基于格林函數法的奇型Mathieu-Gaussian光束?

吳瓊 任志君 杜林岳 胡海華 顧穎楊朝鳳

1)(浙江師范大學信息光學研究所,金華 321004)

2)(浙江師范大學,浙江省光信息檢測與顯示技術研究重點實驗室,金華 321004)

基于格林函數法的奇型Mathieu-Gaussian光束?

吳瓊1)2)?任志君1)2)杜林岳1)2)胡海華1)2)顧穎2)楊朝鳳2)

1)(浙江師范大學信息光學研究所,金華 321004)

2)(浙江師范大學,浙江省光信息檢測與顯示技術研究重點實驗室,金華 321004)

格林函數法,Mathieu-Gaussian光束,虛源點

根據光束傳播的獨立性和疊加性原理,引入了一組能夠產生第一類(2n+2階)奇型Mathieu-Gaussian光束的虛光源點.利用虛源點技術和格林函數法,計算得到第一類奇型Mathieu-Gaussian光束的嚴格解析積分表達式.利用該表達式得到了軸上光場分布的積分解析解.以三階非旁軸修正為例,得到了第一類奇型Mathieu-Gaussian光束保留到三階非旁軸修正項的軸上光場分布精確解.

1 引 言

無衍射光束是滿足波動方程的一種特殊本征模式.無衍射傳輸模式的特殊之處在于其分布與傳輸距離無關,因而在傳播過程中,垂直于傳播方向的截面光強分布處處不變,即光束不會發生衍射.1987年,Durnin找到并產生了第一個可實用的無衍射光束——Bessel光束[1,2].由于無衍射Bessel光束在傳輸過程中形態不變,因此在產生后廣泛應用于科學實驗,比如光通信和檢測[3]、激光打孔或準直[4]、醫學成像[5,6]、微觀粒子的俘獲和操縱[7].需要指出的是,無衍射Bessel光束只是一個理論模型,就像實際并不存在理想的余弦波一樣,實際使用的Bessel光束均是剪切過的有限能量的準無衍射Bessel光束[3?7].

除無衍射Bessel光束之外,Gutiérrez-Vega等通過進一步的研究指出,在不同坐標系下的波動方程傳輸不變(無衍射)特解有四種形式,分別為直角坐標系下的Cosine光束、極坐標系下的Bessel光束、橢圓坐標系下的Mathieu光束[8?10],以及拋物坐標系下的Parabolic光束[11,12].對于橢圓坐標系下的無衍射Mathieu光束,在數學上描述它的Mathieu函數比描述Cosine光束和Bessel光束的Cosine函數和Bessel函數復雜得多,其光學形態也豐富得多.與Cosine函數和Bessel函數類似,Mathieu函數并不能平方可積,這意味著理想Mathieu光束有無窮大的能量.顯然,理想Mathieu光束僅僅是一個理論模型,實際中常使用被Gaussian函數剪切的、具有準無衍射傳輸特性的Mathieu-Gaussian光束[13?15].研究Mathieu-Gaussian光束的傳輸更具實際意義.

光束的傳輸問題本質上是衍射問題.Born和Wolf指出,“衍射問題是光學中遇到的最困難的問題之一,在衍射理論中,那種在某種意義上可以認為是嚴格的解,是很少有的”,“對少數其他衍射問題也求得了嚴格解.但是,由于數學上的困難,在大多數有實際意義的情況中,還必須采用近似方法”.近似方法只能處理滿足某種近似條件的光束傳輸問題,比如旁軸光學問題.對于光束傳輸的任意情況,特別是非旁軸情況,近似法不能給出正確結果.

在隨后的研究中,人們發現在構建虛源點基礎上[16?18],利用格林函數法[19?22],可研究某些光束的非旁軸傳輸.對于光束的傳輸(衍射)問題,虛源點技術將初始光束分解成很多點源的疊加,如果知道每個點源產生的場分布,利用光束的疊加原理,即可求出光束傳輸過程的場分布,這種方法稱為格林函數法.點源產生的場叫作格林函數.到目前為止,通過構建虛源點,利用格林函數法,已經研究了多種具有實用價值的光束的傳播,包括幾類準無衍射光束的傳播,比如Laguerre-Gaussian光束[19],Bessel-Gaussian光束[20],Elegant Hermite-Laguerre-Gaussian光束[21],Pearcey光束[22].然而,由于橢圓坐標系下Mathieu函數的復雜性,至今還未見通過構建虛源點,利用格林函數法研究Mathieu-Gaussian光束的報道.

