對話結構，助力數(shù)學概念學習
——以《分數(shù)的意義》的教學為例

江蘇南京市高淳區(qū)寶塔小學 吳小輝

對話結構，助力數(shù)學概念學習
——以《分數(shù)的意義》的教學為例

江蘇南京市高淳區(qū)寶塔小學 吳小輝

認知的結構觀強調學習是學生內部認知結構的形成和重組的過程，有意義的學習過程就是符號代表的新知識與學生認知結構中已有的適當觀念建立的非人為的實質聯(lián)系。教學中，教師一方面應該把握數(shù)學知識的核心本質和蘊含的數(shù)學思想，另一方面也要充分考慮學生原有的經驗，包括生活經驗、知識經驗、思維方式等，在這兩者之間建立對話的橋梁，開展適切的數(shù)學活動，使學生經歷學習真正發(fā)生的過程，準確地掌握數(shù)學概念，構建數(shù)學知識的整體結構。

一、對話思維結構，轉換思維方式

小學生的數(shù)學思維容易形成自然結構，這種自然結構是通過感知已有的知識和經驗獲得相關信息，按照自身的經驗將這些信息聯(lián)系起來所自然形成的一種思維結構。與之相對應的是思維的加工結構，它是完成學習任務的一種應然結構，也就是期望學生所形成的思維結構。這兩種思維結構之間的差異往往是學生學習過程中的難點。因此，教師既要了解思維的加工結構，又需要了解學生思維的自然結構，在教學中有意識地讓學生經歷自然結構與加工結構之間的對比與轉換，幫助學生轉變思維方式。

【案例描述】

課件展示，依次出示5個蘋果。教師邊展示，學生邊數(shù)一數(shù)。

師：我們認識物體往往從一個物體開始。但是如果換一個角度，你可能會有不同的發(fā)現(xiàn)。

課件展示：

師：如果將5個蘋果看成“1”，紅色蘋果用什么數(shù)來表示？

師：同樣的5個蘋果，觀察的角度不同，得到的結果也不同。將1個蘋果看成1，一共就有5個蘋果；如果將5個蘋果組成的一個整體看成1，每個蘋果就是這個整體的。

人們對數(shù)的認識在不斷深化和發(fā)展，這一過程從自然數(shù)開始，因為只有自然數(shù)是自然地存在著的，某種意義上說是看得見、摸得著的。從這一層面來看，自然數(shù)就是學生腦中關于數(shù)的認識的自然結構。作為分數(shù)而言，則來自于人類在生活中再創(chuàng)造的模型，屬于一種加工結構。站在學生的已有思維結構分析，他們往往會將自然數(shù)的思維方式遷移到分數(shù)的學習中，即一個一個地數(shù)，先部分后整體，這是固化的數(shù)學思維方式。相反地，分數(shù)的認識則需要先關注整體，再確定部分。這截然不同的兩種思維方式就是學生在學習分數(shù)概念時面臨的問題。追尋學生認數(shù)的過程，其基本起點是從自然數(shù)1開始，如何將現(xiàn)在的分數(shù)思維方式與原有的自然數(shù)思維方式有機融合應該是教師重點考慮的。因此，教學中以合適的載體幫助學生切實體會到兩種不同思維方式的存在，對學生分數(shù)概念的學習非常重要。

二、對話經驗結構，明晰本質屬性

任何知識的學習和理解都要充分考慮學生原有的學習經驗，以學生已有的相關知識經驗為基礎，通過深層次的思維活動，對原有經驗做出相應的調整、改造和整合，從而準確理解和建構新的知識。

【案例描述】

師：用分數(shù)表示下列圖形中的涂色部分。

學生匯報每幅圖分別用什么分數(shù)表示，是怎樣想的。

師：比一比，根據(jù)你們的經驗，這幾幅圖可以怎樣進行分類？

在師生交流的基礎上明確，1個物體、1個圖形、1個計量單位、1個整體等被平均分成4份，其中的1份都可以用來表示。

……

（引入單位“1”的概念）

師：說一說上面每幅圖中分別把什么看成單位“1”。

學生在以前的學習中，已經初步認識到可以把一個物體、計量單位、圖形等進行平均分從而得到分數(shù)，也可以把許多物體組成的一個整體平均分得到分數(shù)，但這些經驗都是處于零散的分布狀態(tài)。如果這些分散的經驗積聚起來并加以提煉，就會使學生認識到無論被平均分的對象是什么，無論有多大、有多少，都可以用1個單位量來表示，這個單位“1”的出現(xiàn)體現(xiàn)了一種高度概括的數(shù)學思想。

