基于模糊Hausdorff距離的多輸出全局靈敏度分析方法

樊重慶，呂震宙

西北工業大學 航空學院，西安 710072

基于模糊Hausdorff距離的多輸出全局靈敏度分析方法

樊重慶，呂震宙*

西北工業大學 航空學院，西安 710072

為了度量模糊不確定性條件下輸入變量對輸出性能的影響，提出了基于模糊向量Hausdorff距離的多輸出性能對模糊輸入變量的全局靈敏度指標(GSI)。所提指標以模糊向量的Hausdorff距離來度量模糊輸入變量被固定后的條件輸出性能與無條件輸出性能的差異，并在對這種差異進行加權平均的基礎上，建立模糊輸入變量對多輸出性能影響的全局靈敏度指標。另外,所提指標還被推廣至隨機輸入變量的分布參數具有模糊性的情況，用所提指標來衡量模糊分布參數對隨機輸出性能統計特征的影響，并結合無跡變換和Kriging代理模型方法，建立了模糊分布參數對輸出均值影響的靈敏度求解高效方法。在詳細給出所提指標的實現步驟后，采用算例說明了所提指標的合理性和算法的高效性。

Hausdorff距離；多輸出；模糊不確定性；靈敏度；Kriging

隨機不確定性具有成熟的理論體系，但由于隨機不確定性的安全分析高度依賴于概率分布的尾部信息[1]，而尾部信息又是工程中常用的小子樣試驗所難以獲得的。Elishakoff和Ferracuti[2]詳細論證了模糊安全因子的優越性。Dubois和Prade[3]的論證表明：基于模糊變量得到的失效必然度和失效可能度可以給出隨機失效概率的上、下界。由于模糊不確定性的這些優越性，所以本文將探討模糊不確定性下的靈敏度分析問題。

模糊不確定性條件下的靈敏度分析可以度量輸出性能對模糊輸入變量的敏感度，文獻[4-9]對模糊輸入對輸出不確定性影響的靈敏度做了大量研究。Song和Lu[4-5]首先通過無條件輸出響應隸屬度函數與條件輸出響應隸屬函數的面積變化，來衡量模糊輸入變量對輸出不確定性的影響；在此基礎上，還定義了隨機模糊同時存在條件下基于無條件輸出響應與條件輸出響應隸屬函數面積變化的靈敏度指標，來研究輸入變量不確定性對模型輸出響應的貢獻。Tang等[6]在隨機模糊同時存在時，根據失效概率隸屬度函數的不確定性熵的變化，定義了基于熵的全局靈敏度指標。Li和Lu[7-8]在模糊隨機混合模型中，根據模型統計特征的隸屬函數的中心軸位置變化和隸屬函數面積變化，分別提出了混合不確定性條件靈敏度的位置指標和面積指標。Cheng和Lu[9]構造新指標研究了隨機模糊情況下模糊分布參數不確定性對失效概率隸屬函數面積變化的影響，反映模糊分布參數不確定性對失效概率的影響。然而上述指標都是研究單輸出情況下的靈敏度分析，工程設計中常需要同時考慮輸入對多個輸出性能的影響程度，降低制造生產成本；多目標優化問題中，多個性能響應量敏感度分析對多目標優化問題的求解有很強的指導作用。

全局靈敏度分析的目的在于衡量輸入變量對輸出性能特征的影響，具體實現方法是通過比較無條件輸出性能特征和有條件(固定條件輸入變量的值)輸出性能特征的差異來反映條件輸入變量固定時所產生的影響，這種差異可以通過距離來衡量[10]。歐氏距離雖然能夠反映點狀目標間的距離，但其度量各種類型目標間的距離時沒有考慮空間目標的形狀差異[11]，而Hausdorff[12-15]距離則能夠在度量空間目標的距離的同時考慮空間目標的整體形狀。Hausdorff距離作為相似性度量已經廣泛應用于模式識別[16]及圖像處理等領域[17]。以Hausdorff距離度量條件輸出響應和無條件輸出響應的距離，可以在考慮二者形狀的基礎上反映其差異，從而能夠更全面地反映模糊輸入不確定性對輸出響應不確定性所造成的影響。經過推廣后的模糊向量的Hausdorff距離能夠度量兩組以上響應的形狀差異，從而可以應用于衡量無條件多輸出響應和條件多輸出響應的差異，在對條件模糊輸入變量取值范圍內進行平均的基礎上，該差異可以綜合反映模糊輸入不確定性對多輸出響應性能的影響。

