需求服從自由分布的兩階段供應鏈訂貨策略

倪冬梅 ，趙秋紅

(1.北京農學院 經管學院，北京102206；2. 北京新農村建設研究基地，北京102206；3.北京航空航天大學 經管學院，北京 100191)

需求服從自由分布的兩階段供應鏈訂貨策略

倪冬梅1，2，趙秋紅3

(1.北京農學院 經管學院，北京102206；2. 北京新農村建設研究基地，北京102206；3.北京航空航天大學 經管學院，北京 100191)

在企業的管理實踐中，庫存是一把雙刃劍. 庫存過少會造成服務水平下降，缺貨所帶來的機會成本就會增加，為了維持較高的服務水平，企業會提高庫存持有率，但庫存過多就會增加庫存費用，提高成本，使企業利潤降低. 因此，研究服務水平約束和缺貨成本之間的關系是很有必要的. 本文主要研究了在可變提前期和部分允許延遲交貨情形下零售商庫存決策問題，在分析服務水平約束基礎上建立需求服從自由分布情形下的庫存決策模型，并采用了Minmax方法來求最優訂貨量. 最后，分析了不同需求分布和庫存模型下最優解的差異，并對服務水平和安全系數進行了敏感度分析. 通過分析可知在進行庫存決策時將服務水平和缺貨成本同時考慮，可以讓企業清楚的知道每提高1%的服務水平所付出的成本，如果零售商只單獨考慮服務水平或者缺貨成本，零售商就無法知道自己損失的掉的成本或者服務水平是多少，因此，必須將成本和服務水平同時考慮，找到二者的最佳結合點，才能使企業在競爭中靈活地調整策略，來爭取競爭優勢.

服務水平；延遲交貨；提前期；庫存策略；自由分布

隨著競爭的加劇，企業決策者面臨的情形更復雜，比如當缺貨發生，并不是所有的顧客都會缺失，會有一部分顧客允許延期交貨. 在現實中，當缺貨發生時，許多因素會影響顧客允許延遲交貨的意愿. 比如顧客的喜好、耐心程度、折扣條件和商品可替代程度；換言之，允許延遲交貨的概率會隨著這些因素的變化而變化. Montgomery 等[1]是第一批研究缺貨和允許延期交貨的學者文獻[2-4]將該問題延伸到隨機需求下連續盤點庫存的優化問題中.

在庫存模型中，如果服務水平約束(Service Level Constraint，SLC)取代缺貨成本，這就意味著每期可用庫存量和缺貨量受到了限制文獻[6]，因此將服務水平約束引入庫存模型取代缺貨成文獻[5]改進了文獻[6]的工作，在目標函數中增加了缺貨成本，并將再訂貨點作為決策變量. 又有學者在Ouyang的目標函數基礎上考慮服務約束水平，而不再考慮缺貨成本. 可見，在以往研究中，服務水平和缺貨成本多是單獨考慮的. 因為服務水平約束比較容易建立，且方便計算，學者們漸漸用服務水平替代了缺貨成本. 但最近又有學者將服務水平和缺貨成本同時考慮. 因此，本文認為研究服務水平約束和缺貨成本是否可以相互替代是很有必要的.

在關于庫存策略的文章當中，需求分布基本都是確定的，文獻[9]圍繞零售系統在雙源供應下向需求服從泊松分布的顧客提供服務的庫存配置策略，文獻[10]研究需求依賴于上一周期服務水平、缺貨時訂單部分損失的兩周期易變質品庫存問題. 文獻[11]研究需求服從均勻分布情形下存在顧客購買專業的雙分銷渠道的庫存轉運策略. 已有研究針對需求服從自由分布的研究還比較少，因此本文主要討論連續盤點的庫存系統建立數學模型，并考慮了部分延遲交貨情況下的最優訂貨量，同時建立了服務水平約束. 當需求服從自由分布式時，采用Minmax方法來求最優訂貨量. 數據分析部分的對比分析充分說明企業若想提高服務水平就必須付出更多的成本.