單位“1”是一個不定性、不定量的數(shù)學概念，單位“1”的理解對學生指認分數(shù)概念的影響很大，無法正確認識單位“1”，會讓學生分數(shù)的學習變得毫無意義。因此在分數(shù)的學習時，教師應該激活學生原始的經驗結構，在比較中逐步明晰概念本質，促進分數(shù)概念的學習。上述案例中，充分利用了與學生學習、生活相關的素材作為教學背景，呈現(xiàn)不同的，在研究中使學生聚焦于不同的素材都能用來表示，都將不同的對象平均分成了四份，涂色部分都是這樣的一份，這樣學生各自在已有的“”的經驗基礎上，既提升了對“”更一般的認識，又準確理解了單位“1”的本質。

三、對話表征結構，豐富思維經驗

布魯納在《教育過程》中明確指出了學科結構論，認為學生學習的重點不應是學科的現(xiàn)成知識，而應是該學科的基本概念、基本原理、基本規(guī)律及其相互聯(lián)系。因此，知識越是基本，就越應該放在復雜的情境中進行檢驗，以不同的表征形式來檢驗學生的習得，這樣運用知識解決新問題的適應性就越寬廣，產生遷移的可能性就越大，有利于培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通的能力。

【案例描述】

師：你能在括號里填上合適的分數(shù)嗎？

師：請你估一估，大概是幾分之幾？怎樣才能得到準確的分數(shù)？

根據(jù)學生的回答，課件中展示將0到1平均分成6份，第一個括號可用表示。

師：第二個括號可以用什么分數(shù)來表示？

師：可不可以用其他分數(shù)來表示？

學生思考、交流，認識到還可以將0到1看成平均分成了三份，第二個括號用表示。

……

小學生的數(shù)學思維易呈現(xiàn)單維度表征，習慣從一個維度去思考問題，當需要從兩個維度甚至多個維度去深入思考時，他們就顯得力不從心，無所適從。分數(shù)單位是分數(shù)中的重要概念，與以往的整數(shù)計數(shù)單位相比，分數(shù)單位更加抽象，這也是本節(jié)課學習的難點之一。盡管學生能夠說出諸如的分數(shù)單位是等，但這并不能說明學生真正理解了分數(shù)單位，這僅僅是形式上的認知。如何讓學生經歷過程，正確地建立分數(shù)單位的概念非常重要。案例中的第二個括號既可以用兩個（即）表示，又可以用表示，這需要學生從不同的表征來理解數(shù)軸上平均分的份數(shù)以及相對應的分數(shù)單位。這種復雜的情境促使學生直觀認識到由于平均分的方法不同，所得到的分數(shù)單位也不同，數(shù)軸上同樣的點有時可以用不同的分數(shù)來表示，這對于學生的分數(shù)學習來說是一個新的收獲。用同樣的問題情境，把不同的表征形式聯(lián)系起來，實現(xiàn)了學生結構化的抽象認識。

四、對話知識結構，實現(xiàn)整體建構

數(shù)學課程標準指出：“數(shù)學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系。”學生主動建構內部心理表征的過程，主要包括兩方面：一是對新知識的意義的建構，二是對原有經驗結構的改造與重組。教學中，教師要充分關注相關知識的比較與聯(lián)系，打通知識之間的脈絡，從數(shù)學思想的高度建構知識的整體結構。

【案例描述】

師：剛才我們研究了分數(shù)，了解了分數(shù)的意義。課件出示：

師：如果把圖①中的蘋果看作單位“1”，那么圖②中蘋果的數(shù)量分別怎樣表示？

課件有序出現(xiàn)圖②中的蘋果。

師：圖③、④和圖①相比，又可以怎樣表示？

生：第3組蘋果是第1組的2倍；第4組蘋果是第1組的3倍。

師：比一比，今天研究的分數(shù)與以前所學的倍數(shù)，它們有什么聯(lián)系？

……

從數(shù)學知識的角度來看，分數(shù)與倍數(shù)是截然不同、互相對立的兩個概念。但是從數(shù)學思想的高度來看，兩者又是辯證統(tǒng)一的，因為分數(shù)和倍數(shù)都是把某一種數(shù)量確定為一個單位量，再把另一種數(shù)量與之進行比較，從這個意義上來說分數(shù)與倍數(shù)的概念是相通的，只是所得的結果采用了不同的表達方式而已。上述案例中對倍數(shù)和分數(shù)概念的比較，有助于學生認識到倍數(shù)和分數(shù)是對立又統(tǒng)一的知識點，從而感受數(shù)學的整體性，體會到不同的數(shù)學知識可以從相同的角度加以分析，獲得更深層次的理解。?