對一道北京卷高考題的疑惑、解惑及另解發(fā)散

新疆烏魯木齊市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 強(qiáng)少華

對一道北京卷高考題的疑惑、解惑及另解發(fā)散

新疆烏魯木齊市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 強(qiáng)少華

2009年高考北京卷中有這樣一道題：點(diǎn)P在直線l：y=x-1上，若存在過P的直線交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn)，且|PA|=|AB|，則稱點(diǎn)P為“β點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（）A.直線l上的所有點(diǎn)都是“β點(diǎn)”；B.直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“β點(diǎn)”；C.直線l上的所有點(diǎn)都不是“β點(diǎn)”；D.直線l上有無窮多個(gè)點(diǎn)（不是所有的點(diǎn)）是“β點(diǎn)”。

本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于創(chuàng)新題型。

參考答案：如圖，設(shè)A（m，n），P（x，x-1），則點(diǎn)B（2m-x，2n-x+1）。∵A、B在拋物線y=x2上，

1.疑惑：學(xué)生在做這道題時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)除了這種解法，學(xué)生還有一種典型解法：

∵點(diǎn)A在拋物線上，整理得

從而導(dǎo)致學(xué)生選B或D。(簡單分析，第二種解題思路與參考答案沒有任何區(qū)別，x1確實(shí)也沒有其他限制，但為什么會出現(xiàn)這樣兩種截然不同的結(jié)果呢？)

2.解惑：用數(shù)形結(jié)合思想仔細(xì)分析，在參考答案中，若固定點(diǎn)A,動態(tài)來看，在直線l上一定存在點(diǎn)P,使得,故可用此方法。但第二種解法是根據(jù)PB中點(diǎn)A一定在拋物線上后,把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程得到。題中若存在點(diǎn)P滿足是否就一定說明對任意的點(diǎn)B,PB的中點(diǎn)就一定在拋物線上呢？答案是否定的。如圖，比如在直線上任取一點(diǎn)P,過P作拋物線的切線，切點(diǎn)假設(shè)是B,則PB的中點(diǎn)B一定不在拋物線上,故代入進(jìn)去，肯定Δ＞0不恒成立。這也正好解釋了為什么第二種解法會出現(xiàn)這樣的結(jié)果。

3.另解：疑惑解決了，筆者想到，作為一道選擇題，按照參考答案的解法花的時(shí)間太長，而這道題出題人的意思是不是考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力呢？如果在直線l上任取一點(diǎn)P，過P作拋物線的切線，切點(diǎn)是A,然后將該直線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一定角度，產(chǎn)生的弦的長由零逐漸增大，則一定可以在拋物線上找到一點(diǎn)B,使得故答案選A。

4.發(fā)散：其實(shí)，在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會遇到這類問題。例如：若橢圓與拋物線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。很多學(xué)生看到這道題，就會想到聯(lián)立方程由Δ≥0得到范圍為但事實(shí)上這是等價(jià)的嗎？畫出這兩個(gè)曲線的圖象，易知Δ=0是拋物線與橢圓相切的情形，當(dāng)拋物線沿軸向下平移至與拋物線相切時(shí)，再繼續(xù)向下平移時(shí)就沒有公共點(diǎn)了，數(shù)形結(jié)合就可以看出答案應(yīng)是

另外，在解決某些三角問題時(shí)，如果我們多考慮一下它的幾何意義，有些問題會有很多奇思妙解。例如：方程有解，求a的取值范圍。不管是學(xué)生還是老師，都喜歡用輔助角公式化簡，然后利用三角函數(shù)的有界性來處理。