三角形中線定理在數量積中的應用

江蘇省平潮高級中學 魯 鋒

三角形中線定理在數量積中的應用

江蘇省平潮高級中學 魯 鋒

在三角形中，中線是一條重要的線段，巧妙地利用好這條特殊線，可以巧妙解決相關的數量積問題。

中線；數量積

數量積是高中數學平面向量部分中一個重要的知識點，也是高考數學的一個重要考點。如何正確地求出數量積，特別是與三角形有關的數量積問題，是擺在高中學生面前的一個難點。本文從三角形的兩條特殊線“中線和角平分線”出發，以具體實例為背景，給出一些思路和觀點，以起拋磚引玉的作用。

例1 如圖1，在△ABC中，AB=4，AC=3，D為BC中點，求的值。

例2 如圖2，在△ABC中，AB=4，AC=3，D為BC中點，點P為邊BC的中垂線上一點，求的值。

評注：本題中雖然多了一條垂直平分線，但主要的特征還是點D為AB中點，因此還是可以利用向量的加法法則和向量垂直的條件及中線定理來處理。

例3 如圖3，已知點G，H分別為△ABC的重心、垂心，若的值。

解析：如圖4，連接并延長AG，AH，AG交BC于點M ，由三角形法則可知所以由中線定理可知

評注：由于重心為中線的交點，因此題中的重心條件實質是中線條件，結合重點位于中線的三等分點處，所以轉化為中線定理的問題。對于垂心，利用 的垂直關系及三角形法則，可以轉化為向量的數量積為0，從而實現問題的轉化和解決。

例4 如圖5，在△ABC中，D是BC的中點，E、F分別是AD上的兩個三等分點，的值。

例5 如圖6，△ABC的邊BC的中垂線交AC于點P，交BC于點Q，若

中線定理的應用從根本上給學生選擇基底提供了一個較好的參考依據，同時也給三角形中的向量數量積的相關運算帶來了簡便，因此學生應較好地利用題中出現的中點、中線、重心等相關信息來解決向量問題。