以第一類奇型Mathieu-Gaussian光束為例,首先根據光束傳輸的獨立性和疊加性原理,將Mathieu-Gaussian光束分解為不同階次的Bessel光束無窮項求和的形式.然后,通過構建虛源點,利用格林函數法理論推導得到Mathieu-Gaussian光束傳輸的解析積分表達式.根據該積分表達式,得到Mathieu-Gaussian光束在軸上光場的三階非旁軸修正.研究結論進一步說明了格林函數法在研究光束旁軸與非旁軸傳輸方面的重要作用.

2 理 論

在橢圓坐標系下描述Mathieu光束,形式最為簡單直接[8?10]. 在橢圓坐標系(ξ,η)下,Mathieu光束有四種類型,分別為第一、第二類奇型Mathieu光束和第一、第二類偶型Mathieu光束.第一、第二類奇型Mathieu光束即se2n+2(η,q)Jo2n+2(ξ,q)和se2n+1(η,q)Jo2n+1(ξ,q),n=1,2,3,···,se和Jo分別為奇型角向和奇型徑向Mathieu光束;第一、第二類偶型Mathieu光束即ce2n(η,q)Je2n(ξ,q)和ce2n+1(η,q)Je2n+1(ξ,q),n= 0,1,2,···,ce和Je分別為偶型角向和偶型徑向Mathieu光束[13?15,23?25].

相對于人們熟知的直角坐標和極坐標,橢圓坐標系很少使用,數學上也較難理解.為此,根據光束傳輸的獨立性和疊加性原理,與文獻[13—15,23—25]所采用的數學手段類似,我們仍采用級數展開的方式,將Mathieu函數展開為極坐標系的形式.兩類奇型Mathieu光束可分別展開為[13?15,23?25]

兩類偶型Mathieu光束可分別展開為

式中ρ,?,z為圓柱坐標系下的位置變量;kt為光束的徑向分量;J2j(·)和J2j+2(·)分別表示2j階和2j+2階第一類Bessel函數;q為橢圓參數,,h為對應橢圓兩焦點間的距離;為Mathieu函數的展開系數[14].

由(1)—(4)式可知,根據光束傳播的獨立性和疊加性原理,在圓柱坐標系下,Mathieu-Gaussian光束能夠展開為不同階數的Bessel光束的無窮項求和的形式.這為我們避開橢圓坐標系下復雜的Mathieu函數運算,借助較為成熟簡單的Bessel函數的性質,在圓柱坐標系下研究Mathieu-Gaussian光束的傳輸特性,提供了一個很好的思路.典型地,以第一類奇型Mathieu-Gaussian光束(即2n+2階奇型Mathieu-Gaussian光束)作為研究對象,其在z=0平面的場分布為[13?15]

式 中2n+2(n=0,1,2,···)為奇型Mathieu-Gaussian光束的階數,ω0為z=0平面上光束的束腰寬度.

在極坐標系下,標量波函數E(ρ,?,z)作為標量波動函數,能夠產生沿z軸正方向(在z＞0的物理空間)傳播的第一類奇型Mathieu-Gaussian光束,且滿足齊次亥姆霍茲方程.既然Mathieu函數可在極坐標系下展開[13?15,23],根據虛源技術,假設有一系列強度為Scs(2j+2),位于z=zcs,半徑ρ=ρcs,并帶有一個方位角變量sin[(2j+2)?]的電環,能夠產生第一類奇型Mathieu-Gaussian光束.只要選取合適的參量Scs(2j),zcs和ρcs,即可得到所需Mathieu-Gaussian光束.在極坐標系下,設虛光源的標量波函數E(ρ,?,z)為

當標量波函數E2n+2,2j+2(ρ,?,z)為第一類奇型近旁軸Mathieu-Gaussian波函數時,U2n+2,2j+2(ρ,z)滿足非齊次亥姆霍茲方程

利用極坐標系下的傅里葉-貝塞爾變換可得

由(7)式可得關于U2n+2,2j+2(ρ,z)的光譜2n+2,2j+2(η,z)的微分方程,將2n,2j(ρ,z)代入(8)式,有

當Re(z?zcs)＞0時,有.現利用標準旁軸表述,在旁軸條件η2?k2限制下,將ζ展開為關于小量η2的級數,保留其首項k作為振幅因子,保留其前兩項作為相位因子.在上述近似條件下,(10)式化簡為

計算(11)式的積分,可以得到

為了在z＞0處獲得第一類奇型Mathieu-Gaussian光束,假設在邊界z=0處,在旁軸近似下,入射場分布由(5)式給出.通過比較(5)式與(12)式在z=0處的場分布,可以得到參量Scs(2j+2),zcs和ρcs為

