小議多項(xiàng)式的最大公因式

周曉燕

摘 要：本文從多項(xiàng)式的最大公因式的定義出發(fā)，探討了多個多項(xiàng)式的最大公因式的性質(zhì)，并且系統(tǒng)地對其定理以及性質(zhì)給予相應(yīng)的證明.此外，探求多項(xiàng)式的最大公因式的多種求解方法.多項(xiàng)式的理論在數(shù)學(xué)史源遠(yuǎn)流長，內(nèi)容豐富，高等代數(shù)在大學(xué)里的開設(shè)主要包含兩部分：線性代數(shù)初步、多項(xiàng)式代數(shù).這有力的彰顯了多項(xiàng)式理論在高等代數(shù)里的地位，本文對多個多項(xiàng)式的最大公因式的性質(zhì)做出系統(tǒng)歸納并證明.

關(guān)鍵詞：多個多項(xiàng)式 最大公因式 高等代數(shù)

中圖分類號：O151 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）09（b）-0164-02

1 兩個多項(xiàng)式最大公因式的定義

定義1[1]設(shè)，如果滿足以下條件

①且；②，若且，則；則稱是的一個最大公因式.

注：①的最大公因式有無窮多個，我們約定把的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式為記作.②雖然最大公因式不唯一，但是其首項(xiàng)系數(shù)為1的公因式是唯一確定的.③如果，那么的最大公因式為0.④如果與不全為0，那么.⑤對于，與零多項(xiàng)式0的最大公因式是.⑥若是的最大公因式，一定有下式成立（為非零常數(shù)）.⑦若，則為的最大公因式.

2 多個多項(xiàng)式最大公因式

2.1 多個多項(xiàng)式最大公因式的定義

定義2-1存在最大公因式，，當(dāng)滿足以下條件時：①；

②，若，則；

我們稱是的最大公因式

注：我們把的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式為記作.

2.2 多個多項(xiàng)式最大公因式的性質(zhì)

定理2-1設(shè)是中的個多項(xiàng)式，則在中存在一個最大公因式，且可以表示成的一個組合，即有中多項(xiàng)式使：

.

證明 先證的存在.

對于中的任意兩個多項(xiàng)式，在中一定存在一個最大公因式，則也存在最大公因式.

依此類推，即可得的最大公因式也存在.

其次，證明可以由線性表出.

當(dāng)時，結(jié)論顯然成立.

假設(shè)命題對也成立，即在中一定存在，使得：

.

再證明命題對n也成立.存在和，使得：

.

令.則.

故可以由線性表出.

定理2-2 若存在最大公因式，則也存在最大公因式，而且成立.

證明 由題意，我們可以令，

那么與的兩個多項(xiàng)公式必定存在最大公因式.

不妨設(shè)為，下面證明：.

又因?yàn)椋O(shè)是的任一公因式，則.這樣就是與的一個公因式，則：.

類似定理2-1的證明，可知，故結(jié)論成立.

定理2-3 中n個多項(xiàng)式互素的充分必要條件是中有，使：.

證明 必要性 由定理 2-1的證明直接得出.

充分性 設(shè)有，使得

.

而是的一個最大公因式.于是：.

從而，即互素.

定理2-4 在中n個多項(xiàng)式互素的充分條件是在中存在兩個多項(xiàng)式互素.

證明 如果存在兩個多項(xiàng)式互素.不妨設(shè)互素，則存在兩個多項(xiàng)式，使得：.

取，則.

故互素.

定理2-5 如果，都是多項(xiàng)式，而且則：

.

證明 由于：，，…，

因此，可得：，

同理可證：，，

從而可得：.

定理2-6 若，其中行列式，則：.

證明 已知方程組的系數(shù)行列式不等于零，則由克萊姆法則，可得

，，……，.

其中使把矩陣中A的第j列換成方程組的

，，.

又因?yàn)槲挥诰仃嘇j的一列，由行列式的定義知dj其實(shí)是的一個組合，即可以寫成

，，……

.

其中為常數(shù).

令，下面證明.

設(shè)是的任一公因式，由的表達(dá)式可知

，

所以可得：，

從而，即：.

定理2-7，則.

證明，，使得

，

.

將上述兩個式子相乘得到

.

故而：.利用次，命題即可得證.

3 最大公因式的求法

除了輾轉(zhuǎn)相除法，我們還可通過以下方法求得多項(xiàng)式的最大公因式.

3.1 因式分解法

定理3-1[1] 設(shè)為中的兩個多項(xiàng)式例，且的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為：，.

其中a、b分別是的首項(xiàng)系數(shù)，是兩兩不等的首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，，是非負(fù)整數(shù)，則

，這里.

例1，，求，的最大公因式.

解 因式分解，，則得：

， ，

所以.

3.2 運(yùn)用矩陣的初等變換法，求解多項(xiàng)式的最大公因式

定義3-2[6]矩陣，經(jīng)過初等變換變換為

，

那么為的最大公因式，.

例2，，求，的最大公因式.

解

即.

參考文獻(xiàn)

[1] 王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2] 柯召.數(shù)論講義[M].北京：高等教育出版社，1986.

[3] 農(nóng)利偉.求解多項(xiàng)式最大公因式的一個算法[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，27（5）：44-47.endprint