論文詳細給出了所提模糊不確定性條件下多輸出全局靈敏度的定義，定性分析了所提模糊Hausdorff距離多輸出指標的合理性，建立了指標的高效求解方法，并將所提指標推廣至隨機變量的分布參數具有模糊性的情況。最后用算例對所提指標的合理性和算法的高效性進行了驗證。

1 模糊向量距離的定義

本文的核心工作是建立模糊不確定性條件下輸入變量對輸出響應影響的全局靈敏度指標，建立指標的基本思路是通過比較固定模糊輸入變量后條件輸出響應與無條件輸出響應的差異，來衡量被固定的條件輸入變量對輸出響應的影響。為此在第1節中將首先給出模糊變量的簡要定義，然后再給出衡量模糊變量以及模糊向量之間差異的Hausdorff距離，定性分析模糊輸入對輸出不確定性的影響，理論上驗證所提指標的合理性，在此基礎上建立模糊輸入變量對模糊輸出響應影響的全局靈敏度指標。

1.1 模糊向量的描述

1.2 模糊向量的Hausdorff距離

1.2.1 區間變量間的Hausdorff距離

(1)

在此基礎上定義的單向Hausdorff距離[15]為

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2.2 模糊變量及模糊向量間的Hausdorff距離

1.2.1節給出了兩區間變量之間的Hausdorff距離，對于模糊變量X和模糊變量Y的Hausdorff距離，可以采用以隸屬度為權函數的隸屬區間之間Hausdorff距離的加權平均值來予以衡量，其定義H(X,Y)為

(6)

當X和Y分別為2個m維的模糊向量時，即X=[X1X2…Xm]，Y=[Y1Y2…Ym]，Xk和Yk(k=1,2,…,m)的隸屬函數分別為uXk(xk)和uYk(yk)，類似于單維變量間歐氏距離到多維變量間歐氏距離的拓展，可以定義維度相同的2個模糊向量X與Y的Hausdorff距離H(X,Y)為

(7)

顯然模糊向量X和Y的Hausdorff距離H(X,Y)滿足距離度量的3個特性：非負性、對稱性和三角不等式。

由上述定義可知，2個模糊變量的Hausdorff距離是由區間變量的Hausdorff距離拓展而來的。在2個模糊變量的Hausdorff距離中，與2個模糊變量的每個隸屬水平對應的隸屬區間的形狀差異可以通過區間變量的Hausdorff距離得以反映，而每個隸屬水平的影響則可以通過式(6)的加權形式得以提取，因此式(6)定義的2個模糊變量的Hausdorff距離可以在綜合隸屬水平和隸屬區間影響的基礎合理反映2個模糊變量的差異。式(7)定義的2個模糊向量的Hausdorff距離則是在累積了2個模糊向量中對應維度上2個模糊變量Hausdorff距離的基礎上而得到的，因此也可以合理反映2個模糊向量的差異。為了度量輸入變量模糊分布參數對單輸出均值的影響，模糊效應指標[10]通過計算輸出性能均值響應的無條件與有條件隸屬函數的差異的絕對值的全局靈敏度指標。而基于Hausdorff距離的輸入變量模糊分布參數對單輸出均值的靈敏度指標能夠在度量空間目標距離的同時考慮空間目標的整體形狀。

2 模糊不確定性條件下多輸出響應對輸入變量的全局靈敏度指標

首先,基于模糊變量Hausdorff距離給出單輸出全局靈敏度指標的定義，通過Hausdorff距離來度量無條件輸出響應隸屬函數和條件輸出響應隸屬函數的差異，計算模糊輸入不確定性對輸出響應不確定性的影響;然后,將單輸出全局靈敏度指標推廣到多輸出情況，并對指標的性質進行了分析，最后給出了所提指標的求解方法。