將(13)—(15)式代入(12)式, 得到關于U2n+2,2j+2(ρ,z)的旁軸近似解為

式中U2n+2,2j+2,p的下標p表示旁軸近似. 此外, 將(13)—(15)式代入(10)式, 得到關于U2n+2,2j+2(ρ,z)的精確解的積分表達式為

結合(6)式和(16)式,得到旁軸條件下的第一類奇型Mathieu-Gaussian光束.結合(6)式和(17)式,可得第一類奇型Mathieu-Gaussian光束的光波傳輸場.根據(13)式和(15)式,我們發現(7)式給出的光源位于z＞0處.(17)式給出的結果即為求解與(7)式相關的齊次亥姆霍茲方程,得到的Mathieu-Gaussian光束在自由空間傳輸的精確解析積分表達式.不難看出,積分表達式((17)式)包含了低階旁軸近似解((16)式)和所有更高階的所謂非旁軸項(如倏逝波一樣).

運用格林函數法,進一步研究第一類奇型Mathieu-Gaussian光束傳輸的解析表達式.格林函數的微分方程為

其中

(18)式等號兩邊同乘以sin[(2j+2)?cs]且對?cs積分,積分區間為[0,2π],結合(13)—(15)式,且與(7)式進行比較,可得

其中

由(5)式,(11)式和(21)式可知,ρ變化的度規長度是ω0,η的變化范圍是0—1/ω0的數量級范圍.如果光束束腰寬度ω0遠大于波長λ=2π/k,可以得到η2?k2,這與前述得到的旁軸近似解的條件相同.顯然,實現旁軸近似的要求,就是光束寬度必須比波長大.對大多數光束來說,這是容易滿足的條件.這也是大多數光學問題能夠在旁軸近似條件下得到相對容易的處理并可得到基本正確的結果的原因.

我們將計算2n階奇型Mathieu-Gaussian光束軸上(ρ=0)光場的非旁軸修正項.根據(6)式和(17)式,可以得到軸上光場的分布為

對(23)式中的振幅因子1/ζ和相位因子exp[iζ(z?ia)]作級數展開. 對于η2?k2的情況,兩者級數展開結果中,只有(kω0)?2m(m=0,1,2,···)及之前的項被保留,因而獲得m階修正項.為了獲得軸上光場的三階非旁軸修正,此時m=3,即保留(kω0)?6及之前的項.在這樣的展開結果下,將(23)式變形為

其中

式中f2(z)=(1+iz/a)?1.

存在關系式

其中

(31)式表示軸上的第一類奇型Mathieu-Gaussian光束((23)式)保留到三階非旁軸修正項的非旁軸表達式.典型地,取λ=632.8 nm,ω0=45μm,q=6,基于(31)式,對第一類奇型Mathieu-Gaussian光束的軸上光強分布進行數值模擬,結果如圖1所示.當傳輸距離較小時,利用本文推導的非旁軸表達式計算得到的軸上光強分布結果與旁軸理論計算結果有明顯差異.很顯然,基于衍射理論研究光束近場傳輸時,只有利用非旁軸理論才能計算得到正確的結果.但非旁軸理論的數學計算極為復雜,一般很難給出解析表達式.本文基于虛源技術的格林函數法給出Mathieu-Gaussian光束解析表達式,對于解析研究這種重要光束的傳輸有較為重要的理論價值.而且從圖1可以看出,隨著傳輸距離的增加,旁軸的近似計算結果與考慮校正項的非旁軸計算結果越來越接近.這說明只有在研究光束的遠場傳輸時,才能利用旁軸理論的近似法計算得到相對正確的結果.這一結論與經典的光學理論相一致.

綜上所述,通過構建虛源點,利用格林函數法,本文研究了第一類奇型Mathieu-Gaussian光束,即2n+2階奇型Mathieu-Gaussian光束傳輸的嚴格解析表達式.另外三種Mathieu-Gaussian光束,包括第二類(2n+1階)奇型Mathieu-Gaussian光束,第一類(2n階)、第二類(2n+1階)偶型Mathieu-Gaussian光束,可作類似處理,限于篇幅,文中不再贅述.研究結果充分說明在構建虛源點的基礎上,利用格林函數法,可很好地研究Mathieu-Gaussian光束旁軸與非旁軸光場分布情況,這也為研究其他復雜光束提供了很好的方法與思路.

圖1 第一類奇型Mathieu-Gaussian光束軸上光強分布Fig.1.The on-axis intensity distribution of the odd Mathieu-Gaussian beam of the fi rst kind.

