善用數學思想，巧解中考小壓軸題

福建省寧德市第十中學 彭光清

善用數學思想，巧解中考小壓軸題

福建省寧德市第十中學 彭光清

為了有效地考查學生的數學素養，近年來，各地中考試卷在填空選擇題中設置了一些集幾何、代數為一體的難度較大的小壓軸題，這些試題將數學思想蘊含其中，著重對方程、分類、數形結合、特殊與一般等重要數學思想進行了內斂、平和的考查，盡顯數學思想在初中學生的數學素養中的核心地位。

中考；小壓軸題；數學思想

數學思想是數學學科的“精髓”與“靈魂”，它不僅蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，而且也滲透在數學教與學的過程中。各地中考數學試題關注學生數學能力的提升，著重對分類、方程、數形結合、特殊與一般等重要數學思想進行了內斂、平和的考查。試題在為學生提供廣闊的思維空間的同時，盡顯數學思想的和諧、自然、普適的潛力。為考查學生數學素養而設計的選擇題和填空題型最后一題（老師們稱為小壓軸題），往往都具有較強的選拔功能，因其思維難度較高，要完整解答此類問題，必須善用數學思想。

一、善用方程思想,巧解線段長問題

方程思想是將所求的量設成未知數，用它表示問題中的其他各量，根據題中隱含的等量關系（初中數學主要是直角三角形的勾股定理、圖形面積公式、相似三角形對應邊成比例、三角形內角和定理以及線段間關系等）列方程（組），通過解方程（組）或對方程（組）進行研究，以求得問題的解決。

例1 （2017·淄博）如圖，在Rt△ABC中，∠ ABC=90 °，AB=6，BC=8， ∠ BAC，∠ACB的平分線相交于點E，過點E作EF∥BC交AC于點F，則EF的長為（ ）

【分析】延長FE交AB于點D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，先證四邊形BDEG是正方形，接著證△DAE≌△HAE、△ CGE≌ △ CHE， 得 AD=AH、CG=CH， 設 BD=BG=x， 則AD=AH=6-x、CG=CH=8-x，由AC=10可得 x=2，即BG=HE=2、CH=6；再證EF=FC，設EF=y，HF= 6-y，在Rt△EFH中，根據勾股定理，可得22+（6-y）2＝y2，解得

【解答】如圖，延長FE交AB于點D，作EG⊥BC于點G，作EH⊥AC于點H，

故應選C。

【數學思想解讀】本題解題的關鍵是通過線段間的等量關系和勾股定理建立方程，進而求得對應線段的長度。考查了直角三角形的性質、角平分線的性質、正方形的判定與性質和全等三角形的判定與性質等有關知識。

二、善用分類思想,巧解周長問題

在解某些數學問題時，當一些量不確定或圖形位置、形狀不確定，引起問題結果有多種可能時，就需要對各種情況進行分類解決。分類討論思想在填空、選擇題最后一題中較常見。要注意分類的標準，做到不重復、不遺漏。

例2 （2017·安徽）在三角形紙片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，將該紙片沿過點B的直線折疊，使點A落在斜邊BC上的一點E處，折痕記為BD（如圖1），剪去△CDE后得到雙層三角形BDE（如圖2），再沿著過△BDE某頂點的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形中有平行四邊形，則所得平行四邊形的周長為cm。

如解題圖2，平行四邊形的邊是DE、EG，且DF=BF=10，

∴平行四邊形的周長=40。

【數學思想解讀】本題以直角三角形剪紙問題為背景，考查學生空間觀念和思維的嚴密性。解決本題要根據裁剪方法的不確定性分類討論。

三、善用特殊與一般思想，巧解點的坐標問題

由特殊到一般，再由一般到特殊反復認識的過程，就是人們認識世界的基本過程之一。數學上這種由特殊到一般，再由一般到特殊的研究數學問題基本認識過程，就是數學研究中的特殊與一般思想。中考數學試題主要通過探索規律的形式考查學生對特殊與一般思想的領悟。

例3 （2016·濰坊）在平面直角坐標系中，直線l：y=x-1與x軸交于點A1，如圖所示，依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn-1，使得點A1、A2、A3、…在直線l上，點C1、C2、C3、…在y軸正半軸上，則點Bn的坐標是。

【分析】先求出B1、B2、B3的坐標，探究規律后即可解決問題。

【解答】∵直線y=x-1與x軸交于點A1，

∴A1點坐標（1，0）。

∵四邊形A1B1C1O是正方形，

∴B1點坐標（1，1）。

∵C1A2∥x軸，

∴A2點坐標（2，1）。

∵四邊形A2B2C2C1是正方形，

∴B2點坐標（2，3）。

∵C2A3∥x軸，

∴A3點坐標（4，3）。

∵四邊形A3B3C3C2是正方形，

∴B3點坐標（4，7）。

發現坐標依次為 B1（20，21-1），B2（21，22-1），B3（22，23-1），…，

∴Bn坐標為（2n-1，2n-1）。

故答案為（2n-1，2n-1）。

【數學思想解讀】本題考查點的坐標、正方形的性質等知識，解題關鍵是通過正方形頂點C與A分別落在y軸和直線y=x-1上，先求出前幾個正方形的頂點B1，B2，B3…，從中探索出一般規律Bn（2n-1，2n-1）。

四、善用數形結合思想,巧解函數圖象交點個數問題

“數無形時不直觀，形無數時難入微”道出了數形結合的辯證關系?！耙孕沃鷶怠笔墙柚蔚纳鷦有院椭庇^性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的。“以數輔形”是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數為手段，形作為目的。在解題過程中，就是見到數量就應想到它的幾何意義，見到圖形就應想到它的數量關系。

例4 （2014·臨沂）在平面直角坐標系中，函數y=x2-2x（x≥0）的圖象為C1，C1關于原點對稱的圖象為C2，則直線y=a（a為常數）與C1、C2的交點共有（ ）

A.1個 B.1個，或2個

C.1個，或2個，或3個 D.1個，或2個，或3個，或4個

【分析】畫出C1的圖象，根據關于原點對稱的關系可得C2，根據直線y=a（a為常數）與C1、C2的交點，可得答案。

【解答】如圖，函數y=x2-2x（x≥0）的圖象為C1，C1關于原點對稱的圖象為C2，C2的圖象是y=-x2-2x（x≤0）。

直線y=a（a為常數）從下往上移動時，

直線y=a與C1沒有交點，與C2有一個交點，共有一個交點；

直線y=a經過C1的頂點時，與C2有一個交點，共有兩個交點；

直線y=a（a為常數）與C1有兩個交點時，與C2有一個交點，共有3個交點…

所以，直線y=a（a為常數）與C1、C2的交點共有1個，或2個，或3個。

故應選擇C。

【數學思想解讀】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，先畫出C2的圖象，借助圖象的直觀性，將很快求得交點個數。

【參考資料】

[1]福建省教育廳．2017年福建省中考初中數學學科教學與考試指導意見[M]．福州：海峽出版發行集團，2017．

[2]馬小為．中學數學解題思想方法技巧[M]．陜西：陜西師范大學出版社，2006．