2.1 單輸出響應的全局靈敏度

假設響應量函數為Z=g(X)，n維輸入X=[X1X2…Xn]為模糊變量，其隸屬函數為uXj(xj)(j=1,2,…,n)。無條件輸出響應Z的隸屬函數為uZ(z)，uZ|Xj(z)為通過固定模糊輸入變量Xj的隸屬度αj得到的條件輸出響應Z|Xj的隸屬函數。

無條件輸出響應Z與條件輸出響應Z|Xj之間的Hausdorff距離可以表征輸入變量Xj對模型輸出性能的影響。圖1所示為無條件輸出響應隸屬函數uZ(z)和固定Xj后條件輸出響應隸屬函數uZ|Xj(z)之間的差異。

下面給出單輸出情況下無條件輸出與有條件輸出的Hausdorff距離指標：

H(Z,Z|Xj)=

(8)

圖1 模糊輸入變量對輸出性能的影響Fig.1 Effect of fuzzy input variables on output performance

HI(Z,Z|Xj)的值越大，表明無條件輸出響應隸屬函數與輸入變量Xj固定后條件輸出響應隸屬函數差異越大，即模糊輸入變量Xj的固定值對輸出響應的影響越大。

當Xj遍歷其所有模糊取值域時(也即Xj的隸屬水平αj遍歷區間[0,1])，它對輸出響應的影響指標δXj可定義為

(9)

2.2 多輸出響應的全局靈敏度

假設m維多輸出響應Z=[Z1Z2…Zm]，Zi=gi(X)(i=1,2,…,m)，其中n維輸入X=[X1X2…Xn]為模糊向量，隸屬函數為uXj(xj)(j=1,2,…,n)。依據多維模糊變量的Hausdorff距離的定義，并拓展單輸出下全局靈敏度的定義，可給出基于多維Hausdorff距離的如下Xj固定條件下的無條件多輸出Z與有條件多輸出Z|Xj的差異度量：

(10)

當Xj遍歷其所有模糊取值域時，模糊輸入變量Xj對多輸出響應Z的平均影響指標可定義為

(11)

所提指標具有如下性質：

性質1ηXj≥0。

證明：由于模糊向量的距離H(Z,Z|Xj)≥0，所以有ηXj≥0必然成立。

性質2若模糊輸入變量獨立于多輸出響應Z，則ηXj=0。

證明：當Xj獨立于Z時，Xj取任意實現值，Z的隸屬函數將與Z|Xj的隸屬函數相同，因而H(Z,Z|Xj)=0，因此，ηXj=0。

2.3 求解無條件和條件輸出響應隸屬函數

由上述δXj和ηXj的定義可知，求解它們中最重要的步驟是求uZi(zi)和uZi|Xj(zi)，它們的求解過程簡述如下：

步驟1無條件輸出響應的隸屬函數uZi(zi)

3) 遍歷α∈[0,1]，即可求得輸出的隸屬函數uZi(zi)。

步驟2條件輸出響應的隸屬函數uZi|Xj(zi)

4) 遍歷α∈[0,1]，即可求得Xj固定時條件輸出Zi|Xj的隸屬函數uZi|Xj(zi)。

步驟3ηXj的求解流程

基于模糊Hausdorff距離的輸入變量對多輸出響應影響的全局靈敏度指標的求解流程如圖2所示。

3 模糊分布參數對輸出統計特征的全局靈敏度指標推廣

下文將所提指標推廣到隨機輸入變量情況下其分布參數具有模糊性的情況，以分析該情況下模糊分布參數對輸出統計特征的影響。設輸入變量X的隨機特性由其聯合概率密度函數fX(X,θ)描述，即X～fX(X,θ)，且分布參數向量為θ=[θ1θ2…θk]具有模糊不確定性，其隸屬函數為：uθj(θj)(j=1,2,…,k)。顯然，在這種情況下模型多輸出響應Z=g(X)=[g1(X)g2(X)…gm(X)] 的統計特征L=[L1L2…Lm]

圖2 輸入變量對多輸出響應影響的全局靈敏度指標求解過程Fig.2 Solution process for global sensitivity index used to measure effect of input variables on multivariate response