3 結 論

根據光束傳播的獨立性和疊加性原理,Mathieu-Gaussian光束可寫為不同階次的Bessel光束無窮項求和的形式.這為我們借助Bessel光束的性質,在圓柱坐標系下研究Mathieu-Gaussian光束在自由空間中的傳輸特性提供了可能.引入了一組能夠產生第一類(2n+2階)奇型Mathieu-Gaussian光束的虛光源點,利用格林函數法,推導得到該光束在自由空間傳輸的嚴格解析積分表達式.根據第一類奇型Mathieu-Gaussian光束的積分形式精確解,直接計算得到光軸上光場分布的解析解.以三階非旁軸修正為例,得到了第一類Mathieu-Gaussian光束保留到三階非旁軸修正項的軸上光場分布精確解.研究結果充分體現了通過構建虛源點,利用格林函數法研究光束特性、非旁軸修正等光束旁軸與非旁軸光場分布的好處.本文基于光束傳播的獨立性和疊加性原理,利用復雜函數展開為簡單函數疊加的方法,為現代光學中研究其他復雜光束問題提供了很好的方法與思路.

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Odd version Mathieu-Gaussian beam based on Green function?

Wu Qiong1)2)?Ren Zhi-Jun1)2)Du Lin-Yue1)2)Hu Hai-Hua1)2)Gu Ying2)Yang Zhao-Feng2)

1)(Institute of Information Optics,Zhejiang Normal University,Jinhua 321004,China)
2)(Zhejiang Provincial Key Laboratory of Optical Information Detecting and Display Technology,Zhejiang Normal University,Jinhua 321004,China)

11 April 2017;revised manuscript

19 May 2017)

Like the theoretical pattern of non-di ff racting Bessel beams,ideal non-di ff racting Mathieu beams also carry in fi nite energy,but cannot be generated as a physically realizable entity.Mathieu-Gaussian beams can be experimentally generated by modulating ideal Mathieu beams with a Gaussian function,and thus they are a kind of pseudo-nondi ff racting beams with fi nite energy and fi nite transverse extent.The research of Mathieu-Gaussian beam propagating characteristics in free space is of great signi fi cance.In order to analytically study the propagation of Mathieu-Gaussian beams,the Mathieu function is expanded into the superposition of a series of Bessel functions in polar coordinates based on the superposition principle of light waves.It means that the Mathieu-Gaussian beam can be converted into accumulation of the in fi nite terms of the Bessel beams with different orders.According to the properties of the Bessel function,the free-space propagation properties of Mathieu-Gaussian beams can be studied in the circular cylindrical coordinates.Thus,a group of virtual optical sources are introduced to generate the odd Mathieu-Gaussian beams of the fi rst kind,i.e.,(2n+2)th-order,which is a family of Mathieu-Gaussian beams.Using the virtual source technique and the Green function,we derive the rigorous integral formula for the odd Mathieu-Gaussian beams of the fi rst kind.Taking for example the fi rst three orders with non-paraxial corrections,the analytical solution of the on-axis fi eld of odd Mathieu-Gaussian beams of the fi rst kind is further obtained from the integral formula.The axial intensity distribution of the odd Mathieu-Gaussian beams of the fi rst kind is numerically calculated by the integral formula.The simulation results show that the calculation results obtained with the paraxial theory and the rigorous integral expressions of nonparaxial Mathieu-Gaussian beams are obviously different when the propagation distance of the odd Mathieu-Gaussian beams of the fi rst kind is small.The calculation results of the two methods are coming closer and closer with the increasing propagation distance.The results indicate that the correct results can be obtained with the paraxial theory when we study the propagation of Mathieu-Gaussian beams in the far- fi eld,but the non-paraxial theory must be used to obtain correct results when we study the propagation of Mathieu-Gaussian beams in the near- fi eld.Owing to the complexity of the non-paraxial theory,it is difficult to obtain the exact analytic solutions of Mathieu-Gaussian beams in the near- fi eld with the classical di ff raction theory.Based on the superposition principle of light waves,by introducing the virtual source technique and the Green function,the complex Mathieu-Gaussian function can be expanded into the superposition of a series of simple Bessel functions,and the axial intensity distributions of Mathieu-Gaussian beams in the far- fi eld and the near- fi eld can be studied well.It will also provide a feasible method to study other complex beams propagating in free space.

Green function,Mathieu-Gaussian beams,virtual sources

(2017年4月11日收到;2017年5月19日收到修改稿)

10.7498/aps.66.204201

?國家自然科學基金(批準號:11674288)和浙江省教育廳科研項目(批準號:Y201534211)資助的課題.

?通信作者.E-mail:wuqiong@zjnu.cn

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

PACS:42.25.Bs,42.68.Ay,42.30.KqDOI:10.7498/aps.66.204201

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11674288)and the Education Department Program of Zhejiang Province,China(Grant No.Y201534211).

?Corresponding author.E-mail:wuqiong@zjnu.cn