淺談立體幾何問題解法

江蘇省太湖高級中學 周天晨

淺談立體幾何問題解法

江蘇省太湖高級中學 周天晨

立體幾何學是研究空間中的點線面體之間關系的一門學科。立體幾何問題是高中數學重要的組成部分，大部分的立體幾何問題比較靈活，對解題者思維敏捷程度的要求較高。空間向量法在解題的程序化與降低解題難度方面做出了巨大的貢獻；輔助線法在加快解題速度和節省時間方面成效顯著；平面束方程法在求解線與面之間關系類型題目方面收效頗豐。本文提出了解空間幾何題目常用的三種方法：空間向量法、輔助線法和平面束方程法，并通過幾個問題進行分析、求解。

立體幾何；空間向量；輔助線；平面束方程

幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科。立體幾何學，就是研究空間中的點線面體之間關系的一門學科。空間圖形的平行、垂直、距離、夾角問題是高中立體幾何解決的主要問題。常規的立體幾何方法主要依據定理和概念，借助各種幾何圖形的不同變化，利用邏輯推理對空間圖形的性質進行研究，一些復雜的題型解題時常常需要找到準確的切入點，通常需要構造輔助線、輔助面轉化為平面幾何問題，而這些問題的本身常具有技巧性和隨機性。本文提出了解空間幾何題目常用的三種方法：空間向量法、輔助線法和平面束方程法，并通過幾個問題進行分析、求解。

一、空間向量法

向量是解決幾何問題的一種有效工具，借助于向量可以把幾何問題轉化為代數問題，從而起到化難為易的作用。空間向量法是指使用向量的代數方法去解決立體幾何問題的方法。在高中立體幾何問題中，大部分問題用向量法明顯比用其他方法簡單。很多問題中，輔助線需構建巧妙，并且對解題者思維的敏捷程度要求很高，而向量法特點就是簡單粗暴，并不需要構建輔助線，只需要輔以大量的代數運算，就可以使立體幾何問題變得思路順暢，因此，在處理空間立體幾何問題中，向量法占據著重要的地位。

例1 三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖1所示， 截 面 為A1B1C1， ∠BAC=90°，AA1⊥ 平 面ABC，AA1=，AB=AC=2A1C1=2，D為BC的中點，證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1。

解：首先以A為原點，AB、AC、AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖1所示。

圖1

根據題意可得：A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，由D為BC中點，可以根據中點坐標公式得到D(1，1，0)，所以向量=(0，0，)，=(1，1，0)，=(-2，2，0)，=(0，-1，)。

設平面A1AD的法向量為=（x1，y1，z1），平面BCC1B1的法向量為=（x2，y2，z2），由：可得，令y1=-1，x=-1，z=0，所以，=（1，-1,0），同理可得=（1,1，），

11又因為·=1-1+0=0，所以

故平面A1AD⊥平面BCC1B1得證。

二、輔助線法

立體幾何問題是高考的重點，也是高考的難點。在考場上，時間就是金錢，對于某些有特定特點的立體幾何問題來說，輔助線法求解可以很快捷，比起煩瑣的空間向量法來說，準確使用該法可以節省不少時間。在考場上流行著這樣的一句話：“得輔助線者得天下”。其實，立體幾何問題添加輔助線有一定規律可循，常見的如中位線、對角線或中線、垂線等。下面給出一道例題，分別運用空間向量法和輔助線法進行求解。

例2 如圖2所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，求證：B1C∥平面ODC1。

圖2

解法一：假設正方體邊長為1，以D為原點，DA、DC、DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系。

根據題意可得：D(0，0，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)。=（x1，y1，z1）,則根據中點坐標公式得到O(，1)，所以向量=(0，1，1)，=(1，0，1)。設平面OC1D的法向量為=（x1，y1，z1），則有：

解法二：連接D1C，設與DC1相交于點O1，連接OO1，因為O1是D1C的中點，O是B1D1的中點，所以OO1是三角形D1B1C的中位線，所以OO1∥CB1，又因為OO1面ODC1，而CB1面ODC1，所以B1C∥平面ODC1。

三、平面束方程法

其中λ為任意常數。因為系數A1，…，D2不成比例，所以對于任意一個λ，方程中未知數的系數 (A1+λA2)、(B1+λB2)、(C1+λC2)不全為0，從而上述方程表示一個平面Ω。同時，如果一點在直線L上，則該點勢必滿足平面Ω的方程，所以，平面Ω的方程表示的是通過直線L的所有平面的集合。

對于給定空間直線方程，求滿足某種條件的平面方程，常常采用平面束方程法，解題快捷且準確。

即：(1+λ)x+(1-λ)y+(-1+λ)z+(-1+λ)=0。

其中λ為待定常數，該平面與平面x+y+z=0垂直的條件是：

(1+λ)·1+(1-λ)·1+(-1+λ)·1=0，

即：λ+1=0λ=-1。

反代回平面束方程可得：y-z-1=0，

立體幾何的解題方法還有許多，由于篇幅限制，關于本文僅芻談了空間向量法、輔助線法及平面束方程法的應用。事實上，這三種方法的應用范圍何其之廣，本文提到的例題僅為鳳毛翎角。總之，這三種方法是高中數學立體幾何問題學習過程中一個很好的解題工具。熟練掌握它們的一些常規運用，在基礎問題方面勤加練習，做到舉一反三，才能在考試中發揮出理想的實力。

[1]潘虹．淺談空間向量方法在立體幾何中的應用[J]．讀與寫（教育教學刊），2013（02）：127．

[2]張琳．立體幾何教學及解題方法研究[D]．西北大學，2016．

[3]梁毅麟．平面法向量在解立體幾何題中的應用探究[J]．科技傳播，2010（03）：73-76+68．