量，取x軸的方向豎直向上(坐標(biāo)原點(diǎn)在地面上).

在t時(shí)刻，當(dāng)繩索提起x時(shí)體系的動(dòng)量為

p(t)=ρlxv0

(2)

在t+dt時(shí)刻，當(dāng)繩索提起x+dx時(shí)體系的動(dòng)量為

p(t+dt)=ρl(x+dx)v0

(3)

根據(jù)體系動(dòng)量定理有

(F+FN-ρllg)dt=

p(t+dt)-P(t)=ρlv0dx

(4)

注意到

(5)

由于繩索是柔軟的，dx這段繩索對剩在臺(tái)上的繩索沒有作用力，因此，F(xiàn)N只與剩在臺(tái)上的繩索質(zhì)量有關(guān)，即

FN=ρl(l-x)g

(6)

因此得

(7)

關(guān)于這道題的解答，有的教材利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解，也得出相同的結(jié)論[2]. 另外，一些網(wǎng)頁上課件也應(yīng)用了動(dòng)量定理等方法得到與之相同結(jié)果.

3 “解析”中的問題分析與討論

從解析中的式(2)中可以看出，x∈[0,l] .可將x=l代入式(7)可得

(8)

式(8)表示繩索剛好完全被提起時(shí)的拉力. 由于繩索勻速上升，利用牛頓第二定律可直接得出此時(shí)的拉力為

F=ρllg

(9)

比較(8)、(9)兩式，可以看出利用動(dòng)量定理和牛頓定律解得的結(jié)果不一致，究竟其原因是什么呢？為此，對上述解析過程作出進(jìn)一步的分析.

(10)

當(dāng)x=l時(shí)，繩索的長度已達(dá)到最大值. 此時(shí)，提起繩索的長度對時(shí)間的變化率應(yīng)該等于零，即繩索的質(zhì)量對時(shí)間的變化率等于零，于是有

(11)

將式(11)代入式(4)，并將x=l代入式(6)，可解得

F=ρllg

(12)

比較(9)、(11)兩式，可以看出利用動(dòng)量定理和牛頓定律解得的結(jié)果完全一致. 考慮到x可大于l. 當(dāng)x>l時(shí)，利用牛頓第二定律可得到結(jié)果與式(12)相同，則該道變質(zhì)量力學(xué)試題的完整的解析結(jié)果可表示如下

(13)

4 瞬態(tài)力突變的原因

設(shè)臺(tái)面上有一段繩索質(zhì)量為ρldx即將被拉起，動(dòng)量的改變量為ρlv0dx，則由動(dòng)量定理可得到這段繩索受到的拉力為

(14)

5 結(jié)論

在變質(zhì)量體系中，必須關(guān)注質(zhì)量變化規(guī)律，質(zhì)量對時(shí)間的變化率在質(zhì)量達(dá)到最大值可能有個(gè)突變過程，在計(jì)算變質(zhì)量體系中物體受到瞬態(tài)力時(shí)，必須加以注意．

1 鄭永令，等.力學(xué)(第二版).北京：高等教育出版社，2013

2 馬文蔚.物理學(xué)(第五版).北京：高等教育出版社，2009

AnalysisandDiscussiononAMechanicsIssueaboutVariableMass

Yao Yao Zhu Haiming

(High School Affiliated to Anhui Normal University,Wuhu,Anhui 241000)

The key to a mechanics problem about variable mass is analyzed in this paper,and found that the solution process is not complete. This paper gives some necessary supplement and explanations,and the sudden change of force is analyzed and explained in variable mass system using the momentum theorem.

variable mass;soft rope;sudden change

姚杳(2000- )，女，在讀高中生.

指導(dǎo)教師：朱海明(1985- )，男，主要從事物理教學(xué)工作.

2017-04-08)