步驟1采用UT及Kriging相結合的方法建立L與θ的關系

1)θ樣本點產生

從θ的隸屬函數支撐域中均勻產生θ的Nθ個樣本點θP=[θP1θP2…θPk](P=1,2,…,Nθ)。

2)X樣本點產生

3)L樣本點的產生

4)L與θ的關系代理

利用樣本(θP,lP)(P=1,2,…,Nθ)由Kriging方法得到L=L(θ)的代理模型。

步驟2利用代理模型L=L(θ)和第2節方法分析θ對L的影響。

步驟3計算量討論 上述方法中原響應模型Z=g(X)的調用次數為Nθ×Nt×m,該算法效率提高主要表現在采用了UT方法來計算輸出響應的統計特征，另外采用Kriging方法建立θ與L的關系也大大簡化了在步驟2求解θ對L影響指標時因優化計算而引起的模型調用。

4 算 例

4.1 算例1：含交叉項的二次多項式算例

單輸出性能的表達式為

Z(X)=X1+2X2+3X3+X1X2+

2X1X3+3X2X3

式中：b為隸屬函數的核;a和c為隸屬函數支撐集的下界和上界，輸入變量模糊分布參數見表1。

算例采用本文提出的基于模糊Hausdorff距離的輸入變量參數對單輸出影響指標與文獻[10]提出的模糊效應指標進行對比，從而驗證基于模糊Hausdorff距離單輸出全局靈敏度指標的合理性，算例結果見表2。

表2計算結果可以看出模糊效應指標的重要性排序為ημ3>ημ2>ημ1?ησ1(ησ2,ησ3)，基于Hausdorff距離全局指標的重要性排序與模糊效應指標重要性排序相同，從而表明本文所提指標的合理性。參數μ3的模糊不確定性對輸出均值影響最大，工程設計人員首先考慮μ3的不確定性。

基于Hausdorff距離全局靈敏度指標的蒙特卡羅模擬(MCS)算法求解中，模型調用次數為N×M×(n+1)×Nα×m，N為設定的輸入變量X抽樣數，M為遍歷模糊分布參數θ的隸屬區間時的離散點個數，n為模糊分布參數個數，Nα為遍歷隸屬水平α的取值數，m為輸出維度，本算例中N=105，M=20，n=6，Nα=13，m=1，模糊效應指標的模型調用次數為N×M×(n+1)×Nα，

表1 算例1中輸入變量模糊參數隸屬函數的參數信息

表2 算例1模糊變量分布參數對單輸出影響的全局靈敏度指標結果

模糊效應指標中模型調用次數的參數與MCS算法的相同，算例中取同樣的數值；UT-Kriging方法模型調用次數為Nθ×Nt×m，其中Nθ=50，Nt=13，m=1，該算法大大的提高了計算效率。 MCS方法和UT結合Kriging代理模型方法(UT-Kriging)方法求解的單輸出靈敏度指標結果絕對誤差數量級為10-3，并且2種算法得到的參數排序完全相同。輸入變量模糊分布參數對多輸出均值的基于Hausdorff距離的靈敏度指標是由對單輸出影響的靈敏度拓展得到。下面算例定性分析所提模糊多輸出指標的合理性。

4.2 算例2：線性算例

在此條件下，研究輸入變量模糊分布參數對輸出響應均值的影響。表4給出了不同樣本數下分別用MCS和UT- kriging的求解結果。

從表中計算結果可知，2種算法的重要性排序ημ1>ημ2≥ησ1(ησ2)相同，這說明了本文提出的高效算法的正確性。其中μ1的靈敏度指標最大，說明輸入變量X1均值參數不確定性對輸出均值響應影響顯著，工程設計人員更應該關注該參數，μ2相較于μ1影響較小，σ1和σ2對輸出均值響應沒有影響。MCS方法中，模型調用次數大約為2.08×108次；UT-Kriging方法的模型調用次數為900次，大大的提高了計算效率。

