淺析初中數(shù)學(xué)命題之妙用三角板

廣東省深圳市龍崗區(qū)吉溪初級中學(xué) 劉 芝 陳繼廣

淺析初中數(shù)學(xué)命題之妙用三角板

廣東省深圳市龍崗區(qū)吉溪初級中學(xué) 劉 芝 陳繼廣

義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識出發(fā)，使實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型來應(yīng)用。初中數(shù)學(xué)在命題中常運(yùn)用三角板進(jìn)行問題設(shè)計(jì)，利用學(xué)生熟悉的日常學(xué)習(xí)工具來設(shè)計(jì)題目。在近幾年的考試中，以三角板作為出題形式非常頻繁，對學(xué)生的知識運(yùn)用能力要求高，本文給出一些啟示。

初中數(shù)學(xué)；試題；三角板

三角板作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必不可少的學(xué)習(xí)工具，對于學(xué)生而言是熟知之物，圍繞三角板為素材編制數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)命題更貼近生活，同時(shí)，增強(qiáng)了學(xué)生將數(shù)學(xué)知識能力運(yùn)用到生活實(shí)踐中的意識。以下將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從不同角度談?wù)勅前逶跀?shù)學(xué)命題中的應(yīng)用。

一、用三角板構(gòu)造角與角間的關(guān)系

例1 已知一副三角板ABE和ACD。

（1）將兩個(gè)三角板如圖1（a）放置，連接BD，求證∠1+∠2=105°；

（2）將圖1（a）的三角板BAE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角α。

圖1

①當(dāng)α=15°時(shí)，AB∥CD，如圖1（b）所示，求證α+∠1+∠2=105°；

②當(dāng)α=45°時(shí)，如圖1（c）所示，求證α+∠1+∠2=105°；

③當(dāng)B點(diǎn)在直線CD的上方時(shí)，如圖1（d）所示，α、∠1、∠2間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？為什么？

④當(dāng)點(diǎn)B在直線CD的下方時(shí)，如圖1（e）所示，α、∠1、∠2間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？為什么？

例2 已知直線 l1∥l2，將等腰直角三角板按如圖2所示放置，頂點(diǎn)在l1上，一邊與l2相交，若∠1=120o，則∠2的度數(shù)為 。

圖2

點(diǎn)評：例1、例2都是三角板與三角板、平行線的結(jié)合，都以直角三角板角度作為隱含的條件設(shè)計(jì)題目。解答時(shí)，可把隱含的角度大小標(biāo)示在圖形中，并簡化圖形，再進(jìn)行邏輯推理，算出角度的大小。

二、用三角板組合，求線段之間的關(guān)系

例3 兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板如圖3（a）所示放置，圖3（b）是它抽象出的幾何圖形，B,C,E在同一條直線上，連接DC。指出線段DC和線段BE的關(guān)系，并證明。

圖3

圖4

例4 已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)D、E。

（1）如圖4（a）所示，當(dāng)CD⊥OA于D，CE⊥OB于E時(shí)，求證：CD=CE；

（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖4（b）這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明：若不成立，請說明理由。

點(diǎn)評：例3、例4利用直角三角板隱含的角度、線段條件作為解題要點(diǎn)。例4利用隱含條件證明三角形全等解答題目。解答時(shí)應(yīng)認(rèn)真整理出有用的條件，從而使問題迎刃而解。

三、用三角板解決數(shù)學(xué)問題

例5 沒有量角器，利用刻度尺或三角板也能畫出一個(gè)角的平分線嗎？下面是小彬的做法，如圖5，他的畫法正確嗎？請說明。

如圖5，①利用三角板在∠AOB的邊上，分別取OM=ON；

②分別過M、N畫OM、ON的垂線，交點(diǎn)為P；

③畫射線OP。所以射線OP為∠AOB的角平分線。

圖5

點(diǎn)評：例5通過直角三角板的特性解決數(shù)學(xué)題。解答時(shí)，應(yīng)分析題目的數(shù)學(xué)性質(zhì)并運(yùn)用到解題中，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)善于用現(xiàn)有條件解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)知識運(yùn)用到日常生活中的意識。

四、用三角板組合，求面積問題

例6 將兩塊三角板按如圖6放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積。

圖6

圖7

例7 如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角尺的直角頂點(diǎn)與斜邊AB的中點(diǎn)M重合，當(dāng)三角尺繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩直角邊始終保持分別與邊BC，AC交于D，E兩點(diǎn)（D，E不與B，A重合）。求四邊形MDCE的面積。

點(diǎn)評：例6、例7利用了兩個(gè)常見直角三角板設(shè)計(jì)面積問題。例6利用了直角三角板邊長作為解題重點(diǎn)，例7是應(yīng)用直角三角板邊、角的性質(zhì)證明三角形全等從而解決問題，所以隱含的條件為解答題目的重要突破點(diǎn)。

啟示：例4、例7運(yùn)用直角三角板構(gòu)建具有動態(tài)性質(zhì)的題目。例4和例7的變化體現(xiàn)了相同的知識點(diǎn)不同的呈現(xiàn)方式，題目從三角板與一般幾何圖形的結(jié)合出題方式到采用兩個(gè)常見三角板組合的出題方式，從中我們得到一個(gè)啟示：對于應(yīng)用等腰直角三角形性質(zhì)或30°直角三角形性質(zhì)的題目，以后都可以轉(zhuǎn)化成這兩個(gè)直角三角板組合的出題方式。

總而言之，數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到生活實(shí)踐中去越來越受到重視，三角板已越來越多地被用于數(shù)學(xué)題目的設(shè)計(jì)之中。三角板的妙用不僅使數(shù)學(xué)更加貼近生活，且利用學(xué)生熟知的事物探索數(shù)學(xué)問題，也有利于喚起學(xué)生創(chuàng)新探索的欲望。要求老師注重培養(yǎng)學(xué)生理解題目隱含條件，簡化題目，轉(zhuǎn)化成所學(xué)知識并解決題目的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到生活實(shí)踐中的意識和能力。

[1]吳從田．神奇三角板 魅力數(shù)學(xué)園——三角板在初中數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用[J]．中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2011（07）．

[2]何名躍．淺議三角板對數(shù)學(xué)教學(xué)的輔助作用[J]．中國西部科技（學(xué)術(shù)），2007（06）．

[3]鄺國寧．淺談初中數(shù)學(xué)考試命題的一些技術(shù)問題[J]．廣西教育，2011（14）．