一類到圓錐曲線頂點距離有關的最值問題

浙江省三門第二高級中學 葉 挺

一類到圓錐曲線頂點距離有關的最值問題

浙江省三門第二高級中學 葉 挺

一、橢圓上和其短軸的一個端點距離最大的點位置問題

解：設動點B(x，y)，

消去x得：

這是一個關于y的二次函數，

其中y∈[-b，b]，對稱軸方程：

圖1

結論1：當b≥c，即離心率為時，橢圓上和其短軸的一個端點距離最大的點在短軸的另一個端點處；當b＜c，即離心率為時，橢圓上和其短軸的一個端點距離最大的點在短軸的兩側。

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長（用a，k表示）；

（2）若任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓離心率的取值范圍。

分析（2）：點A（0，1）為橢圓短軸的一個端點。由對稱性知，如圖2，若圓與橢圓在y軸的左側有兩個公共點，則它們會有4個公共點，不滿足條件；故圓與橢圓在y軸的左側最多有一個交點，記B為圓與橢圓的一個公共點，如圖3，則半徑AB長隨著B點從A點移動到（0，-1）過程中是單調遞增的，即橢圓上和其短軸的一個端點距離最大的點在短軸的另一個端點處，由結論1知：離心率的取值范圍是

二、拋物線上和其對稱軸上的一個定點距離最小的點位置問題

O為坐標原點，記A(a，0) ，B為拋物線上的動點，求AB距離最小值。

解：設動點B(x，y)，則，

消去y得：|AB|2=x2+（2p-2a）x+a2。

這是一個關于x的二次函數，其中x∈[0，+∞]，對稱軸方程：x=a-p。

（1）當a-p≤0，即a≤p時，B點在位置（0,0）處，AB距離最小；

（2）當a-p＞0，即a＞p時，B點在位置（a-p，±處，AB距離最小。

圖2

圖3

圖4

圖5

結論2：當a≤p時，拋物線上到定點A(a，0)距離最小的點在頂點；

當a＞p時，拋物線上到定點A(a，0)距離最小的點在對稱軸的兩側。

結論應用：如圖6所示，酒杯的杯體軸截面是拋物線x2=2py（p＞0）的一部分，若將半徑為r(r＞0)的玻璃球放入杯中，可以觸及酒杯底部（即拋物線的頂點），則r的最大值為_________ 。

分析：由圖給出的數據得拋物線的標準方程為：x2=2y，p=1。

玻璃球可以觸及酒杯底部，等價于球心到拋物線頂點的距離是球心到拋物線上所有點的距離中的最小值。由結論2知：a≤p，即r≤1，則r的最大值為1。

圖6