1 問題描述與假設

本文考慮的是連續盤點庫存決策問題，涉及符號及假設條件如下所示.

符號：A表示每次訂貨成本；D表示平均需求率；k表示安全系數；h表示每單位商品的持有成本；L表示提前期；Q表示訂貨量；β表示允許延遲交貨的概率，β∈[0,1]；γ表示每單位商品的邊際利潤；π表示每單位商品的缺貨成本；C(Q,L)表示總成本.

總成本為:

minEC(Q,L)=

(1)

對于確定的安全系數，它表示提前期需求超過再訂貨點的概率. 實際上，沒有被滿足的需求比例不能超過某個確定值m. 因此服務水平約束表述為

(2)

2 需求服從自由分布的庫存決策

若X為隨機變量，分布函數為F，均值為μL，方差為σ2L，那么

(3)

對于任何一個r，存在一個分布函數F*∈F，使上式成立.

.

(4)

將不等式 (4) 代入(1)，將k作為決策變量，則最大成本函數為

(5)

(6)

不考慮約束進行求解，對Q、L求二階導數

(7)

因此，對于固定的M，L∈[Li,Li-1]，EC(Q,L,M)是凸函數，

(8)

對于固定的M和Q，EC(Q,L,M)相對L是凹函數.

因此，對于確定的M和Q，當L的取值在區間[Li,Li-1]的端點時，總成本最小.

(9)

(10)

(11)

解得

計算步驟：

Step1將Li和ki帶入式(9)計算Qi，i=1，2，……，n.

Step2將Li、Qi和ki代入式(1)，計算總成本Ci.

Step3重復Step 1和Step 2，找到最小的Ci，即Ci′.

Step4將Ci′對應的Li′、Qi′和ki′ 代入服務水平約束.

若滿足服務水平約束，則最優解(Li*，Qi*，ki*)=(Li′，Qi′，ki′).

若不滿足服務水平約束，則將Li、Qi和ki代入服務水平約束，重復此步驟，找到所有符合約束的Li″、Qi″和ki″，其中，成本最小的就是最優解(Li′，Qi′，ki′).

3 算例分析

本文采用以往文獻數據[2]：D=600 /年，σ=7，π= $50，h= $20，A=$200，γ= $150，β= 0.5. 提前期的三個組成部分如表1所示.

表1 提前期數據

根據上一節中求解步驟，得到需求服從自由分布時，不考慮缺貨成本和服務水平約束，考慮缺貨成本不考慮服務水平約束，不考慮缺貨成本考慮服務水平約束，同時考慮缺貨水平和服務水平約束情況下的最優庫存策略，如圖1和圖2所示.

圖1 不考慮缺貨時的庫存策略

Fig.1 The inventory policy under different service level (without shortage)

圖2 考慮缺貨時的庫存策略

Fig.2 The inventory policy under different service level (with shortage)

從表2可看出， 需求服從自由分布情形下，采用minimax求解，所得最優訂貨量和最低成本均低于需求服從正態分布時的最優訂貨量和最低成本. 無論需求服從正態分布還是自由分布，考慮服務水平約束情形下的最優訂貨量和最成本都遠高于不考慮服務水平情形下的最優訂貨量和最低成本，因為考慮服務水平時，所付出的缺貨成本要遠高于其他成本.

表2不同需求分布和庫存模型下的庫存策略

Tab.2 The inventory policy with different demand distribution and model

需求分布是否考慮服務水平Li*/天Q*/KgC*/$正態分布否是4314724225374376自由分布否是8312614419723638

圖1是不考慮缺貨時不同服務水平下(m=0.015,m=0.025，m=0.035，m=0.045，m=0.055，m=0.065)和不考慮服務約束時的庫存策略曲線. 通過圖1可知，考慮服務水平的期望總成本增加的速度大于不考慮缺貨水平的增加速度，因此零售商若希望總成本最小，就必須放棄服務水平的要求. 零售商若要求較高的服務水平，就必須付出更多的成本，二者不能兼得.

