高中數學數列綜合問題研究與分析

楊飛

【摘 要】高中數列綜合問題是高中數學的重點知識。在本文中，筆者從解題的方法入手分析，并用實際的例題來展示了數列綜合問題的解決策略。希望這一論述能給大家的教學帶來一些啟示和思考。

【關鍵詞】高中數學；數列問題；研究分析

高中數學中的數列知識不僅是平時教學中的重點知識，也是高考的必考知識，而在考試中，數列知識并不單獨出現，而是結合其他知識一起考查。所以，在高中數學中由數列引起的知識交匯問題有很多。要想解答這類綜合問題應找到合適的切入點。

一、解答數列綜合問題的方法指導

1.夯實基礎

要想建一座高樓大廈，必須把地基打牢。同樣要想解決數列的綜合的問題，學生也必須從最基礎的知識著手。比如，在求和問題中特別是一些既不是等差、等比數列，也不是等差乘等比的數列求和，就要利用不等式的放縮法。而放縮法就是學習數列中的基本方法，在平時的教學中教師要讓學生多加練習，只有這樣才能在解題時得心應手。

2.學會轉化

解答數列綜合問題要善于綜合運用函數方程思想、化歸轉化思想等數學思想以及特例分析法，一般遞推法，數列求和及求通項等方法來分析、解決問題。比如，數列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數形結合得到數列的通項公式，然后再利用數列知識和方法求解。

二、高中數學數列綜合問題研究分析

1.數列與新知識的綜合

理論分析：

該類問題出題背景廣、新穎，解題的關鍵是讀懂題意，有效地將信息轉化。它主要考查的是學生分析、解決問題的能力和知識的遷移能力。

例題展示：

已知{an}是等差數列，Sn為其前n項和，若S21=S4000，O為坐標原點，點P（1，an），點Q（2011，a2 011），則·=（ ）.

A.2011 B.-2011 C.0 D.1

答案解析：

設：Sn=An2+Bn，當n≥2時，an=Sn-Sn-1

=（2n-1）A+B，由S21=S4000，知4021A+B=0，所以a2011=0，·=2011+an×a2011=2011，故選A.

方法指導：

解決數列與新問題的綜合問題，學生一般可通過對新數表、圖像、新定義的分析、探究，將問題轉化為等差或等比數列的問題。

2.數列與函數的綜合

理論分析：

函數是高中數學中的重要內容，在平時的學習和考試中常常出現，在近幾年的考試中函數常常和數列聯系在一起，共同考查。這類題目綜合性比較強，更多的是考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力。

解答這類題目要全面兼顧，一方面要正確審題，看清題目到底在考查什么。當然這類題目的考查一般是考查的函數的性質與數列的定義等知識的綜合。另一方面，還要結合課本知識和所考查知識做出正確的判斷，找出合適的方法，突破問題瓶頸。

3.數列與解析幾何的綜合

理論分析：

數列與解析幾何是數列綜合問題中的難點，在這類題目中主要側重的還是解析幾何的知識，而數列有時候可能是工具、是切入點。但是在解題時也不能忽略數列的作用，有時候一個小小的問題就會導致全局的失敗。

例題展示：

如圖，從點P1（0，0）作x軸的垂線交曲線y=ex于點Q1（0，1），曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2，依次重復上述過程得到一系列點：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，記Pk點的坐標為（xk，0）（k=1，2，…，n）.

（1）試求xk與xk-1的關系（2≤k≤n）；

（2）求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.

答案解析：

（1）首先要明白，Pk與Pk-1點之間的關系是什么？在分析試題后，可以過Pk-1點作x軸的垂線與曲線y=ex的交點為Qk-1，過Qk-1點作曲線y=ex的切線，切線與x軸的交點即為Pk。另外，還要知道如何求切線方程？這個比較簡單，用導數的幾何意義可以求得。

（2）要想解答第二題，要知到線段PkQk的長度如何求得？這個可以從PkQk的長度得知，即點Qk的縱坐標。同時要明白{|PnQn|}這一數列是哪種數列，通過分析發現這是一個等比數列。當明確了這些問題后，本題也就迎刃而解了。

方法指導：

求解點列問題的關鍵是尋求點的橫坐標或縱坐標之間的關系，根據這種關系轉化為等差數列或等比數列進行求解，與曲線的切線相關時，注意充分利用導數的幾何意義。

以上的論述從方法指導和例題展示中進行了詳細的剖析，其實數列的綜合問題還有很多，像數列與不等式、數列與實際問題，在這就不贅述了，其實數列的綜合問題萬變不離其宗，只要掌握了幾種，其他的問題也就不攻自破了。只要學生平時留意、多加練習必然能攻克。

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