表3 算例2中輸入變量模糊參數隸屬函數的參數信息

表4 算例2中MCS方法和UT-Kriging方法求解靈敏度指標結果

另外，輸入變量參數隸屬函數的支撐集區間長度和功能函數中輸入變量的系數改變后，所得的模糊參數對輸出響應均值影響的靈敏度進行對比，定性分析所提多輸出全局靈敏度的合理性。首先假設輸入變量參數為獨立模糊數，二維輸出性能表達式不變。下面主要分3種情況討論支撐集區間長度變化后模糊參數對輸出響應均值貢獻的影響，3種情況下輸入變量分布參數具有相同的隸屬函數，第2種和第3種情況中輸入變量分布參數的支撐集依次擴大10倍，輸入變量分布參數對輸出響應均值影響的靈敏度見表5。

表5中從第2種情況到第3種情況支撐集依次擴大10倍，無條件多輸出隸屬函數與固定輸入變量參數后多輸出隸屬函數的Hausdorff距離變大，輸入變量參數對輸出響應均值貢獻的數值擴大10倍，但是輸入變量參數對輸出響應均值影響的重要性排序沒有改變，從而驗證了該指標能夠正確反映輸入變量參數不確定性對輸出響應均值影響程度，所以本文所提的指標是合理的。

為了進一步驗證所提指標的合理性，假設輸入變量模糊分布參數核都為1，支撐集都為[0,2]，二維輸出性能表達式見表6第1、2列，改變功能函數的系數分為3種情況，輸入變量參數對輸出響應均值的貢獻的影響結果見表6。

表5 模糊不確定性的變化對多輸出靈敏度指標的影響

表6 輸入變量系數變化對多輸出靈敏度指標的影響

表6中第1種情況中變量x1和x2的參數服從相同的模糊分布，而且其系數和次數在2個功能函數中相同，因此變量x1的參數對輸出響應均值的影響與變量x2的參數對輸出響應均值的影響相同。表6的計算結果表明變量x1的均值和方差對輸出響應均值的影響與變量x2的均值和方差對輸出響應均值的影響分別基本相同，從而證明本文所提指標的合理性。第2種情況中輸出表達式1變量x1的系數為10，從而其均值的模糊不確定性對輸出響應均值的影響變大，同理第3種情況中變量x1的系數變大也導致均值對輸出響應均值影響變大，結果再次表明所提指標的合理性。

4.3 算例3：非線性算例

二維非線性輸出的表達式為

根據模型函數關系式，計算得到模糊分布參數對多輸出響應均值的靈敏度指標結果見表8。

表7算例3中各輸入變量模糊參數隸屬函數參數信息

Table7ParametersinformationofthemembershipfunctionofinputfuzzyvariablesinExample3

iμiσibμi[aμi，cμi]bσi[aσi，cσi]12[1．8，2．2]0．2[0．15，0．25]212[10，14]1．2[1．0，1．4]35[4，6]0．05[0．025，0．075]

表8 算例3中MCS方法和UT-Kriging方法求解靈敏度指標結果

從表8可得出，UT-Kriging方法和MCS計算方法得到的模糊分布參數對輸出響應均值貢獻的排序一致。其中μ3對輸出響應均值的影響最大，μ2對輸出影響次之，其余的參數對輸出影響很小。結構設計或者優化設計中若以輸出的均值為目標，首先應考慮不確定性影響最大的分布參數，提高設計的效率。此外，當靈敏度指標求解結果達到精度要求時，MCS方法調用模型次數為3.64×108，UT-Kriging代理模型方法只需調用1 300次， 極大地提高了計算效率。

4.4 算例4：工程算例

考慮圖3所示的機翼的九盒段結構，它由64個桿元件和42個板元件構成，材料為鋁合金。已知外載荷與各個單元的強度均為隨機變量，由失效模式的枚舉方法可求得結構體系的主要失效模式有2個，其功能函數為

Z1=4.0R78+4.0R68-3.999 8R77-P

Z2=0.229 9R78+3.242 5R77-P

表10結果表明MCS方法和UT-Kriging方法得到的輸入均值的模糊分布參數對輸出響應均值的影響排序一致。對輸出響應均值貢獻較大的是R77單元強度的均值不確定性，外載荷P的均值不確定性對輸出均值響應影響最小，各方法的求解結果達到精度要求時，相較于MCS方法2.6×108的模型調用次數，基于UT的Kriging代理模型法調用模型次數很少，僅需要900次，極大提高了計算效率。