圖2是考慮缺貨時不同服務水平下(m=0.015,m=0.025，m=0.035，m=0.045，m=0.055，m=0.065)和不考慮服務約束時的庫存策略曲線. 圖2表明既考慮缺貨成本又考慮服務水平約束情形下的庫存策略. 考慮服務水平情況下，當服務水平一定時，總成本隨著安全庫存的增加而增加；服務水平越高，增加速度越慢. 不考慮服務水平的情形下，總成本隨著安全庫存增加而減少.

從圖1和圖2的對比我們可以看到，考慮缺貨要比不考慮缺貨付出更多的成本. 因此，可以說，企業為了提高服務水平就要盡量避免缺貨出現，就必須付出更多成本來維持服務水平. 也就是說將服務水平和缺貨成本同時考慮，可以讓企業清楚的知道每提高1%的服務水平所付出的成本，如果零售商只單獨考慮服務水平或者缺貨成本，零售商就無法知道自己損失的掉的成本或者服務水平是多少，也就無法整體把握企業的運營情況，也就很難改進績效增加利潤. 因此，必須將成本和服務水平同時考慮，找到二者的最佳結合點，才能使企業在競爭中靈活地調整策略，來爭取競爭優勢.

4 結 論

本章考慮連續盤點庫存的優化問題，建立包括訂貨成本、提前期壓縮成本、庫存成本和缺貨成本的總成本函數，同時構建了服務水平約束條件. 針對需求服從自由分布情形下對最優訂貨量進行求解. 通過算例分析可知，考慮缺貨成本情形下的期望總成本隨著安全系數的增加而減少，不考慮缺貨成本情形下的期望總成本隨著安全系數的增加而增加. 考慮服務水平的期望總成本增加的速度大于不考慮缺貨水平的增加速度，因此零售商若希望總成本最小，就必須放棄服務水平的要求. 考慮缺貨成本又考慮服務水平約束情形下的庫存策略. 考慮服務水平情況下，當服務水平一定時，總成本隨著安全庫存的增加而增加；服務水平越高，增加速度越慢. 不考慮服務水平的情形下，總成本隨著安全庫存增加而減少.

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Orderingpolicywiththedemandobeyingdistributionfree

NI Dongmei1,2, ZHAO Qiuhong3

(1. School of Economics and Management, Beijing University of Agriculture, Beijing 102206, China; 2.Beijing Research Base for New Countryside Building, Beijing 102206, China;3. School of Economics and Management, Beihang University, Beijing 100191, China)

In the practice of enterprises management, inventory is a double-edged sword. Adequate inventories can gain more profit and reputation for enterprises. But overstock will add inventory expenses, increase cost, reduce profit and go against management level for enterprises. On the contrary, low inventories can cause the decline of service level and affect the sales profit and reputation. This paper mainly studies the inventory decision problems of the retailers under the condition of variable lead time and partial admission for delay in delivery, and analyzes it when service level is bounded and the demand follows free distribution. The dissertation adopts the accurate solution method and the Minmax method to find the optimal order quantity respectively. In the end, it analyzes the differences of the optimal solution under different inventory models, and takes sensitivity analysis in service level and safety factor into consideration, through which the enterprises can know the lost cost for the 1% increasing of the service level when the service level and lost cost are taken into account at the same time. If the retailer only consider the service level, not stock-out, the retailer will not know how much is their loss of the cost for service level declining. It must be considered not the lost cost but also service level to find the best combination of the two points, so that the enterprise can adjust the strategy in the competition, to gain competitive advantage.

service level; delivery delay; lead time; inventory strategy; distribution free

10.11918/j.issn.0367-6234.201705094

F715.6

A

0367-6234(2017)11-0167-04

2017-05-17

國家自然科學基金(71471006); 大北農青年教師科研基金項目(15SK002)

倪冬梅(1981—)，女，博士，講師；趙秋紅(1968—)，女，博士，教授，博士生導師

趙秋紅，qhzhao@buaa.edu.cn

(編輯苗秀芝)