好玩的速成的“亞幻方”

哈爾濱師范大學研究生 馬正方

好玩的速成的“亞幻方”

哈爾濱師范大學研究生 馬正方

本文推出了好玩的速成的“亞幻方”，比傳統幻方容易推廣普及，從而成為素質教育的好教材，彰顯數學文化的正能量。

亞幻方；平分；斜線；泛對角線；素質教育

幻方屬于中華優秀傳統文化，古典《易經》就有記載。然而，由于編制幻方的程序比較復雜，很不利于推廣普及。簡單是真理的標志。因此，筆者采取變通的措施，創造出一種“亞幻方”，好玩速成，有利于推廣普及。“亞幻方”不完全符合傳統幻方的定義，而是其中一部分符合幻方的定義。以往編制N階幻方，N的取值不同，所采用的方法也不同。然而“亞幻方”就沒有取值的約束了，不論N取值多少，都通用一種方法，速成快捷，精準無誤，從而使得亞幻方各行各列以及2N條泛對角線之中的數字連加之和存在許多相等的情況，尤其是四階的亞幻方更為顯著。所謂N階幻方是指該幻方每行每列都是幾個格子，是幾個格子就稱幾階幻方。如圖1所示，N階幻方有2N條泛對角線。

圖1

“1、6、11、16”和“4、7、10、13”這樣兩條主對角線，其他次對角線（如同被折斷的主對角線）分別是“13、2、7、12”、“9、14、3、8”、“5、10、15、4”、“1、8、11、14”、“2、5、12、15”、“3、6、9、16”，這樣共六條次對角線，主次對角線統稱泛對角線。N階幻方都如此這般體現泛對角線。

例1 編制一個三階亞幻方。因為三階之“3”是奇數，首先寫出（3×3+1）個連續的自然數（不要求非從1開始寫，不過從1開始數字較小，作為例題尤顯簡明），并且平分成兩列來表示：

如斜線所示，從左至右每四個數字為一組，對斜線兩端的數字進行交換，從而形成如下狀況：

7、2、9、4、5

6、1、8、3、10

進而把交換之后形成的前九個數字從左至右、從上至下依次安排在三階方陣所需要的九個格子內（從左至右、從上至下各就其位），如圖2所示：

圖2

兩條主對角線：7+5+3=9+5+1=15；中間的一行一列：2+5+8=4+5+6=15；兩邊的兩行兩列：9+6+3=7+2+9=18，7+4+1=1+8+3=12；其他泛對角線：1+2+6=2+4+3=9，4+8+9=7+6+8=21。

例2 編制一個四階亞幻方。因為四階之“4”是偶數，首先寫出（4×4）個連續自然數，并且平分成兩列：

如斜線及例1所示，數字交換之后形成：

10、2、12、4、14、6、16、8

9、1、11、3、13、5、15、7

進而把交換之后的十六個數字如例1所示安排在四階方陣的十六個格子內，如圖3所示：

圖3

八條泛對角線上的數字：10+6+11+7=4+16+1+13=34，其他六條泛對角線上的數字也都等于34（13+2+16+3=9+5+12+8=14+1+15+4=10+8+11+5=2+14+3+15=12+6+9+7）。

例3 編制一個五階亞幻方，因為五階之“5”是奇數，首先寫出（5×5+1）個連續自然數，并且平分成兩列：

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13

14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26

如例1和例2所示，數字交換之后形成：

15、2、17、4、19、6、21、8、23、10、25、12、13

14、1、16、3、18、5、20、7、22、9、24、11、26

進而把交換之后的前二十五個數字（26除外）如例1和例2所示安排在五階方陣的二十五個格子內，如圖4所示：

圖4

中間一行一列的數字和兩條主對角線上的數字都等于65：17+8+13+18+9=25+12+13+14+1=7+3+13+23+19=15+21+13+5+11=65；其他六條泛對角線的數字：7+2+8+14+20=25+3+9+4+10=4+8+12+16+11=51；16+22+17+23+1=6+12+18+24+19=15+10+14+18+22=79。

數學大師陳省身說“數學好玩”。數學具備獨特的深刻性和哲理性。亞幻方數形結合，具有一定的游藝性，取用多少階亞幻方可任意選定，少則三階，多不封頂，并且自然數是無窮的，如此這般，張力無限，產生出乎意料的戲劇性和多變性，十分有助于培養觀察、分析、想象、計算、探索等能力，不失進行素質教育的好教材，彰顯數學文化的正能量。

數學大世界，景點千萬個。勸君多游玩，此生不白活！