從一道題看高中生解析幾何運算的常見錯誤

江蘇省蘇州市吳中區甪直高級中學 陳生虎 馮中芹

從一道題看高中生解析幾何運算的常見錯誤

江蘇省蘇州市吳中區甪直高級中學 陳生虎 馮中芹

心理學家蓋耶認為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻。”在數學教學過程中，教師抓住學生的錯誤根源，利用好錯誤的根源，必然會提高教師的日常教學效率，使得學生的成績得到真正的提高。

在很多數學考試中我們發現，有些學生雖然寫得滿滿的，但是分數很低。一般情況下，學生能將卷子寫得滿滿的，說明他們對于知識的掌握程度還是可以的，那問題出在哪里呢？教學實踐表明，學生往往是在計算上出了問題。

解析幾何一直是高考解答題必考題，在江蘇高考試卷中位于18或19題的位置，滿分分值為16分，一般都有2～3小問。第一問一般比較簡單，最后一問都較難，屬于難題。學生怕做解析幾何題，主要原因是解析幾何是用代數的方法解決幾何問題，而用代數方法就意味著要計算，從最近幾年流行的直線與橢圓問題來看，計算量在逐年提高，需要學生有很強的計算能力，使得學生對解析幾何的解答題產生了畏懼心理，怕算，很難得到滿分。那么為什么學生計算能力差呢？

最近，筆者所任教的學校組織了高二年級12月份摸底考試，數學試卷的19題為：

已知橢圓C：

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設BP的斜率為k，MN的斜率為m。證明2m-k為定值。

考試結束后，筆者發現這道題并不是很難，但是學生的得分率很低。這道題共16分，絕大部分學生得到了第（1）小問的4分，第二小問答對的非常少，筆者詢問了本班的學生，大部分說“第（2）小問我會做，但是時間不夠，來不及運算，計算量太大、太復雜”，真的是“太復雜”嗎？為此，筆者進行了調查研究。

一、研究方法

1.問卷編制：問卷分四部分：是否完全算出結果、做題時間、計算的步數、寫出計算出錯的步驟，最終形成調查問卷。

2.調查方法：觀察法、文獻分析、調查問卷與個別訪談相結合。

3.數據統計：調查共發放問卷300份，收回275份，有效問卷250份。

二、調查過程

1.制定周密、合理的調查問卷。

2.發放調查問卷，在甪直高級中學各班級發放調查問卷，以達到調查的普遍性。

3.回收調查問卷。

4.收集數據并進行統計。

三、學生常見計算錯誤分析

解答本題的常規思路是，由給出BP的斜率為k和點B(2，0)寫出直線BP的方程；再聯立直線BP與橢圓方程，化簡得到點P坐標，從而求出直線DP的方程；緊接著根據直線DP的方程求出點N坐標；聯立直線BP與直線AD的方程得到點M坐標；最終由M、N兩點坐標得出結論。

（2）因為B（2,0），P不為橢圓的頂點，則直線BP的方程為

則2m-k=為定值。

1.過分追求計算速度，“跳步”現象嚴重

2.懼怕帶字母的運算，信心不足

學生2 算出P點坐標為出現了k3，他們認為接下來的運算肯定進行不了，其實P點坐標為沒有出現k3，是他沒有通分化簡。這種現象在學生中很普遍，很多學生對帶字母的代數式運算能力差，遇到三次或者三次以上的代數式無法正確運算。另外，因為高中數學計算量比初中大，對高二解析幾何學習缺乏自信心，遇到解析幾何解答題就沒有信心算下去。

3.對代數式子結構分析能力差

四、對解析幾何有關運算教學的幾點看法

解析幾何一直是高考的重點，師生都非常重視，但是學生常常感覺似懂非懂，解題出錯率高。結合以上的分析，筆者對解析幾何的運算教學提出幾點看法：

1.注重基礎運算教學

本文中試題的參考答案是基本方法，學生容易理解，但是運算量偏大，很多學生不敢下筆，從這一方面說明我們教學中應該重視基礎運算，特別是帶字母的代數式計算。其中主要包括點與點、點與直線的距離，直線中交點、斜率的計算，解方程組等等。筆者認為，教師在平時教學時，一定不能過分強調特殊技巧的運算，要注重基礎運算。

2.注重計算過程，加強訓練

對于很多學生來說，一講就會，一做就錯。很多教師都有這樣的經歷：將學生聽懂、訂正過的一道解析幾何題目再讓學生做一遍，結果只有一部分同學能完成，很大一部分原因在計算上。在平時練習中，要有針對性地進行計算訓練。在平時上課時，運算過程要由學生自己完成，而不是老師板書。有句話說得好：“看老師講10道題也不及自己親手做一道題。”遇到最后一問時，不能讓學生等著老師運算，只有不斷地訓練，才能提高運算能力。

3.培養學生分析代數式子結構的能力

在日常教學中，不能盲目地讓學生算，要培養學生對代數式子的觀察能力，特別是在含字母的代數式計算過程中，要邊計算邊觀察能否進行因式分解、約分。教師應指導學生合理地運算。在教學過程中要以幾何方法為輔助，比如圓的性質等重要的幾何性質，能給計算帶來很大的簡便。

4.在教學過程中要體現“教”學生運算

有專家指出，學生計算上的錯誤是教師在教學中的財富。教師不能漠視學生在解析幾何計算中錯誤的出現，珍視學生的計算錯誤，正確善待這些錯誤，會讓每一位教師的教學開拓出一片新的天地。