圖3 九盒段結構示意圖Fig.3 Diagram of nine-box structure

表9 九盒段結構各輸入變量模糊參數隸屬函數參數信息

表10 工程算例中MCS方法和UT-Kriging方法求解靈敏度指標結果

通過上述的算例的模糊分布參數對輸出響應特征的靈敏度分析，可以得到影響輸出特征的分布參數的重要性排序。調整靈敏度指標較大的變量分布參數可以引起輸出響應特征較大的變化，從而可以較快地實現所需要達到的輸出性能。而靈敏度指標較小的分布參數因對輸出特征的影響較小，在設計中可以忽略其不確定性的影響，進而達到降低設計過程中模糊不確定性維度的目的，以減小設計復雜度并提高設計的效率。

5 結 論

1) 本文研究了模糊不確定作用下的多輸出全局靈敏度的度量方法。根據已有的單維模糊變量間距離的定義，推廣得到了多維模糊向量之間的距離，并給出了模糊向量距離的定義以及性質。

2) 基于此，從無條件多輸出響應量和模糊輸入固定后的條件多輸出響應量的Hausdorff距離來度量條件模糊輸入變量對多輸出的影響出發，建立了綜合衡量模糊輸入變量對多輸出響應的影響的全局靈敏度指標，并進一步將所提指標用于分析模糊分布參數對多數響應統計特征的影響。

3) 文中詳細給出指標的求解方法，并建立了隨機輸入變量的模糊分布參數對多輸出響應統計特征值影響分析的UT-Kriging方法。該算法避免了MCS方法的雙重優化計算，大大降低了調用多輸出響應函數的次數，提高了計算效率。

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GlobalsensitivityanalysismethodformultivariateoutputbasedonfuzzyHausdorffdistance

FANChongqing,LYUZhenzhou*

SchoolofAeronautics,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China

Tomeasuretheeffectsofthemodelfuzzyinputsontheperformanceofthemodeloutputs,theglobalsensitivityindex(GSI)basedonfuzzyvectorHausdorffdistanceisproposed.IntheproposedGSI,theHausdorffdistanceisusedtomeasurethedifferencebetweentheconditionalmodeloutputsandtheunconditionalmodeloutputswhilethefuzzyinputisfixed.Basedontheweightedaverageofthedifference,theglobalsensitivityindexevaluatingtheeffectsofthefuzzyinputonthemodeloutputsisestablished.TheproposedGSIisalsoextendedtotheconditionthatthedistributionparametersoftherandominputshavefuzzyuncertainty,andisusedtomeasuretheeffectsoffuzzydistributionparametersonthestatisticalcharacteristicsoftherandommodeloutput.AnefficientsolutiontoevaluationoftheeffectsofthefuzzydistributionparametersonthemeanofthemodeloutputsisestablishedbycombiningtheunscentedtransformationwiththeKrigingmeta-model.TheaccuracyandefficiencyoftheproposedmethodisdemonstratedbysomeexamplesaftertheprocedureofthesolutionfortheproposedGSIispresentedindetail.

Hausdorffdistance;multivariateoutput;fuzzyuncertainty;sensitivity;Kriging

2016-10-19；Revised2017-04-01；Accepted2017-06-06;Publishedonline2017-06-121142

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171011.html

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10.7527/S1000-6893.2017.120870

V215.7

A

1000-6893(2017)10-220870-10

2016-10-19；退修日期2017-04-01；錄用日期2017-06-06；< class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2017-06-121142

http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171011.html

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.E-mailzhenzhoulu@nwpu.edu.cn

樊重慶，呂震宙．基于模糊Hausdorff距離的多輸出全局靈敏度分析方法J.航空學報，2017,38(10):220870.FANCQ,LYUZZ.GlobalsensitivityanalysismethodformultivariateoutputbasedonfuzzyHausdorffdistanceJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(10):220870.

(責任編輯：張晗)