曲線運動的“身世之謎”

張祖志

(北京東北師范大學附屬中學朝陽學校 北京 100010)

曲線運動的“身世之謎”

張祖志

(北京東北師范大學附屬中學朝陽學校 北京 100010)

曲線運動是高中學生研究的一種較復雜的運動形式，往往是高考壓軸題中運動情境的一部分，因此弄清楚曲線運動的“身世之謎”對初學者來說非常重要．

從名稱上來說，運動軌跡為曲線的運動叫曲線運動；從運動性質來說，曲線運動一定是變速運動；從受力特點來說，曲線運動所受合力和速度一定不在一條直線上．

物體為什么會做曲線運動，先來看看物體做直線運動的幾種情境，如圖1所示．

圖1

由此可以得出當物體所受合外力和速度不在一條直線上時，物體做曲線運動的推論．下面我們研究一下物體做曲線運動的幾種情境所具有的特點，如圖2所示．

圖2 曲線運動分析

把物體所受合外力F合分解成與速度一條直線上的力Fx和與速度垂直的力Fy．Fx的作用是只改變速度大小；Fy的作用是只改變速度的方向．如圖2(a)所示，如果這兩個分力在整個運動過程中大小和方向都不變，那么我們就可以把整個曲線運動過程分解為直線運動來處理；反之如圖2(b)、(c)所示，如果兩個分力大小和方向不斷改變我們就不能采用“化曲為直”的方法處理整個運動過程．

那么下面我們就通過描點的方法把兩個直線運動進行合成來分析為什么類似圖2(a)的情境可以采用化曲為直的方法來處理．

圖3

下面我們以平拋運動為例體會化曲為直的方法．平拋運動是初速度水平，只在重力作用下的一種運動．這種運動的特點水平方向不受力，所以水平方向做勻速直線運動；豎直方向初速度為零，只受重力，所以豎直方向做加速度為g的勻加速直線運動．

【例1】1997年6月1日13時19分7秒，柯受良駕駛汽車，成功飛越黃河．從壺口瀑布的山西一側起飛，歷時1.58 s，汽車在黃河壺口瀑布上空劃出一條優美的弧線，最終落到了陜西一側，完成了飛越壯舉.讓這個兒童節具有了另一種的意義．這一飛躍跨過了55 m的距離，他的這一壯舉使他獲得了“亞洲飛人”美譽．有人測量了一下他當時的汽車從最高點到落地點的時間大約是0.8 s，兩點間的水平距離約為30 m，忽略空氣阻力，則汽車在最高點時的速度約為多大？最高點與著地點的高度差約為多大？著地點的速度為多大？(重力加速度g取10 m/s2)

圖4 駕車飛越黃河

解析:利用水平方向做勻速直線運動，可以求得最高點的速度大小為

利用豎直方向做勻加速運動，可以求得最高點和著地點的高度差大小為

著地點的速度可以由速度的合成求得

由此可見，化曲為直是處理平拋運動的重要方法，它會使復雜的問題簡單化．

下面我們以圓周運動來看看如果整個運動過程不能采用化曲為直的情境．

因為圓周運動的獨特性，所以我們引入了幾個新的概念，如圖5所示：線速度、角速度、周期、向心力和向心加速度．

向心加速度

向心力

圖5 曲線運動的一小段可看成對應的圓弧

如圖6所示，對于一般曲線運動來說，某一位置或某一時刻的運動可以看作是以該點所在位置曲率半徑為半徑的圓運動的一部分．

圖6 勻速圓周運動合外力指向圓心

運動軌跡為圓的運動，我們把它叫作圓周運動．運動過程中如果速度大小發生變化的圓周運動叫作變速率圓周運動；運動過程中速度大小始終保持不變，我們把這樣的圓周運動叫作勻速圓周運動(勻速率的圓周運動)．勻速圓周運動的特點是合外力始終指向圓心，因其始終與速度方向垂直，所以其作用是只改變速度的方向．

【例2】如圖7所示，把一個質量為m的小球放在玻璃漏斗中，晃動幾下漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面內做勻速圓周運動，已知漏斗側壁與軸線的夾角為θ．小球做圓周運動的半徑為r．求漏斗壁對小球的支持力大小為多少？小球向心力大小為多大？小球運動一周所需的時間．

圖7 小球在漏斗中做圓周運動及其受力分析

解析:小球受力如圖7所示，根據勻速圓周運動特點，可以知道支持力F和重力mg的合力指向圓周運動的圓心O，所以Fx=mg，由此可以得出

向心力的大小為

F向=Fy=mgtanθ

利用向心力周期表達式可以得

解得

要做到熟練解決圓周運動的問題，需要掌握好受力分析，在準確分析受力的基礎上列出向心力的力學表達式和運動學表達式的等式．這就是圓周運動解決問題的一般方法．

【例3】在2017年的春晚節目《夢想之城》中有一個“八人環球飛車表演”最高時速70 km/h，環球的直徑僅為6.5 m．根據你所學的物理知識，來計算一下摩托車和車手速度最大時的向心加速度是多大？如果摩托車最大速度是突然失去動力，請問在忽略摩擦力的情況下摩托車和車手是否能夠通過環球的最高點，給出你的判斷理由．

圖8 八人環球飛車表演

解析:車手和摩托車看作整體質量為m的質點，假定可以通過直徑為6.5 m球體的最高點，那么車手和摩托車在最高點的受力如圖9所示．

圖9 車手連同摩托車受力分析

根據題中條件可以知道，當車速為70 km/h時，那么摩托車和車手的所受向心力大小為

其向心加速度為

如果車速最大時恰好位于環球的最低點，那么從最低點到最高點的過程中，失去動力的摩托車和車手在忽略摩擦力的情況下可以到達環球最高點，這一過程中只有重力做功，根據動能定理可知

那么最高點處根據圓周運動特點可得向心力大小為

所以可以通過最高點．

對于圓周運動，我們只要能夠知道做圓周運動物體的質量，再能觀測到線速度、角速度、周期、軌道半徑中的任意兩個，我們同樣可以利用向心力公式計算出它所需要的向心力．

【例4】想知道自己生存的地球的運動特點，小明查閱資料發現地球是在繞太陽做近似圓周運動，地球繞太陽一周的時間大約是365天，太陽和地球之間的距離大約為1.5×108km．如果把這一圓周運動可以近似地看作是勻速圓周運動．如果他想知道地球做圓周運動所需向心力的大小，他還需要知道哪些物理量？請查閱后代入向心力公式計算出向心力的大小．

圖10 地球繞太陽做圓周運動及受力分析

解析:因為知道地球繞太陽運動的周期T=365天，所以根據向心力周期表達式

可以看出還需要知道地球的質量m.

經查閱資料知道地球的質量m≈6×1024kg

由此可見，很多時候我們完全可以利用我們學過的知識幫助我們開拓一些未知的知識海洋．

2017-02-09)