解析構造法在高中數學解題中的使用研究

江蘇省如東縣岔河中學 吳 建

解析構造法在高中數學解題中的使用研究

江蘇省如東縣岔河中學 吳 建

在數學學習中，恰當的方法選取顯得極為重要。教師在教學時使用不同的解題方法，以幫助學生理清解題思路，尋求更多、更好的切入點。其中，構造法應用較為廣泛，其主要通過題目所給條件或已有結論，通過將“未知量”有效轉化成為“已知量”，促使學生形成精準的解題思想，真正加快解題速度。

一、構造方程

在高中數學的學習中，方程是最為常見的內容，在利用構造法進行解題的過程里，方程構造法的出現也是十分頻繁，相信學生對于這一塊的內容都不會感到陌生。教師可建議學生基于題型內若干數量關系、結構特質，通過假設確立一種等量性公式，利用恒等式的靈活變形，對那些未知量之間所蘊含的聯系進行詳細的分析，然后根據方程的相關理論，可以使問題在新的關系下得以轉換、獲解，有效提高學生的解題效率。

例1 已知存在x、y、z三個實數，它們之間的關系表示為x+y+z=5，xy+yz+zx=3，據此求出z的最大值是多少。

分析：在解決這類問題的時候，老師首先要引導學生注意題目中出現的兩數和與兩數積的內容，通過這兩個突破點，學生可以利用構造法來進行一元二次方程的構造，并且借助Δ≥0的數學性質來對求值和求最值的問題進行解決。

解：由題中的條件可推知，5-z=x+y，并且xy=3-z（x+y）=3-z·（5-z）=z2-5z+3，

所以，可以確定x、y是關于t的一元二次方程的兩個根：

t2-（5-z）t+z2-5z+3=0存在兩個實根，

可以推出Δ=（5-z）2-4（z2-5z+3）≥0，

經過方程求解，可以推出（3z-13）（z+1）≤0；

利用方程解析，可以解得：-1≤z≤

并且當x=y=正好滿足題中的關系式，

所以，z的最大值為

解后反思：針對構造方程的內容，這里需要強調的一點是，在解題的過程中一定不能盲目地構造。方程的適用性盡管廣泛，對于求值和求最值都有著十分重要的突破，但在構造前，需盡快進入主題，以使復雜的問題變簡單，學生在對此類題目進行解答的過程中，觀察、思維能力會有所提高。

二、構造函數

函數是當前高中數學學習中的重要知識組成，因其重點和難點的地位，實現這部分內容學習的突破能夠確保學生學業成績處于較好的水平。函數構造法可在引導學生具備正確解題思想、提高解題能力方面發揮更大的效應。

例2 已知α、β、λ均為正實數，并且α＜β，請證明

分析：在解決這類問題的時候，很多學生看到那些復雜的未知項就會感到負面情緒，老師要鼓勵學生采用構造輔助函數的方法，通過未知項之間的關系對比來進行解決。由于這個關系式中，左邊比右邊多了個未知項λ，所以不妨構造出函數f（x）=（x≥0），則可知道f（x）=1-并且函數f（x）在定義域內是單調增函數，即當λ＞0的時候，f（x）＞f（0），已知λ為正實數，所以可以證明的關系式成立。

解后反思：不等式的證明被合理轉化成使用導數來研究函數單調性或者求出最值的問題，其實就是借助構造函數中的構造輔助函數來完成的，據此驗證各種關系式。構造這一可導函數為使用導數來對不等式加以證明的關鍵所在。解題過程中可緊扣不等式的結構特征變通構造法，以滿足不同類型的解題需求。

三、構造復數

與實數對比，復數可以理解為新的拓展與延伸。學生在解題目時倘若遇到極為棘手的實數問題，可以換個思路，將其轉化為復數方面的問題，看似數的結構被復雜化，但是這樣也可以使原本麻煩的問題簡明化，利用構造復數的方法，可以開拓學生的解題思路，幫助他們更加全面地認識數的相關概念。

例3 求函數y=

分析：這種問題的求解若一味堅守實數思路，則解題會非常艱辛，所以，我們不妨先將作（-x+1）+3i的模，完成這一設定之后，可根據復數模的性質在較短的時間內求出解。

解：設Z1=x+2i，Z2=（-x+1）+3i，Z1+Z2=1+5i，

解后反思：關于復數的性質方面有代數、三角形、幾何等若干種表達方法，可以在解題時利用好這些內容，從新視角出發，將原本復雜的解題過程變得簡單化，可以巧妙地對代數、三角、幾何等內容進行聯系，拓寬學生的解題思路，提高學生的解題效率。當然，在應用中，學生也要大膽地進行創新，不要被傳統的思維模式所限定，利用復數本身的特點，展開全面的多樣的解題手段。

四、構造向量

向量內容在高中數學解題中的應用較為廣泛，巧妙使用構造向量可有效提高解題的效率，尤其是針對不等式的結構內容，譬如xx+y的形式，都可以采用向量的數量積的坐標方法來進行表示，在適當對原來的不等式適當變形中，找到便于證明不等式的更好解題思路和方法。

例4 已知a,b均大于0，試證明

分析：在進行解答之前，我們首先要對這道題的結構內容進行詳細的分析。左邊的內容是和的形式，右邊的內容則是常數的形式，根據向量的定理可知，左邊的內容稍加變形，就可以表示出兩個向量的坐標，緊接著，對兩個向量的模進行計算，結合數量積和模之間的關系，就可以構造出一個不等式，進而來證明結論成立。

解后反思：在這道例題中，通過構造二維向量，并且巧妙地利用向量數量積的定義和性質內容來進行最大值的求解，在很大程度上減輕了求最大值的難度。所以，在高中數學的解題中遇到求最值的問題時，要根據題干內容合理構造向量，體現其解決問題的便捷性，鍛煉自身的數理思維。

在高中的學習階段，由于課程內容繁多，并且學生也不得不面對升學的壓力。高中階段的數學內容，更強調學生用成熟的解題思維來應對，所以在實際的學習中，有些同學不免會出現消極的學習情況。針對這樣的問題，老師不要過于指責學生本身的問題，應該結合實際的教學內容，利用“構造法”幫助學生深入了解相關的數理概念，尋覓到學習的訣竅，既能使得學生的解題速度和正確率得到優化，更可讓學生具備數學學習的充足信心和動力，為將來的發展打下良好的基礎。